第13講立體幾何1.2018全國(guó)卷如圖M4-13-1所示,四邊形ABCD為正方形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),以DF為折痕把DFC折起,使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置,且PFBF.(1)證明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.圖M4-13-1 試做2.2018全國(guó)卷如圖M4-13-2所示,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.圖M4-13-2試做3.2016北京卷如圖M4-13-3所示,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB.(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值. (3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說(shuō)明理由.圖M4-13-3 試做命題角度立體幾何大題求解策略利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”:(a)破“建系關(guān)”:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(b)破“求坐標(biāo)關(guān)”:準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(c)破“求法向量關(guān)”:求出平面的法向量.(d)破“應(yīng)用公式關(guān)”:熟記求角公式即可求出角.求空間角應(yīng)注意的3個(gè)問(wèn)題:(a)兩條異面直線所成的角不一定是兩直線的方向向量的夾角,應(yīng)該是cos =|cos |;(b)直線與平面所成的角的正弦值等于平面的法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值,即sin =|cos |;(c)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角.平行與垂直問(wèn)題的求證策略:(a)證明平行問(wèn)題除結(jié)合平行關(guān)系的判定與性質(zhì)定理之外,還需充分利用三角形的中位線、平行四邊形等;(b)證明垂直問(wèn)題,注意利用等腰三角形底邊的中線與底邊垂直、菱形的對(duì)角線互相垂直、勾股定理證明垂直等.解答1平行、垂直關(guān)系的證明1 如圖M4-13-4所示,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ADCD,BC=2,AD=CD=1,M是PB的中點(diǎn).圖M4-13-4(1)求證:AM平面PCD;(2)求證:平面ACM平面PAB.聽(tīng)課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】(1)利用幾何法證明平行與垂直,關(guān)鍵是根據(jù)平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理來(lái)確定有關(guān)的線與面,如果所給圖形中不存在這樣的線與面,可以連接或添加有關(guān)的線與面;(2)利用向量法證明平行與垂直,首先要合理建立空間直角坐標(biāo)系,其次寫(xiě)出有關(guān)線的方向向量及求出有關(guān)平面的法向量,最后根據(jù)向量的性質(zhì)進(jìn)行論證.【自我檢測(cè)】如圖M4-13-5所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,E為AD的中點(diǎn),O為BE的中點(diǎn).將ABE沿BE折起到ABE的位置,使得平面ABE平面BCDE(如圖M4-13-5). (1)求證:AOCD.(2)在線段AC上(包括端點(diǎn))是否存在點(diǎn)P,使得OP平面ADE?若存在,求出APAC的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖M4-13-5解答2利用空間向量求角的問(wèn)題2 如圖M4-13-6所示,在PBE中,ABPE,D是AE的中點(diǎn),C是線段BE上的一點(diǎn),且AC=5,AB=AP=12AE=2,現(xiàn)將PBA沿AB折起,使得二面角P-AB-E是直二面角(如圖M4-13-6).(1)求證:CD平面PAB;(2)求直線PE與平面PCD所成角的正弦值.圖M4-13-6聽(tīng)課筆記 3 如圖M4-13-7所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,已知PA=AC=2,PAD=DAC=60,CEAD于點(diǎn)E.圖M4-13-7(1)求證:ADPC;(2)若平面PAD平面ABCD,且AD=3,求二面角C-PD-A的余弦值. 聽(tīng)課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】空間角求解常見(jiàn)失分點(diǎn):(1)用向量法求出的異面直線所成角的余弦值必須為正;(2)若直線的方向向量l與平面的法向量n的夾角為,則直線與平面的夾角=2-或-2,故有sin =|cos |=|ln|l|n|;(3)判斷所求的二面角到底是銳角還是鈍角時(shí),要結(jié)合圖形分析,以防結(jié)論錯(cuò)誤.【自我檢測(cè)】1.如圖M4-13-8所示,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,DABDCB,E為線段BD上的一點(diǎn),且EB=ED=EC=BC,連接CE并延長(zhǎng),交AD于點(diǎn)F.(1)若G為PD的中點(diǎn),求證:平面PAD平面CGF;(2)若BC=2,PA=3,求平面BCP與平面DCP所成銳二面角的余弦值.圖M4-13-82.如圖M4-13-9所示,在五邊形ABCDE中,ED=EA,ABCD,CD=2AB,EDC=150,現(xiàn)將EAD沿AD翻折到PAD的位置,得到四棱錐P-ABCD,如圖M4-13-9所示,點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn),且BM平面PCD.(1)求證:平面PAD平面ABCD;(2)若直線PC與直線AB所成角的正切值為12,求直線BM與平面PDB所成角的正弦值.圖M4-13-93.如圖M4-13-10所示,在四棱錐P-ABCD中,PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且ADC=BCD=90.(1)當(dāng)PB=2時(shí),證明:平面PAD平面ABCD;(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積為34,且二面角P-AD-B為鈍角時(shí),求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.圖M4-13-10解答3利用空間向量解決探索性問(wèn)題4 如圖M4-13-11,等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)D,E分別為AB,AC上的點(diǎn),且滿足ADDB=CEEA=12,將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使二面角A1-DE-B為直二面角(如圖M4-13-11).(1)求證:A1D平面BCED.(2)在線段BC上(包括端點(diǎn))是否存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60?若存在,求出PB的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖M4-13-11聽(tīng)課筆記 【考場(chǎng)點(diǎn)撥】與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類:一類是探究線面的位置關(guān)系;另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題.處理原則是:先建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù)(有些是題中已給出),設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),然后探究這樣的點(diǎn)是否存在,或參數(shù)是否滿足要求,從而作出判斷.【自我檢測(cè)】如圖M4-13-12所示,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,BCAD,ABAD,且PA=AD=AB=2BC=2,M為AD的中點(diǎn).(1)求證:平面PCM平面PAD.(2)在棱PD上是否存在點(diǎn)Q,使PD平面CMQ?若存在,求出二面角P-CM-Q的余弦值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.圖M4-13-12第13講立體幾何 典型真題研析1.解:(1)證明:由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.(2)作PHEF,垂足為H.由(1)得,PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn),HF的方向?yàn)閥軸正方向,|BF|為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.由(1)可得,DEPE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PEPF,可得PH=32,EH=32,則H(0,0,0),P0,0,32,D-1,-32,0,DP=1,32,32,HP=0,0,32為平面ABFD的法向量.設(shè)DP與平面ABFD所成的角為,則sin =HPDP|HP|DP|=343=34,所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為34.2.解:(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為CD上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),M為CD的中點(diǎn).由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,則nAM=0,nAB=0,即-2x+y+z=0,2y=0,可取n=(1,0,2).DA是平面MCD的法向量,因此cos<n,DA>=nDA|n|DA|=55,sin<n,DA>=255.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是255.3.解:(1)證明:因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD,所以ABPD.又因?yàn)镻APD,所以PD平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nPD=0,nPC=0,即-y-z=0,2x-z=0.令z=2,則x=1,y=-2,所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=nPB|n|PB|=-33,所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33.(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1使得AM=AP.因此點(diǎn)M(0,1-,),BM=(-1,-,).因?yàn)锽M平面PCD,所以BM平面PCD,當(dāng)且僅當(dāng)BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0,解得=14.所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD,此時(shí)AMAP=14.考點(diǎn)考法探究解答1例1證明:方法一(幾何法):(1)取CP的中點(diǎn)N,連接MN,DN,因?yàn)镸為PB的中點(diǎn),所以MNBC,且MN=12BC,又ADBC,且AD=12BC,所以MN=AD,且MNAD,所以四邊形AMND為平行四邊形,所以AMDN,又DN平面PCD,所以AM平面PCD.(2)因?yàn)锳D=CD=1,BC=2,ADBC,ADCD,所以AC=AB=2,又BC=2,所以CAAB.因?yàn)镻A底面ABCD,所以PAAC,又PAAB=A,所以AC平面PAB,因?yàn)锳C平面ACM,所以平面ACM平面PAB.方法二(向量法):(1)以C為原點(diǎn),CD,CB所在直線分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示.設(shè)PA=a(a>0),則A(1,1,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(1,0,0),P(1,1,a),M12,32,a2,所以CP=(1,1,a),CD=(1,0,0).設(shè)平面PCD的法向量為n1=(x0,y0,z0),則n1CP=0,n1CD=0,即x0+y0+az0=0,x0=0,令y0=a,則x0=0,z0=-1,所以n1=(0,a,-1),又AM=-12,12,a2,所以AMn1=a2-a2=0,所以AM平面PCD.(2)由(1)知CA=(1,1,0),CM=12,32,a2,設(shè)平面ACM的法向量為n2=(x1,y1,z1),則n2CA=0,n2CM=0,即x1+y1=0,12x1+32y1+a2z1=0,令x1=1,則y1=-1,z1=2a,所以n2=1,-1,2a.AP=(0,0,a),AB=(-1,1,0),設(shè)平面PAB的法向量為n3=(x2,y2,z2),則n3AP=0,n3AB=0,即az2=0,-x2+y2=0,令x2=1,則y2=1,z2=0,所以n3=(1,1,0).因?yàn)閚2n3=0,所以平面ACM平面PAB.【自我檢測(cè)】解:(1)證明:AB=2,BC=4,E為AD的中點(diǎn),AB=AE=2,又O為BE的中點(diǎn),AOBE.由題意可知,AOBE,平面ABE平面BCDE,平面ABE平面BCDE=BE,AO平面ABE,AO平面BCDE,又CD平面BCDE,AOCD.(2)方法一:取BC的中點(diǎn)為F,連接OF,易知OFBE.由(1)可知,AOBE,AOOF,以O(shè)為原點(diǎn),OA所在直線為z軸,OF所在直線為x軸,OE所在直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,2),E(0,2,0),D(2,22,0),C(22,2,0).假設(shè)在線段AC上存在點(diǎn)P,使得OP平面ADE,設(shè)AP=AC(01),則由AC=(22,2,-2),得AP=(22,2,-2),P(22,2,2-2),OP=(22,2,2-2).AE=(0,2,-2),ED=(2,2,0),設(shè)平面ADE的法向量為m=(x,y,z),則mAE=0,mED=0,即2y-2z=0,2x+2y=0,令y=1,則x=-1,z=1,m=(-1,1,1).若OP平面ADE,則mOP=0,-22+2+2-2=0,解得=12,APAC=12.方法二:取CD的中點(diǎn)M,AC的中點(diǎn)N,連接OM,ON,MN,易證OMDE,MNAD,又OMMN=M,DEAD=D,平面OMN平面ADE.ON平面OMN,ON平面ADE,即P與N重合時(shí),滿足題意,APAC=12.解答2例2解:(1)證明:因?yàn)?2AE=2,所以AE=4,又AB=2,ABAE,所以BE=AB2+AE2=22+42=25.因?yàn)锳C=5=12BE,所以AC是RtABE的斜邊BE上的中線,所以C是BE的中點(diǎn),又CD是ABE的中位線,所以CDAB.因?yàn)镃D平面PAB,AB平面PAB,所以CD平面PAB.(2)由題意可知AB,AE,AP兩兩垂直,以A為原點(diǎn),AB,AE,AP所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳B=AP=12AE=2,且C,D分別是BE,AE的中點(diǎn),所以AE=4,AD=2,則E(0,4,0),C(1,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),所以PE=(0,4,-2),PC=(1,2,-2),CD=(-1,0,0).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nCD=0,nPC=0,即-x=0,x+2y-2z=0,令y=1,則x=0,z=1,所以n=(0,1,1).設(shè)直線PE與平面PCD所成角的大小為,則sin =PEn|PE|n|=1010.例3解:(1)證明:連接PE.PA=AC,PAD=CAD,AE是公共邊,PAECAE,PEA=CEA.CEAD,PEAD,又PECE=E,AD平面PCE,PC平面PCE,ADPC.(2)AD平面PEC,平面PAD平面ABCD,EP,EA,EC兩兩垂直,以E為原點(diǎn),EA,EC,EP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.PA=AC=2,PAD=CAD=60,AD=3,AE=1,PE=CE=3,DE=2,則E(0,0,0),D(-2,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),DP=(2,0,3),DC=(2,3,0).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nDP=0,nDC=0,即2x+3z=0,2x+3y=0,令x=-3,則y=2,z=2,n=(-3,2,2).易知平面PAD的一個(gè)法向量為EC=(0,3,0).設(shè)二面角C-PD-A的平面角為,則|cos |=ECn|EC|n|=23311=21111,顯然二面角C-PD-A的平面角是銳角,故二面角C-PD-A的余弦值為21111.【自我檢測(cè)】1.解:(1)證明:在BCD中,EB=ED=EC=BC,故BCD=2,CBE=CEB=3,DABDCB,EABECB,從而有FED=BEC=AEB=3,EC=EA,FED=FEA,ED=EA,故EFAD,AF=FD.又PG=GD,FGPA.PA平面ABCD,GF平面ABCD,GFAD,又GFEF=F,故AD平面CFG.AD平面PAD,平面PAD平面CGF.(2)由(1)知EAB=ECB=3,DEF=FEA=3,AE=ED,EAF=6,BAF=2,即BAAF.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,3,0),D(0,23,0),P(0,0,3),故BC=(1,3,0),CP=(-3,-3,3),CD=(-3,3,0).設(shè)平面BCP的法向量為n1=(x1,y1,z1),則n1BC=0,n1CP=0,即x1+3y1=0,-3x1-3y1+3z1=0,令x1=1,則y1=-33,z1=23,n1=1,-33,23.設(shè)平面DCP的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n2CD=0,n2CP=0,即-3x2+3y2=0,-3x2-3y2+3z2=0,令x2=1,則y2=3,z2=2,n2=(1,3,2).設(shè)平面BCP與平面DCP所成的銳二面角為,則cos =|n1n2|n1|n2|=434322=24.2.解:(1)證明:取PD的中點(diǎn)N,連接AN,MN,則MNCD,且MN=12CD.ABCD,且AB=12CD,MNAB,且MN=AB,則四邊形ABMN為平行四邊形,ANBM,又BM平面PCD,AN平面PCD,ANPD,ANCD.由ED=EA,即PD=PA,且N為PD的中點(diǎn),ANPD,可得PAD為等邊三角形,PDA=60,又EDC=150,CDA=90,即CDAD.ADAN=A,CD平面PAD,又CD平面ABCD,平面PAD平面ABCD.(2)ABCD,PCD為直線PC與AB所成的角,由(1)可得PDC=90,tanPCD=PDCD=12,CD=2PD.設(shè)PD=1,則CD=2,PA=AD=AB=1,取AD的中點(diǎn)O,連接PO,過(guò)O作AB的平行線,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則D-12,0,0,B12,1,0,P0,0,32,M-14,1,34,則DB=(1,1,0),PB=12,1,-32,BM=-34,0,34.設(shè)n=(x,y,z)為平面PBD的法向量,則nDB=0,nPB=0,即x+y=0,12x+y-32z=0,令x=3,則y=-3,z=-3,n=(3,-3,-3),則cos<n,BM>=nBM|n|BM|=-32132=-277,故直線BM與平面PDB所成角的正弦值為277.3.解:(1)證明:如圖所示,取AD的中點(diǎn)O,連接PO,OB.PA=PD,POAD.ADC=BCD=90,BCAD,又BC=12AD=1,BC=OD,四邊形BCDO為矩形,OB=CD=1.在POB中,PO=3,OB=1,PB=2,POB=90,則POOB.ADOB=O,PO平面ABCD,又PO平面PAD,平面PAD平面ABCD.(2)由(1)知ADPO,ADBO,POOB=O,AD平面POB,又AD平面ABCD,平面POB平面ABCD.過(guò)點(diǎn)P作PE平面ABCD,則垂足E一定落在平面POB與平面ABCD的交線OB上.四棱錐P-ABCD的體積為34,13PE12(AD+BC)CD=13PE12(2+1)1=12PE=34,PE=32.PO=3,OE=PO2-PE2=32.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB所在直線分別為x,y軸,在平面POB內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作垂直于平面AOB的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意可知A(1,0,0),P0,-32,32,D(-1,0,0),C(-1,1,0),則DP=1,-32,32,DC=(0,1,0),PA=1,32,-32.設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nDP=0,nDC=0,即x-32y+32z=0,y=0,令x=1,則y=0,z=-23,n=1,0,-23.設(shè)直線PA與平面PCD所成的角為,則sin =|PAn|PA|n|=22133=31313,故直線PA與平面PCD所成角的正弦值為31313.解答3例4解:(1)證明:因?yàn)榈冗吶切蜛BC的邊長(zhǎng)為3,且ADDB=CEEA=12,所以AD=1,AE=2.在ADE中,DAE=60,由余弦定理得DE=12+22-212cos60=3.因?yàn)锳D2+DE2=AE2,所以ADDE,故折疊后有A1DDE.因?yàn)槎娼茿1-DE-B是直二面角,所以平面A1DE平面BCED,又平面A1DE平面BCED=DE,A1D平面A1DE,A1DDE,所以A1D平面BCED.(2)由(1)知EDDB,A1D平面BCED.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DE,DA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖所示,設(shè)PB=2a(02a3),過(guò)點(diǎn)P作PHBD于H,則PH=3a,DH=2-a,所以A1(0,0,1),P(2-a,3a,0),E(0,3,0),所以PA1=(a-2,-3a,1),易知平面A1BD的一個(gè)法向量為DE=(0,3,0).若直線PA1與平面A1BD所成的角為60,則sin 60=|PA1DE|PA1|DE|=3a4a2-4a+53=32,解得a=54,則PB=2a=52,滿足02a3,符合題意.故在線段BC上存在點(diǎn)P,使直線PA1與平面A1BD所成的角為60,此時(shí)PB=52.【自我檢測(cè)】解:(1)證明:以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),故AD=(0,2,0),AP=(0,0,2),M為AD的中點(diǎn),M(0,1,0),MC=(2,0,0).MCAD=0,MCAP=0,CMPA,CMAD,又PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,CM平面PAD.CM平面PCM,平面PCM平面PAD.(2)過(guò)點(diǎn)M作MQPD于點(diǎn)Q,由(1)知CM平面PAD,PD平面PAD,CMPD,又MQCM=M,PD平面CMQ.設(shè)平面PCM的法向量為n=(x,y,z),則nMC=0,nPM=0,即2x=0,y-2z=0,令y=2,則x=0,z=1,n=(0,2,1).PD平面CMQ,PD=(0,2,-2)是平面CMQ的一個(gè)法向量.設(shè)二面角P-CM-Q的平面角為,易知其為銳角,cos =|nPD|n|PD|=258=1010,故二面角P-CM-Q的余弦值為1010.備選理由 例1是以四棱柱為載體來(lái)考查線面垂直的證明與求二面角的問(wèn)題,本題的關(guān)鍵是完成第(1)問(wèn)的證明,需要充分利用平面幾何的性質(zhì);例2的關(guān)鍵是第(2)問(wèn)依據(jù)線面角求棱的長(zhǎng)度;例3為不規(guī)則幾何體,是涉及平行、二面角、線線垂直的探究性命題,需要合理建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.例1配例3使用 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為AC和BD的交點(diǎn),且AB=AA1=2,A1AB=A1AD=60.(1)求證:A1O平面ABCD;(2)求二面角C1-BD-C的余弦值.解:(1)證明:連接A1B,A1D,由題意知ABA1,ADA1均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,所以A1B=A1D=2,所以ABDA1BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以AC與BD相互垂直且平分,所以A1OBD,且A1O=AO=2,因?yàn)锳1O2+AO2=4=A1A2,所以A1OAO,又AOBD=O,AO,BD平面ABCD,所以A1O平面ABCD.(2)連接A1C1,OC1,由(1)可知BD平面ACC1A1,所以BDOC,BDOC1,所以C1OC為二面角C1-BD-C的平面角,易知C1OC為銳角.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則O(0,0,0),C(-2,0,0),A1(0,0,2),A(2,0,0),所以O(shè)C=(-2,0,0),OC1=OA1+A1C1=OA1+AC=(-22,0,2),所以cosC1OC=cos<OC,OC1>=OCOC1|OC|OC1|=425=255.故二面角C1-BD-C的余弦值為255.例2配例3使用 如圖所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,BAD=120,AB=2,E,F分別為CD,AA1的中點(diǎn).(1)求證:DF平面B1AE;(2)若AA1底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成角的正弦值為34,求AA1的長(zhǎng).解:(1)證明:設(shè)G為AB1的中點(diǎn),連接EG,GF,因?yàn)镕G12A1B1,DE12A1B1,所以FGDE,所以四邊形DEGF是平行四邊形,所以DFEG,又DF平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF平面B1AE.(2)連接AC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等邊三角形,取BC的中點(diǎn)Q,則AQAD,因?yàn)锳A1平面ABCD,所以AA1AQ,AA1AD.以A為原點(diǎn),AQ,AD,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AA1=t(t>0),則A(0,0,0),E32,32,0,B1(3,-1,t),D1(0,2,t),AE=32,32,0,AB1=(3,-1,t),AD1=(0,2,t).設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z),則nAE=0,nAB1=0,即32x+32y=0,3x-y+tz=0,令y=t,則x=-3t,z=4,所以n=(-3t,t,4).設(shè)直線AD1與平面B1AE所成的角為,則sin =|nAD1|n|AD1|=6t2(t2+4)=34,解得t=2,故線段AA1的長(zhǎng)為2.例3配例4使用 如圖所示,四邊形ABCD是梯形,ADBC,BAD=90,四邊形CC1D1D為矩形,已知ABBC1,AD=4,AB=2,BC=1.(1)求證:BC1平面ADD1.(2)若DD1=2,求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值.(3)設(shè)P為線段C1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),判斷直線BC1與直線CP能否垂直?并說(shuō)明理由.解:(1)證明:由四邊形CC1D1D為矩形,得CC1DD1,又因?yàn)镈D1平面ADD1,CC1平面ADD1,所以CC1平面ADD1.同理,BC平面ADD1,因?yàn)锽CCC1=C,所以平面BCC1平面ADD1,又因?yàn)锽C1平面BCC1,所以BC1平面ADD1.(2)由ADBC,BAD=90,得ABBC,又因?yàn)锳BBC1,BCBC1=B,所以AB平面BCC1,所以ABCC1.因?yàn)樗倪呅蜟C1D1D為矩形,且底面ABCD中AB與CD相交于一點(diǎn),所以CC1平面ABCD,又因?yàn)镃C1DD1,所以DD1平面ABCD.過(guò)點(diǎn)D在底面ABCD中作DMAD,則DA,DM,DD1兩兩垂直,以DA,DM,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),C(3,2,0),C1(3,2,2),D1(0,0,2),所以AC1=(-1,2,2),AD1=(-4,0,2).設(shè)平面AC1D1的法向量為m=(x,y,z),則mAC1=0,mAD1=0,即-x+2y+2z=0,-4x+2z=0,令x=2,則y=-3,z=4,所以m=(2,-3,4),易得平面ADD1的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),所以cos<m,n>=mn|m|n|=-32929,故平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值為32929.(3)直線BC1與直線CP不可能垂直.設(shè)DD1=m(m>0),DP=DC1(0,1),由B(4,2,0),C(3,2,0),C1(3,2,m),D(0,0,0),得BC1=(-1,0,m),DC1=(3,2,m),DP=DC1=(3,2,m),CD=(-3,-2,0),CP=CD+DP=(3-3,2-2,m).若BC1CP,則BC1CP=-(3-3)+m2=0,即(m2-3)=-3,因?yàn)?,所以m2=-3+3>0,解得>1,這與0<<1矛盾,所以直線BC1與直線CP不可能垂直.