考點(diǎn)規(guī)范練47雙曲線基礎(chǔ)鞏固組1.(2018浙江一模摸底)雙曲線x2a2-y24a2=1(a0)的漸近線方程為()A.y=2xB.y=12xC.y=4xD.y=2x答案A解析根據(jù)雙曲線的漸近線方程定義,可知其方程為y=2aax=2x.故選A.2.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1的離心率e=54,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案C解析由焦點(diǎn)F2(5,0)知c=5.又e=ca=54,得a=4,b2=c2-a2=9.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-y29=1.3.(2017課標(biāo)高考)已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則APF的面積為()A.13B.12C.23D.32答案D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).將x=2代入x2-y23=1,得y=3,所以PF=3.又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),故APF的面積為123(2-1)=32,故選D.4.(2018浙江嘉興調(diào)研)過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的直線與漸近線交于A,B兩點(diǎn),若OAB的面積為13bc3,則雙曲線的離心率為()A.52B.53C.132D.133答案D解析由題意可求得|AB|=2bca,所以SOAB=122bcac=13bc3,整理得ca=133,即e=133.故選D.5.(2018浙江衢州模擬)已知l是雙曲線C:x22-y24=1的一條漸近線,P是l上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn),若PF1PF2=0,則點(diǎn)P到x軸的距離為()A.233B.2C.2D.263答案C解析由題意知F1(-6,0),F2(6,0),不妨設(shè)漸近線l的方程為y=2x,則可設(shè)P(x0,2x0).由PF1PF2=(-6-x0,-2x0)(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=2.故點(diǎn)P到x軸的距離為2|x0|=2,應(yīng)選C.6.點(diǎn)P是雙曲線x29-y216=1的右支上的一點(diǎn),M是圓(x+5)2+y2=4上的一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,0),則|PM|-|PN|的最大值為.答案8解析設(shè)圓(x+5)2+y2=4圓心為F,則|PM|-|PN|PF|+2-|PN|=2a+2=23+2=8.7.過(guò)雙曲線x2-y23=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.答案43解析由題意知,雙曲線x2-y23=1的漸近線方程為y=3x,將x=c=2代入得y=23,即A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,23),(2,-23),所以|AB|=43.8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),則a=;b=.答案12解析由2x+y=0,得y=-2x,所以ba=2.又c=5,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.能力提升組9.設(shè)點(diǎn)P為有公共焦點(diǎn)F1,F2的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且cosF1PF2=35,橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,若e2=2e1,則e1=()A.104B.75C.74D.105答案D解析設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a,則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4a,不妨設(shè)|PF1|>|PF2|,|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|-|PF2|=2a|PF1|=3a,|PF2|=a,在PF1F2中,由余弦定理可知4c2=9a2+a2-23aa35ca=2105e1=c2a=105,故選D.10.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則OPFP的取值范圍為()A.3-23,+)B.3+23,+)C.-74,+D.74,+答案B解析由a2+1=4,得a=3,則雙曲線方程為x23-y2=1.設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則x023-y02=1,即y02=x023-1.OPFP=x0(x0+2)+y02=x02+2x0+x023-1=43x0+342-74,x03,當(dāng)x0=3時(shí),OPFP取最小值3+23.故OPFP的取值范圍是3+23,+).11.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在一點(diǎn)P滿足以|OP|為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于2ab(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A.1,52B.1,72C.52,+D.72,+答案C解析由已知條件,得|OP|2=2ab,P為雙曲線上一點(diǎn),|OP|a,2aba2.2ba.又c2=a2+b2a2+a24=54a2,e=ca52.12.點(diǎn)P是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左支上的一點(diǎn),其右焦點(diǎn)為F(c,0),若M為線段FP的中點(diǎn),且M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為c8,則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.(1,8B.1,43C.43,53D.(2,3答案B解析由題意,設(shè)P(x,y),x-a,Mx+c2,y2,(x+c)24+y24=c264,即x2+2cx+c2+b2a2x2-b2=c216cax+a2=116c2,x-a,cax+a-c+a,cax+a2(-c+a)2116c2(-c+a)214cc-ae=ca43,1<e43,故選B.13.(2018浙江嘉興二模)已知離心率為52的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn),且OMMF2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若SOMF2=16,則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由題意知F2(c,0),不妨令點(diǎn)M在漸近線y=bax上,由題意可知|F2M|=bca2+b2=b,所以|OM|=c2-b2=a.由SOMF2=16,可得12ab=16,即ab=32.又a2+b2=c2,ca=52,所以a=8,b=4,c=45.所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.14.(2018浙江臺(tái)州調(diào)研)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是.答案52解析雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=bax.由y=bax,x-3y+m=0,得Aam3b-a,bm3b-a,由y=-bax,x-3y+m=0得B-ama+3b,bma+3b,所以AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為a2m9b2-a2,3b2m9b2-a2.設(shè)直線l:x-3y+m=0(m0),因?yàn)閨PA|=|PB|,所以PCl.所以kPC=-3,化簡(jiǎn)得a2=4b2.在雙曲線中,c2=a2+b2=54a2,所以e=ca=52.15.設(shè)雙曲線x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若點(diǎn)P在雙曲線上,且F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是.答案(27,8)解析如圖,由已知可得a=1,b=3,c=2,從而|F1F2|=4,由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上,設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=m+2a=m+2,由于PF1F2為銳角三角形,結(jié)合實(shí)際意義需滿足(m+2)2<m2+42,42<(m+2)2+m2,解得-1+7<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,27<2m+2<8.16.如圖,過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1(a,b>0)左焦點(diǎn)F1的直線交雙曲線左支于A,B兩點(diǎn),C是雙曲線右支上一點(diǎn),且A,C在x軸的異側(cè),若滿足|OA|=|OF1|=|OC|,|CF1|=2|BF1|,則雙曲線的離心率為.答案173解析取雙曲線的右焦點(diǎn)F2,連接CF2,延長(zhǎng)交雙曲線于D,連接AF2,DF1,由|OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c,可得四邊形F1AF2C為矩形,設(shè)|CF1|=2|BF1|=2m,由對(duì)稱性可得|DF2|=m,|AF1|=4c2-4m2,即有|CF2|=4c2-4m2,由雙曲線的定義可得2a=|CF1|-|CF2|=2m-4c2-4m2,在直角三角形DCF1中,|DC|=m+4c2-4m2,|CF1|=2m,|DF1|=2a+m,可得(2a+m)2=(2m)2+(m+4c2-4m2)2,由可得3m=4a,即m=4a3,代入可得2a=8a3-4c2-64a29,化簡(jiǎn)可得c2=179a2,即有e=ca=173.故答案為173.17.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為2,且過(guò)點(diǎn)(4,-10).點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上.(1)求雙曲線方程;(2)求證:MF1MF2=0;(3)求F1MF2的面積.(1)解e=2,可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=(0).雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,-10),16-10=,即=6.雙曲線方程為x2-y2=6.(2)證明由(1)可知,在雙曲線中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0).kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,又點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,9-m2=6,m2=3.kMF1kMF2=m3+23m3-23=-m23=-1.MF1MF2.MF1MF2=0.(3)解由(2)知MF1MF2,MF1F2為直角三角形.又F1(-23,0),F2(23,0),m=3,M(3,3)或(3,-3),由兩點(diǎn)間距離公式得|MF1|=(-23-3)2+(0-3)2=24+123,|MF2|=(23-3)2+(0-3)2=24-123,SF1MF2=12|MF1|MF2|=1224+12324-123=1212=6,即F1MF2的面積為6.18.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),實(shí)軸長(zhǎng)為23.(1)求雙曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C左支交于A,B兩點(diǎn),求k的取值范圍;(3)在(2)的條件下,線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0,m),求m的取值范圍.解(1)設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由已知得a=3,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,雙曲線C的方程為x23-y2=1.(2)設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),將y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由題意知1-3k20,=36(1-k2)>0,xA+xB=62k1-3k2<0,xAxB=-91-3k2>0,解得33<k<1.當(dāng)33<k<1時(shí),l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn).(3)由(2)得xA+xB=62k1-3k2,yA+yB=(kxA+2)+(kxB+2)=k(xA+xB)+22=221-3k2.AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為32k1-3k2,21-3k2.設(shè)直線l0的方程為y=-1kx+m,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l0的方程,得m=421-3k2.33<k<1,-2<1-3k2<0.m<-22.m的取值范圍為(-,-22).