第3練不等式與線性規(guī)劃明晰考情1.命題角度：不等式的性質(zhì)和線性規(guī)劃在高考中一直是命題的熱點.2.題目難度：中低檔難度.考點一不等關系與不等式的性質(zhì)要點重組不等式的常用性質(zhì)(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(2)如果a>b>0，那么an>bn(nN，n1).(3)如果a>b>0，那么>(nN，n2).1.若a>b>0，c<d<0，則一定有()A.>B.<C.>D.<答案D解析由c<d<0，得<0，>>0，又a>b>0，>，<.2.(2018全國)設alog0.20.3，blog20.3，則()A.abab0B.abab0C.ab0abD.ab0ab答案B解析alog0.20.3log0.210，blog20.3log210，ab0.log0.30.2log0.32log0.30.4，1log0.30.3log0.30.4log0.310，01，abab0.3.已知x，yR，且xy0，則()A.0B.sinxsiny0C.xy0D.lnxlny0答案C解析函數(shù)y在(0，)上單調(diào)遞減，所以，即0，A錯；函數(shù)ysinx在(0，)上不是單調(diào)函數(shù)，B錯；函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞減，所以xy，即xy0，C正確；lnxlnylnxy，當xy0時，xy不一定大于1，即不一定有l(wèi)nxy0，D錯.4.若xy，ab，則在：axby；axby；axby；這四個式子中，恒成立的所有不等式的序號是_.答案考點二不等式的解法方法技巧(1)解一元二次不等式的步驟一化(二次項系數(shù)化為正)，二判(看判別式)，三解(解對應的一元二次方程)，四寫(根據(jù)“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式解集).(2)可化為0(或0)型的分式不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.(3)指數(shù)不等式、對數(shù)不等式可利用函數(shù)單調(diào)性求解.5.用mina，b表示a，b兩數(shù)中的最小值，若函數(shù)f(x)minx3，x23x6，則不等式f(x1)<2的解集為()A.x|x<1B.x|x>4C.x|x<1或x>4D.x|x<0或x>5答案D解析畫出yx3與yx23x6的圖象如圖所示，由圖易得f(x)故f(x)的圖象如圖中的粗線部分所示，由f(x)<2，作出直線y2，數(shù)形結合得x<1或x>4，則由不等式f(x1)<2，可得x1<1或x1>4，得x<0或x>5，故選D.6.已知x(，1，不等式12x(aa2)4x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.(，6答案C解析令2xt (0<t2)，則可知1t(aa2)t2>0aa2>，故只要求解h(t) (0<t2)的最大值即可，h(t)2.又，結合二次函數(shù)的圖象知，當，即t2時，h(t)取得最大值，即aa2>，所以4a24a3<0，解得實數(shù)a的取值范圍為，故選C.7.關于x的不等式x22ax8a20(a0)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于()A.B.C.D.答案A解析由條件知，x1，x2為方程x22ax8a20的兩根，則x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a，故選A.8.已知函數(shù)f(x)若對任意的xR，不等式f(x)m2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為_.答案1，)解析由題意知，m2mf(x)max.當x1時，f(x)是減函數(shù)，f(x)f(1)0；當x1時，f(x)x2x，其圖象的對稱軸方程是x，且開口向下，f(x)max.f(x)在R上的最大值為f.m2m，即4m23m10，m或m1.考點三基本不等式要點重組基本不等式：，a>0，b>0(1)利用基本不等式求最值的條件：一正二定三相等.(2)求最值時若連續(xù)利用兩次基本不等式，必須保證兩次等號成立的條件一致.9.(2018大慶模擬)設a，bR，a22b26，則ab的最小值為()A.2B.C.3D.答案A解析因為由基本不等式a22b22ab，所以2(a22b2)a22b22ab(ab)2.又因為a22b26，則有26(ab)2，即2ab2.10.若正數(shù)x，y滿足x26xy10，則x2y的最小值是()A.B.C.D.答案A解析由x26xy10，可得x26xy1，即x(x6y)1.因為x，y都是正數(shù)，所以x6y0.故2x(x6y)22，即3x6y2，故x2y(當且僅當2xx6y，即x6y>0時等號成立).故選A.11.如圖，在RtABC中，P是斜邊BC上一點，且滿足，點M，N在過點P的直線上，若，(>0，>0)，則2的最小值為()A.2B.C.3D.答案B解析()，因為M，N，P三點共線，所以1.因此2(2)2，當且僅當，時“”成立，故選B.12.(2017天津)若a，bR，ab>0，則的最小值為_.答案4解析a，bR，ab0，4ab24，當且僅當即且a，b同號時取得等號.故的最小值為4.考點四簡單的線性規(guī)劃問題方法技巧(1)求目標函數(shù)最值的一般步驟：一畫二移三求.(2)常見的目標函數(shù)截距型：zaxby；距離型：z(xa)2(yb)2；斜率型：z.13.(2018天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z3x5y的最大值為()A.6B.19C.21D.45答案C解析畫出可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，由z3x5y，得yx.設直線l0為yx，平移直線l0，當直線yx過點P(2,3)時，z取得最大值，zmax325321.故選C.14.(2018安徽省“皖南八校”聯(lián)考)設x，y滿足約束條件則z|x3y|的最大值為()A.15B.13C.3D.2答案A解析畫出約束條件所表示的可行域，如圖(陰影部分含邊界)所示，設z1x3y，可化為yx，當直線yx經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z1取得最大值，當直線yx經(jīng)過點B時，直線在y軸上的截距最小，此時z1取得最小值，由解得A(3,4)，此時最大值為z133415；由解得B(2,0)，此時最小值為z12302，所以目標函數(shù)z|x3y|的最大值為15.15.(2016山東)若變量x，y滿足則x2y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)，x2y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x3，y1時，x2y2取最大值，最大值為10.故選C.16.(2018永州模擬)設實數(shù)x，y滿足約束條件則z的最大值是_.答案1解析滿足條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.z表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(0,0)連線的斜率，由圖可知，最大值為kOA1.1.若不等式(2)na3n1(2)n0對任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析當n為奇數(shù)時，要滿足2n(1a)3n1恒成立，即1an恒成立，只需1a1，解得a；當n為偶數(shù)時，要滿足2n(a1)3n1恒成立，即a1n恒成立，只需a12，解得a.綜上，a，故選D.2.已知實數(shù)x，y滿足不等式組則(x3)2(y2)2的最小值為_.答案13解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域(圖略)，易知(x3)2(y2)2表示可行域內(nèi)的點(x，y)與(3，2)兩點間距離的平方，通過數(shù)形結合可知，當(x，y)為直線xy2與y1的交點(1,1)時，(x3)2(y2)2取得最小值，為13.3.設實數(shù)x，y滿足條件若目標函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為_.答案4解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，當直線zaxby(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值12，即2a3b6，則24，當且僅當，即時取等號.解題秘籍(1)不等式恒成立或有解問題能分離參數(shù)的，可先分離參數(shù)，然后通過求最值解決.(2)利用基本不等式求最值時要靈活運用兩個公式：a2b22ab(a，bR)，當且僅當ab時取等號；ab2 (a>0，b>0)，當且僅當ab時取等號.注意公式的變形使用和等號成立的條件.(3)理解線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)的實際意義.1.若xy0，mn，則下列不等式正確的是()A.xmymB.xmynC.D.x答案D2.已知a>0，b0，且a1，b1，若logab1，則()A.(a1)(b1)0B.(a1)(ab)0C.(b1)(ba)0D.(b1)(ba)0答案D解析取a2，b4，則(a1)(b1)30，排除A；則(a1)(ab)20，排除B；(b1)(ba)60，排除C，故選D.3.設函數(shù)f(x)則不等式f(x)>f(1)的解集是()A.(3,1)(3，) B.(3,1)(2，)C.(1,1)(3，) D.(，3)(1,3)答案A解析f(1)3.由題意得或解得3<x<1或x>3.4.下列函數(shù)中，y的最小值為4的是()A.yxB.ylog3x4logx3C.ysinx(0x)D.yex4ex答案D5.為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求ACB60，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為()A.米B.2米C.(1)米D.(2)米答案D解析由題意設BCx(x>1)米，ACt(t>0)米，依題意知ABAC0.5t0.5(米)，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t0.5)2t2x2tx，化簡并整理得t(x>1)，即tx12，又x>1，故tx122，此時t取最小值2，故選D.6.已知圓C：(xa)2(yb)21，平面區(qū)域：若圓心C，且圓C與x軸相切，則a2b2的最大值為()A.5B.29C.37D.49答案C解析如圖，由已知得平面區(qū)域為MNP內(nèi)部及邊界.圓C與x軸相切，b1.顯然當圓心C位于直線y1與xy70的交點(6,1)處時，|a|max6.a2b2的最大值為621237.故選C.7.實數(shù)x，y滿足且z2xy的最大值是最小值的4倍，則a的值是()A.B.C.D.答案B解析在平面直角坐標系中作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(包括邊界)所示，當目標函數(shù)z2xy經(jīng)過可行域中的點B(1,1)時有最大值3，當目標函數(shù)z2xy經(jīng)過可行域中的點A(a，a)時有最小值3a，由343a，得a.8.若對任意的x，yR，不等式x2y2xy3(xya)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(，1 B.1，)C.1，) D.(，1答案B解析不等式x2y2xy3(xya)對任意的x，yR恒成立等價于不等式x2(y3)xy23y3a0對任意的x，yR恒成立，所以(y3)24(y23y3a)3y26y912a3(y1)212(1a)0對任意的yR恒成立，所以1a0，即a1，故選B.9.設函數(shù)f(x)，則不等式f()f的解集是_.答案解析函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)且在(1,1)上單調(diào)遞增，f(x)f(x)，所以f()ff()f1，解得x.10.(2018天津)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_.答案解析a3b60，a3b6，2a2a23b222223，當且僅當即時取到等號，則最小值為.11.若變量x，y滿足條件則(x2)2y2的最小值為_.答案5解析如圖所示，作出不等式組所表示的可行域(陰影部分).設z(x2)2y2，則z的幾何意義為可行域內(nèi)的點到定點D(2,0)的距離的平方，由圖象可知，C，D兩點間的距離最小，此時z最小，由可得即C(0,1).所以zmin(02)212415.12.不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為S，則當不等式a恒成立時，實數(shù)a的取值范圍是_.答案(，6解析畫出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖所示(陰影部分含邊界)，則Sm|AB|m2，所以m1m12226(當且僅當m3時等號成立)，則由題意知實數(shù)a的取值范圍是a6.