5.2平面向量數(shù)量積與應(yīng)用挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.平面向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算4.理解數(shù)量積的性質(zhì)并能運(yùn)用2014天津,8基底法線性表示向量向量的共線表示2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用1.能運(yùn)用數(shù)量積解決兩向量的夾角問題和長度問題2.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的平行、垂直關(guān)系3.會(huì)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及一些實(shí)際問題2015天津,14向量方法解決平面幾何問題基本不等式分析解讀在天津高考中,平面向量的數(shù)量積常以平面圖形為載體,借助平行四邊形法則和三角形法則來考查.當(dāng)平面圖形為特殊圖形時(shí),可以建立直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算求數(shù)量積;遇到模的問題時(shí),通常是進(jìn)行平方,利用數(shù)量積的知識(shí)解決,主要從以下幾個(gè)方面考查:1.理解數(shù)量積的定義、幾何意義及其應(yīng)用.2.掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律;掌握求向量長度的方法.3.會(huì)用向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量夾角,判斷或證明向量垂直.4.利用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想解決最值等綜合問題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.已知A,B是單位圓O上的兩點(diǎn)(O為圓心),AOB=120,點(diǎn)C是線段AB上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn).MN是圓O的一條直徑,則CMCN的取值范圍是()A.-34,0B.-1,1)C.-12,1D.-1,0)答案A2.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則DECB的值為;DEDC的最大值為.答案1;1考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用3.已知向量|AB|=2,|CD|=1,且|AB-2CD|=23,則向量AB和CD的夾角為()A.30B.60C.120D.150答案C4.已知向量a=(cos,sin),向量b=(3,-1),則|2a-b|的最大值,最小值分別是()A.4,0B.42,4C.42,0D.16,0答案A5.已知向量a是單位向量,向量b=(2,23),若a(2a+b),則a,b的夾角為.答案23煉技法【方法集訓(xùn)】方法1求平面向量的模的方法1.已知平面向量PA,PB滿足|PA|=|PB|=1,PAPB=-12,若|BC|=1,則|AC|的最大值為()A.2-1B.3-1C.2+1D.3+1答案D2.在ABC中,BAC=60,AB=5,AC=4,D是AB上一點(diǎn),且ABCD=5,則|BD|等于()A.6B.4C.2D.1答案C3.已知向量a與向量b的夾角為23,且|a|=|b|=2,若向量c=xa+yb(xR且x0,yR),則xc的最大值為()A.33B.3C.13D.3答案A方法2求平面向量的夾角的方法4.ABC是邊長為2的等邊三角形,向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則向量a,b的夾角為()A.30B.60C.120D.150答案C5.若e1,e2是平面內(nèi)夾角為60的兩個(gè)單位向量,則向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夾角為()A.30B.60C.90D.120答案D6.已知|a|=10,ab=-5302,且(a-b)(a+b)=-15,則向量a與b的夾角為()A.23B.34C.56D.3答案C方法3用向量法解決平面幾何問題的方法7.(2015湖南,9,5分)已知點(diǎn)A,B,C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0),則|PA+PB+PC|的最大值為()A.6B.7C.8D.9答案B8.已知向量OA,OB的夾角為60,|OA|=|OB|=2,若OC=2OA+OB,則ABC為()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案C過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.(2016天津,7,5分)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則AFBC的值為()A.-58B.18C.14D.118答案B2.(2014天津,8,5分)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD=120,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=BC,DF=DC.若AEAF=1,CECF=-23,則+=()A.12B.23C.56D.712答案C考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上,且BE=BC,DF=19DC,則AEAF的最小值為.答案2918B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積1.(2018課標(biāo),4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0答案B2.(2014課標(biāo),3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|=10,|a-b|=6,則ab=()A.1B.2C.3D.5答案A3.(2017課標(biāo),13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=.答案234.(2016課標(biāo),13,5分)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=.答案-25.(2015湖北,11,5分)已知向量OAAB,|OA|=3,則OAOB=.答案9考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為3,向量b滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是()A.3-1B.3+1C.2D.2-3答案A2.(2017課標(biāo),12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-1答案B3.(2016課標(biāo),3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,則ABC=()A.30B.45C.60D.120答案A4.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為()A.4B.-4C.94D.-94答案B5.(2014江西,14,5分)已知單位向量e1與e2的夾角為,且cos=13,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為,則cos=.答案223C組教師專用題組1.(2015廣東,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則ADAC=()A.5B.4C.3D.2答案A2.(2015福建,7,5分)設(shè)a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,則實(shí)數(shù)k的值等于()A.-32B.-53C.53D.32答案A3.(2014湖南,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足|CD|=1,則|OA+OB+OD|的取值范圍是()A.4,6B.19-1,19+1C.23,27D.7-1,7+1答案D4.(2018上海,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且|EF|=2,則AEBF的最小值為.答案-35.(2015安徽文,15,5分)ABC是邊長為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論中正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))a為單位向量;b為單位向量;ab;bBC;(4a+b)BC.答案6.(2014江蘇,12,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,CP=3PD,APBP=2,則ABAD的值是.答案227.(2014重慶,12,5分)已知向量a與b的夾角為60,且a=(-2,-6),|b|=10,則ab=.答案108.(2013課標(biāo),13,5分)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,則t=.答案29.(2013課標(biāo),13,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點(diǎn),則AEBD=.答案2解析解法一:AEBD=AD+12AB(AD-AB)=AD2-12AB2=22-1222=2.解法二:以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),則AE=(1,2),BD=(-2,2),則AEBD=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2018天津蘆臺(tái)一中模擬,7)在直角梯形ABCD中,ABCD,ABAD,AB=2,CD=1,P為線段BC上的一點(diǎn),設(shè)BP=23BC,若PAPD=89,則|AD|=()A.2B.3C.2D.1答案A2.(2018天津南開二模,8)設(shè)ABC是邊長為1的正三角形,M是ABC所在平面上的一點(diǎn),且MA+2MB+MC=CA,則當(dāng)MAMC取得最小值時(shí),的值為()A.13B.12C.2D.3答案A3.(2019屆天津新華中學(xué)期中,5)若非零向量a,b滿足|a|=223|b|,且(a-b)(3a+2b),則a與b的夾角為()A.4B.2C.34D.答案A4.(2017天津南開一模,7)在ABC中,AB=AC=1,AM=MB,BN=NC,CMAN=-14,則ABC=()A.512B.3C.4D.6答案C5.(2017天津五校聯(lián)考一模,7)在ABC中,AC=2AB=2,BAC=120,O是BC的中點(diǎn),M是AO上的一點(diǎn),且AO=3MO,則MBMC的值是()A.-53B.-76C.-73D.-56答案A6.(2019屆天津南開中學(xué)第二次月考,7)在ABC中,ABAC=4,|BC|=3,M,N分別是BC邊上的三等分點(diǎn),則AMAN的值是()A.5B.214C.6D.8答案C7.(2017天津和平一模,7)如圖,在平行四邊形ABCD中,BAD=3,AB=2,AD=1.若M、N分別是邊AD、CD上的點(diǎn),且滿足MDAD=NCDC=,其中0,1,則ANBM的取值范圍是()A.-3,1B.-3,-1C.-1,1D.1,3答案B8.(2018天津部分區(qū)縣一模,7)已知點(diǎn)G是ABC內(nèi)的一點(diǎn),且滿足GA+GB+GC=0,若BAC=3,ABAC=1,則|AG|的最小值是()A.33B.32C.63D.62答案C二、填空題(每小題5分,共45分)9.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,12)已知向量a與b的夾角為60,若a=(0,2),|b|=1,則|a+2b|=.答案2310.(2017天津南開三模,11)已知向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,(a+b)a,則向量a,b的夾角為.答案5611.(2017天津河西三模,12)已知等邊ABC的邊長為23,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM=16CB+23CA,則MAMB=.答案-212.(2017天津八校聯(lián)考,13)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若ABAF=2,則AEBF的值是.答案213.(2018天津紅橋二模,12)如圖,在ABC中,ADAB,BC=3BD,|AD|=1,則ACAD=.答案314.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,13)已知向量AB、AC、AD滿足AC=AB+AD,|AB|=2,|AD|=1,E、F分別是線段BC、CD的中點(diǎn),若DEBF=-54,則向量AB與AD的夾角為.答案315.(2018天津南開一模,13)在四邊形ABCD中,AB=AC=AD=2,ABAD,則CBCD的最小值為.答案2-2216.(2018天津十二區(qū)縣一模,13)在等腰梯形中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若BC=3CE,AF=AB(R),且AEDF=-1,則=.答案1417.(2018天津北辰模擬,14)在梯形ABCD中,BCAD,BAD=60,CDA=30,AB=2,AD=6,CD=23,在邊BC,DC上分別有動(dòng)點(diǎn)E,F,使|BE|BC|=,|DF|DC|=,+=1,則AEAF的最小值為.答案6