2排序不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解順序和、亂序和、逆序和的有關(guān)概念.2.掌握排序不等式的結(jié)構(gòu)特征，并能應(yīng)用排序不等式證明一些不等式知識(shí)點(diǎn)排序不等式思考某班學(xué)生要開(kāi)聯(lián)歡會(huì)，需要買(mǎi)價(jià)格不同的禮品4件、5件及2件，現(xiàn)在選擇商店中單價(jià)為3元、2元和1元的禮品，問(wèn)有多少種不同的購(gòu)買(mǎi)方案？在這些方案中哪種花錢(qián)最少？哪種花錢(qián)最多？答案(1)共有3216(種)不同的購(gòu)買(mǎi)方案(2)53422125(元)，這種方案花錢(qián)最多；51422319(元)，這種方案花錢(qián)最少梳理(1)順序和、亂序和、逆序和的概念設(shè)實(shí)數(shù)a1，a2，a3，b1，b2，b3滿足a1a2a3，b1b2b3，則a1b1a2b2a3b3a1b3a2b2a3b1，其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式上式當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3(或b1b2b3)時(shí)取“”號(hào)通常稱a1b1a2b2a3b3為順序和，為亂序和，a1b3a2b2a3b1為逆序和(倒序和)(2)排序不等式定理1：設(shè)a，b和c，d都是實(shí)數(shù)，如果ab，cd，那么acbdadbc，此式當(dāng)且僅當(dāng)ab(或cd)時(shí)取“”號(hào)定理2：(排序不等式)設(shè)有兩個(gè)有序?qū)崝?shù)組a1a2an及b1b2bn，則(順序和)a1b1a2b2anbn(亂序和)(逆序和)a1bna2bn1anb1.其中j1，j2，jn是1,2，n的任一排列方式，上式當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an(或b1b2bn)時(shí)取“”號(hào).類(lèi)型一利用排序不等式證明不等式命題角度1字母已定序問(wèn)題例1已知a，b，c為正數(shù)，且abc，求證：.證明ab0，又c0，從而，同理，從而.又順序和不小于亂序和，故可得.原不等式成立反思與感悟利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個(gè)數(shù)組跟蹤訓(xùn)練1已知0abc，求證：.證明因?yàn)?abc，所以0abcabc，所以0.又0a2b2c2，所以是順序和，是亂序和，由排序不等式可知，順序和大于等于亂序和，即不等式成立命題角度2字母大小順序不定問(wèn)題例2已知a，b，c均為正數(shù)，求證：(abc)證明由不等式的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc0，所以a2b2c2，.由順序和亂序和得到兩個(gè)不等式：，.兩式相加，得2，注意到(bc)，(ca)，(ab)，所以2(bc)(ca)(ab)abc.故(abc)反思與感悟?qū)τ谂判虿坏仁?，其核心是必須有兩組完全確定的數(shù)據(jù)，所以解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出這樣的兩組數(shù)據(jù)跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a，b，cR，利用排序不等式證明：a3b3c3.證明不妨設(shè)0abc，則a5b5c5，所以由排序不等式可得a3b3c3，a3b3c3，所以a3b3c3.類(lèi)型二利用排序不等式求最值例3設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求的最小值解由于a，b，c的對(duì)稱性，不妨設(shè)abc0，則abacbc，.由排序不等式，得，上述兩式相加，得23，即.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取最小值.反思與感悟求最小(大)值，往往所給式子是順(逆)序和式，然后利用順(逆)序和不小(大)于亂序和的原理構(gòu)造出一個(gè)或二個(gè)適當(dāng)?shù)膩y序和，從而求出其最小(大)值跟蹤訓(xùn)練3設(shè)0abc且abc1.試求的最小值解令S，則Sbcacab.由已知可得，abacbc.Sacabbc.又Sabbcac，兩式相加，得2S33.S，即的最小值為.1設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且Pa3b3c3，Qa2bb2cc2a，則P與Q的大小關(guān)系是()APQBPQCPQDPQ答案B解析不妨設(shè)abc0，則a2b2c20.由排序不等式，得a2ab2bc2ca2bb2cc2a，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立，所以PQ.2已知a12，a27，a38，a49，a512，b13，b24，b36，b410，b511.將bi(i1,2,3,4,5)重新排列記為c1，c2，c3，c4，c5，則a1c1a2c2a5c5的最大值是()A324B314C304D212答案C解析a1c1a2c2a5c5a1b1a2b2a3b3a4b4a5b52374869101211304.3n個(gè)正數(shù)與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的乘積的和的最小值為_(kāi)答案n解析設(shè)0a1a2a3an，則0aaa，則由排序不等式，得逆序和亂序和順序和，故最小值為逆序和a1aa2aanan.4設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：22.證明由題意不妨設(shè)ab0.則a2b2，所以.根據(jù)排序不等式知，即22.1對(duì)排序不等式的理解排序原理是對(duì)不同的兩個(gè)數(shù)組來(lái)研究不同的乘積和的問(wèn)題，能構(gòu)造的和按數(shù)組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式：順序和、逆序和、亂序和，對(duì)這三種不同的搭配形式只需注意是怎樣的“次序”，兩種較為簡(jiǎn)單的是“順與逆”，而亂序和也就是不按“常理”的順序了2排序不等式的本質(zhì)兩實(shí)數(shù)序列同方向單調(diào)(同時(shí)增或同時(shí)減)時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時(shí)所得兩兩乘積之和最小3排序不等式取等號(hào)的條件等號(hào)成立的條件是其中一序列為常數(shù)序列，即a1a2an或b1b2b3bn.4排序原理的思想在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常涉及一些可以比較大小的量，它們之間并沒(méi)有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問(wèn)題時(shí)，我們可以利用排序原理的思想方法，將它們按一定順序排列起來(lái)，繼而利用不等關(guān)系來(lái)解題因此，對(duì)于排序原理，我們記住的是處理問(wèn)題的這種思想及方法，同時(shí)要學(xué)會(huì)善于利用這種比較經(jīng)典的結(jié)論來(lái)處理實(shí)際問(wèn)題一、選擇題1有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且xyz，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元)是()AaxbyczBazbycxCaybzcxDaybxcz答案B解析根據(jù)排序原理，逆序和最小，即azbycx最小2已知a，b，c0，則a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正負(fù)情況是()A大于零B大于零或等于零C小于零D小于零或等于零答案B解析當(dāng)abc1時(shí)，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0；當(dāng)a1，b2，c3時(shí)，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)62.3設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則式子Ma5b5c5a3bcb3acc3ab與0的大小關(guān)系是()AM0BM0CM與0的大小關(guān)系與a，b，c的大小有關(guān)D不能確定答案A解析不妨設(shè)abc0，則a3b3c3，且a4b4c4，則a5b5c5aa4bb4cc4ac4ba4cb4.a3b3c3，且abacbc，a4bb4cc4aa3abb3bcc3caa3bcb3acc3ab.a5b5c5a3bcb3acc3ab，M0.4銳角三角形ABC中，設(shè)P，QacosCbcosBccosA，則P，Q的大小關(guān)系為()APQBPQCPQD不能確定答案C解析不妨設(shè)ABC，則abc，cosAcosBcosC，則由排序不等式可知，QacosCbcosBccosAacosBbcosCccosAR(2sinAcosB2sinBcosC2sinCcosA)，QacosCbcosBccosAbcosAccosBacosCR(2sinBcosA2sinCcosB2sinAcosC)，上面兩式相加，得QacosCbcosBccosAR(2sinAcosB2sinBcosA2sinBcosC2sinCcosB2sinCcosA2sinAcosC)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sinCsinAsinB)P，即QP.5設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，E，F(xiàn)a1a2a3，則E，F(xiàn)的大小關(guān)系是()AEFBEFCEFDEF答案B解析不妨設(shè)a1a2a30，則且a2a3a3a1a1a2，a1a2a2a3a3a1a1a2a3.EF.6已知xy，Mx4y4，Nx3yxy3，則M與N的大小關(guān)系是()AMNBMNCMNDMN答案B解析xy，x3y3.Mxx3yy3x3yy3xx3yy3xN.二、填空題7已知兩組數(shù)1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一個(gè)排列，則c12c23c3的最大值是_，最小值是_答案3228解析由逆序和亂序和順序和知，順序和最大，逆序和最小，故最大值為32，最小值為28.85個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭處接水，如果水龍頭注滿這5個(gè)人的水桶需要的時(shí)間分別是4min,8min,6min，10min，5min，統(tǒng)籌安排這5個(gè)人接水的順序，則他們等待的總時(shí)間最少為_(kāi)min.答案84解析5個(gè)人按接水時(shí)間為4 min,5 min,6 min,8 min，10 min的順序進(jìn)行接水時(shí)等待的總時(shí)間最少，為4554638210184(min)9在RtABC中，C為直角，A，B所對(duì)的邊分別為a，b，則aAbB與(ab)的大小關(guān)系為_(kāi)答案aAbB(ab)解析不妨設(shè)ab0，則AB0，由排序不等式，得2(aAbB)a(AB)b(AB)(ab)，aAbB(ab)10設(shè)a1，a2，an為正數(shù)，且a1a2an5，則的最小值為_(kāi)答案5解析由所求代數(shù)式的對(duì)稱性，不妨設(shè)0a1a2an，所以aaa，而，為，的一個(gè)排列，由亂序和逆序和，得aaaaaaa，即a1a2an5.三、解答題11設(shè)a，b，c(0，)，利用排序不等式證明：a2ab2bc2cabcbcacab.證明不妨設(shè)abc0，則lg alg blg c，所以alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，所以2alg a2blg b2clg c(bc)lg a(ac)lg b(ab)lg c，所以lg(a2ab2bc2c)lg(abcbaccab)，故a2ab2bc2cabcbcacab.12設(shè)a1，a2，an是n個(gè)互不相等的正整數(shù)，求證：1a1.證明設(shè)b1，b2，bn是a1，a2，an的一個(gè)排列，且滿足b1b2bn.因?yàn)閎1，b2，bn是互不相等的正整數(shù)，故b11，b22，bnn.又因?yàn)?，故由排序不等式，得a1b11123n1.13已知0，求證：sincossincossincos(sin2sin2sin2)證明0，且ysinx在上為增函數(shù)，ycosx在上為減函數(shù)，0sinsinsin，coscoscos0.sincossincossincossincossincossincos(sin2sin2sin2)四、探究與拓展14設(shè)x，y，z為正數(shù)，求證：xyz.證明由于不等式關(guān)于x，y，z對(duì)稱，不妨設(shè)0xyz，于是x2y2z2，由逆序和亂序和，得x2y2z2x2y2z2，x2y2z2x2y2z2.將上面兩式相加，得2(xyz)，于是xyz.15設(shè)x0，求證：1xx2x2n(2n1)xn.證明(1)當(dāng)x1時(shí)，1xx2xn.由排序原理知，11xxx2x2xnxnxn1xn1x1xn，所以1x2x4x2n(n1)xn.又因?yàn)閤，x2，xn,1為1，x，x2，xn的一個(gè)排序，于是由排序原理，得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，所以xx3x2n1nxn.，得1xx2x2n(2n1)xn.(2)當(dāng)0x1時(shí)，1xx2xn，同理可得結(jié)論綜合(1)與(2)可知，當(dāng)x0時(shí)，1xx2x2n(2n1)xn.