專題跟蹤檢測（九） 空間幾何體的三視圖、表面積與體積一、全練保分考法保大分1已知長方體的底面是邊長為1的正方形，高為，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為2的矩形，則該長方體的正視圖的面積等于()A1B.C2 D2解析：選C依題意得，題中的長方體的正視圖和側(cè)視圖的高都等于，正視圖的長是，因此相應(yīng)的正視圖的面積等于2.2.將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：選B由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體為圖所示，故其側(cè)視圖為圖.3若將半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則該圓錐的體積為()A.R3 B.R3C.R3 D.R3解析：選A設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則2rR，r，h.因此Vr2hR3.4如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E為棱DD1上的點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，則三棱錐B1BFE的體積為()A. B.C. D.解析：選C由等體積法可知VB1BFEVEBFB1SBB1FAD11.5(2016全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A25 B24C28 D32解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由圖得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.6(2019屆高三河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是()A13 B14C15 D16解析：選C所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的，在長方體中還原該幾何體如圖中ABCDABCD所示，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V42323215.7(2018開封模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A.B.C. D.解析：選D由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120，即該幾何體是某圓錐的三分之一部分，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積V224.8(2018沈陽質(zhì)監(jiān))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某簡單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選A由三視圖可得該幾何體為半圓錐，底面半圓的半徑為2，高為2，則其體積V222.9(2018武漢調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A. B.C. D3解析：選D由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，記為ABCD，將其放入棱長為3的正方體中，如圖，則VABCD2333.10.如圖，已知EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3，AD2，AEB60，則多面體EABCD的外接球的表面積為()A. B8C16 D64解析：選C由題知EAB為等邊三角形，設(shè)球心為O，O在平面ABCD的射影為矩形ABCD的中心，O在平面ABE上的射影為EAB的重心G，又由平面EAB平面ABCD，則OGA為直角三角形，OG1，AG，所以R24，所以多面體EABCD的外接球的表面積為4R216.11(2018昆明調(diào)研)古人采取“用臼舂米”的方法脫去稻谷的外殼，獲得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石頭或木頭制成一個“臼”的三視圖如圖所示，則鑿去部分(看成一個簡單的組合體)的體積為()A63 B72C79 D99解析：選A由三視圖得鑿去部分是圓柱與半球的組合體，其中圓柱的高為5，底面圓的半徑為3，半球的半徑為3，所以組合體的體積為3253363.12(2019屆高三武漢調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖，則它的表面積為()A28 B242C204 D202解析：選B根據(jù)該幾何體的三視圖作出其直觀圖如圖所示，可以看出該幾何體是一個底面是梯形的四棱柱根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)，可得該幾何體中梯形的上底長為2，下底長為3，高為2，所以該幾何體的表面積S(23)222223222242.13某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的外接球的表面積等于_解析：由三視圖可得該幾何體的外接球等同于長、寬、高分別為5,3,3的長方體的外接球，故此幾何體的外接球的表面積S(523232)43.答案：4314已知一個正三棱柱的所有棱長均等于2，它的俯視圖是一個邊長為2的正三角形，那么它的側(cè)視圖的面積的最小值是_解析：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，當(dāng)CDAB，C1D1A1B1時，側(cè)視圖的面積最小，此時D，D1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)易得CD，則側(cè)視圖面積的最小值為22.答案：215一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為_解析：根據(jù)三視圖還原幾何體，其是由一個長方體被挖去半個圓錐后形成的，如圖所示，因此所求的幾何體的體積V2121224.答案：16.我國古代數(shù)學(xué)家祖暅?zhǔn)侵麛?shù)學(xué)家祖沖之之子，祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”意思是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任意一平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等其著名的應(yīng)用是解決了“牟和方蓋”中的體積問題核心過程：如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長R為2，若圖中四分之一圓柱體BB1C1AA1D1和四分之一圓柱體AA1B1DD1C1的公共部分的體積為V，用平行于正方體上下底面的平面EFGH在高度h處去截兩個四分之一圓柱體的公共部分，截得的面積為S1，截正方體所得面積為S2，截錐體C1ABCD所得面積為S3，S1R2h2，S2R2，S2S1S3，則V的值為_解析：由祖暅原理易得正方體ABCDA1B1C1D1除去兩個四分之一圓柱體的公共部分后所得幾何體的體積等于四棱錐C1ABCD的體積，所以V23222.答案：二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分1在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：選B要使球的體積V最大，必須使球的半徑R最大當(dāng)球與三棱柱的三個側(cè)面都相切時，球的半徑為2，這時球的直徑大于三棱柱的高，不符合題意當(dāng)球與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為R33.2(2018南寧模擬)三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PAPB，三棱錐PABC的外接球的體積為()A. B.C27 D27解析：選B在三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC.PAPB，PAPC，PCPB.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐PABC的外接球正方體的體對角線長為3，其外接球半徑R.因此三棱錐PABC的外接球的體積V3.3(2019屆高三洛陽第一次聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為()A. B.C. D.解析：選A將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長為4，所以正方體的棱長為2.因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R2，則球O的體積VR3.4.(2018唐山模擬)把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形)，則皮球的半徑為()A10 cm B10 cmC10 cm D30 cm解析：選B依題意，在四棱錐SABCD中，所有棱長均為20 cm，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，則SOAOBOCODO10 cm，易知點(diǎn)O到AB，BC，CD，AD的距離均為10 cm，在等腰三角形OAS中，OAOS10 cm，AS20 cm，所以O(shè)到SA的距離d10 cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10 cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心，所以皮球的半徑r10 cm.5.某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長為1的正方形，則該幾何體中最長棱的棱長是()A. B.C. D3解析：選A由三視圖可知該幾何體為一個三棱錐DABC，如圖，將其置于長方體中，該長方體的底面是邊長為1的正方形，高為2.所以AB1，AC，BC，CD，DA2，BD，因此最長棱為BD，棱長是.6(2018長春質(zhì)檢)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，AB6，BC2，且四棱錐OABCD的體積為8，則R等于()A4 B2C. D.解析：選A如圖，設(shè)矩形ABCD的中心為E，連接OE，EC，由球的性質(zhì)可得OE平面ABCD，所以VOABCDOES矩形ABCDOE628，所以O(shè)E2，在矩形ABCD中，可得EC2，則R4.7在長方體ABCDA1B1C1D1中，AD1，AB2，AA12，點(diǎn)M在平面ACB1內(nèi)運(yùn)動，則線段BM的最小值為()A. B.C. D3解析：選C線段BM的最小值即點(diǎn)B到平面ACB1的距離h.在ACB1中，ACB1C，AB12，所以AB1邊上的高為，所以SACB12.又三棱錐BACB1的體積VBACB1VABB1C212，所以VBACB1h，所以h.8(2019屆高三南昌調(diào)研)已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC滿足AB2，ACB90，PA為球O的直徑且PA4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為()A. B2C. D2解析：選B取AB的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在ABC中，AB2，ACB90，所以ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A，且OO1AO1，又球O的直徑PA4，所以O(shè)A2，所以O(shè)O1，且OO1底面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO12.9某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為_解析：依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長為a，則斜邊長為a，圓錐的底面半徑為a、母線長為a，因此其俯視圖中橢圓的長軸長為a、短軸長為a，其離心率e.答案：10(2018全國卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30.若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為_解析：在RtSAB中，SASB，SSABSA28，解得SA4.設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h，在RtSAO中，SAO30，所以r2，h2，所以圓錐的體積為r2h(2)228.答案：811如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB2，ADEF1.則平面CBF將幾何體EFABCD分成的三棱錐與四棱錐的體積的比為_解析：由題意可知，平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個錐體的體積分別為V四棱錐FABCD，V三棱錐FCBE.過點(diǎn)F作FGAB于點(diǎn)G(圖略)，因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，F(xiàn)G平面ABEF，所以FG平面ABCD.所以V四棱錐FABCD12FGFG，V三棱錐FBCEV三棱錐CBEFSBEFCBFG11FG，由此可得V三棱錐CBEFV四棱錐FABCD14.答案：1412(2018開封模擬)已知正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時四面體ABCD的外接球的表面積為_解析：如圖(1)，在正三角形ABC中，ABBCAC2，則BDDC1，AD.在翻折后所得的幾何體中，如圖(2)，ADBD，ADCD，BDCDD，則AD平面BCD，三棱錐ABCD的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，球心到截面BCD的距離dAD.在BCD中，BC，則由余弦定理，得cosBDC，所以BDC120.設(shè)球的半徑為R，BCD的外接圓半徑為r，則由正弦定理，得2r2，解得r1，則球的半徑R，故球的表面積S4R2427.答案：7