1.2一般形式的柯西不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握三維形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，體會從特殊到一般的思維過程.3.會用三維形式及一般形式的柯西不等式解決一些特殊形式的問題知識點(diǎn)一三維形式的柯西不等式思考1類比平面向量，在空間向量中，如何用|推導(dǎo)三維形式的柯西不等式？答案設(shè)(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，則|，|.|，|a1b1a2b2a3b3|，(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.思考2三維形式的柯西不等式中，等號成立的條件是什么？答案當(dāng)且僅當(dāng)，共線時，即0或存在實(shí)數(shù)k，使a1kb1，a2kb2，a3kb3時，等號成立梳理三維形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3是兩組實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.當(dāng)向量(a1，a2，a3)與向量(b1，b2，b3)共線時，等號成立知識點(diǎn)二一般形式的柯西不等式1一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是兩組實(shí)數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.2柯西不等式等號成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個實(shí)數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時等號成立當(dāng)向量(a1，a2，an)與向量(b1，b2，bn)共線時，等號成立.類型一利用柯西不等式證明不等式命題角度1三維形式的柯西不等式的應(yīng)用例1設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等求證：.證明構(gòu)造兩組數(shù)，；，則由柯西不等式，得(abbcca)(111)2，即2(abc)9，于是.由柯西不等式知，中等號成立abbccaabc.因為題設(shè)中a，b，c不全相等，故中等號不成立，于是.反思與感悟有些問題一般不具備直接應(yīng)用柯西不等式的條件，可以通過：(1)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以巧拆常數(shù)(2)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以重新安排各項的次序(3)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以改變式子的結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到使用柯西不等式的目的(4)構(gòu)造符合柯西不等式的形式及條件，可以添項跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，cR，求證：9.證明由柯西不等式知，左邊2(111)29，原不等式成立命題角度2一般形式的柯西不等式的應(yīng)用例2設(shè)a1，a2，an為正整數(shù)，求證：a1a2an.證明由柯西不等式，得(a2a3a1)2(a1a2an)2，故a1a2an.反思與感悟一般形式的柯西不等式看著往往感覺比較復(fù)雜，這時一定要注意式子的結(jié)構(gòu)特征，一邊一定要出現(xiàn)“方、和、積”的形式跟蹤訓(xùn)練2已知a1，a2，anR，且a1a2an1，求證：.證明2(a1a2)(a2a3)(ana1)2(a1a2an)21，.類型二利用柯西不等式求函數(shù)的最值例3(1)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y3za(a為常數(shù))，則x2y2z2的最小值為_答案解析(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即14(x2y2z2)a2，x2y2z2，即x2y2z2的最小值為.(2)已知x，y，zR，且xyz1.求的最小值；解xyz1，(xyz)2(123)236.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x，y，z時取等號的最小值為36.反思與感悟利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時，要注意等號成立的條件跟蹤訓(xùn)練3已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因為f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，當(dāng)且僅當(dāng)axb時，等號成立又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為abc，又已知f(x)的最小值為4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(491)2(abc)216，即a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a，b，c時等號成立，故a2b2c2的最小值為.1已知x，y，zR且xyz2，則2的最大值為()A2B2C4D5答案C解析(2)2(12)21222()2()2()2()28(xyz)16(當(dāng)且僅當(dāng)xyz時取等號)，24.2若a，b，cR，且1，則a2b3c的最小值為()A9B3C.D6答案A解析由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)(111)29，a2b3c的最小值為9.3設(shè)a，b，c，d均為正實(shí)數(shù)，則(abcd)的最小值為_答案16解析(abcd)()2()2()2()22(1111)24216，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時取等號4已知正數(shù)x，y，z滿足xyz1，求證：.證明因為x0，y0，z0，所以由柯西不等式得()2()2()2(xyz)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即xyz時，等號成立，所以.1柯西不等式的一般結(jié)構(gòu)為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，在利用柯西不等式證明不等式時關(guān)鍵是正確構(gòu)造左邊的兩個數(shù)組，從而利用題目的條件正確解題2要求axbyz的最大值，利用柯西不等式(axbyz)2(a2b212)(x2y2z2)的形式，再結(jié)合已知條件進(jìn)行配湊，是常見的變形技巧對于許多不等式問題，用柯西不等式來解往往是簡明的，正確理解柯西不等式，掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，就能更靈活地應(yīng)用它一、選擇題1已知aaa1，xxx1，則a1x1a2x2anxn的最大值是()A1B2C3D4答案A解析(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，當(dāng)且僅當(dāng)1時取等號a1x1a2x2anxn的最大值是1.2已知a2b2c2d25，則abbccdad的最小值為()A5B5C25D25答案B解析(abbccdda)2(a2b2c2d2)(b2c2d2a2)25，當(dāng)且僅當(dāng)abcd時，等號成立abbccdad的最小值為5.3設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，則等于()A.B.C.D.答案C解析由柯西不等式，得(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2400，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此有.4已知a，b，c0，且abc1，則的最大值為()A3B3C18D9答案B解析由柯西不等式，得()2(111)(3a13b13c1)33(abc)3abc1，()23618，3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立5設(shè)a，b，c0，且abc1，則的最大值是()A1B.C3D9答案B6已知x，y是實(shí)數(shù)，則x2y2(1xy)2的最小值是()A.B.C6D3答案B解析(121212)x2y2(1xy)2xy(1xy)21，x2y2(1xy)2，當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立二、填空題7設(shè)a，b，cR，若(abc)25恒成立，則正數(shù)k的最小值是_答案9解析因為(abc)(11)2(2)2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，所以(abc)的最小值是(2)2.由(abc)25恒成立，得(2)225.又k0，所以k9，所以正數(shù)k的最小值是9.8設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(abc)的最小值是_答案121解析(abc)()2()2()22(236)2121.當(dāng)且僅當(dāng)k(k為正實(shí)數(shù))時，等號成立9已知a，b，cR且abc6，則的最大值為_答案4解析由柯西不等式，得()2(111)2(121212)(2a2b12c3)3(264)48.當(dāng)且僅當(dāng)，即2a2b12c3時等號成立又abc6，當(dāng)a，b，c時，取得最大值4.10設(shè)x，y，zR,2x2yz80，則(x1)2(y2)2(z3)2的最小值為_答案9解析(222212)(x1)2(y2)2(z3)22(x1)2(y2)(z3)2(2x2yz1)281，(x1)2(y2)2(z3)29.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號三、解答題11在ABC中，設(shè)其各邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2b2c2)36R2.證明2R，(a2b2c2)236R2.原不等式成立12已知定義在R上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a，又正數(shù)p，q，r滿足pqra，求證：p2q2r23.證明因為f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，即函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a3，所以pqr3.由柯西不等式，得(p2q2r2)(111)(pqr)29，于是p2q2r23.13(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因為x2y2z6，所以x2y2z24，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時x，y，z，所以x2y2z2的最小值為4.四、探究與拓展14已知x，y，zR，且xyz1.(1)若2x23y26z21，求x，y，z的值；(2)若2x23y2tz21恒成立，求正數(shù)t的取值范圍解(1)(2x23y26z2)(xyz)21，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，2x3y6z.又xyz1，x，y，z.(2)(2x23y2tz2)(xyz)21，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，(2x23y2tz2)min.2x23y2tz21恒成立，1.又t0，t6.