2.3函數(shù)的單調(diào)性【教學(xué)目標(biāo)】1使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法2通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力 3通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認(rèn)知過程【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明【教學(xué)難點(diǎn)】 根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)【教學(xué)手段】 計(jì)算機(jī)、投影儀【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題為了預(yù)測北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了2002年到2006年每年這一天的天氣情況，下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考問題：觀察圖形，能得到什么信息？預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達(dá)到的時刻；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.教師指出：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？預(yù)案：水位高低、降雨量、燃油價格、股票價格等歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小設(shè)計(jì)意圖由生活情境引入新課，激發(fā)興趣二、歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，是函數(shù)的重要性質(zhì)，稱為函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們在初中對函數(shù)的這種性質(zhì)就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1借助圖象，直觀感知問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值的變化規(guī)律？預(yù)案：(1)函數(shù)，在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)，在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小(2)函數(shù)，在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小(3)函數(shù)，在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (增函數(shù)、減函數(shù))，同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)嗎?預(yù)案：如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識設(shè)計(jì)意圖從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識2抽象思維，形成概念問題1：如圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性問題2：如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)？預(yù)案： (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如2和3，因?yàn)?2<32，所以在上為增函數(shù)(2) 仿(1)，取多組數(shù)值驗(yàn)證均滿足，所以在為增函數(shù)(3) 任取,因?yàn)?即，所以在上為增函數(shù)對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量設(shè)計(jì)意圖把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)做好鋪墊.問題3：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義(1)板書定義(2)鞏固概念判斷題：若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù).通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識. 三、掌握證法，適當(dāng)延展例1 證明函數(shù)在上是增函數(shù)1分析解決問題針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流證明：任取, 設(shè)元 求差變形,斷號即函數(shù)在上是增函數(shù) 定論2歸納解題步驟引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論練習(xí)：證明函數(shù)在上是增函數(shù)問題：除了用定義外，如果證得對任意的，且有，能斷定函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)嗎?引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)設(shè)計(jì)意圖初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟了解等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)1小結(jié)(1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論(3) 數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合2作業(yè)課后探究：研究函數(shù)的單調(diào)性