2.8函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應(yīng)用挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征,體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義2014湖南,8實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)思想2.函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用,了解函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系,并能解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題2016天津文,14函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)與方程2013天津文,8指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)2013天津,8函數(shù)的單調(diào)性分析解讀為了考查學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng),高考加強(qiáng)了函數(shù)綜合應(yīng)用問(wèn)題的考查力度,這一問(wèn)題一般涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性也較強(qiáng),屬于中檔以上的試題,題型以填空題和解答題為主,在高考中分值為5分左右,通常在如下方面考查:1.對(duì)函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的考查,這類(lèi)問(wèn)題多以社會(huì)實(shí)際生活為背景,設(shè)問(wèn)新穎,要求學(xué)生掌握課本中的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)與方法.2.以課本知識(shí)為載體,把函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)聯(lián)系起來(lái),構(gòu)造不等式求參數(shù)范圍,利用分離參數(shù)法求函數(shù)值域,進(jìn)而求字母的取值等.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用1.去年某地的月平均氣溫y()與月份x(月)近似地滿足函數(shù)y=a+bsin6x+a,b為常數(shù),0<<2.其中三個(gè)月份的月平均氣溫如下表:x5811y133113則該地2月份的月平均氣溫約為,=.答案-5;6考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題2.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的平面圖形運(yùn)動(dòng)一周,A,P兩點(diǎn)間的距離y與動(dòng)點(diǎn)P所走過(guò)的路程x的關(guān)系如圖所示,則動(dòng)點(diǎn)P所走的圖形可能是()答案D3.若函數(shù)f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值為3,則實(shí)數(shù)a的值為()A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8答案D4.(2017課標(biāo),9,5分)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則()A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)答案C5.單位圓的內(nèi)接正n(n3)邊形的面積記為f(n),則f(3)=.下面是關(guān)于f(n)的描述:f(n)=n2sin2n;f(n)的最大值為;f(n)<f(n+1);f(n)<f(2n)2f(n).其中正確結(jié)論的序號(hào)為.(請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案334;煉技法【方法集訓(xùn)】方法函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題(2015四川,13,5分)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33的保鮮時(shí)間是小時(shí).答案24過(guò)專(zhuān)題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2013天津文,8,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則()A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案A2.(2013天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|).設(shè)關(guān)于x的不等式f(x+a)<f(x)的解集為A.若-12,12A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1-52,0B.1-32,0C.1-52,00,1+32D.-,1-52答案A3.(2011天津文,8,5分)對(duì)實(shí)數(shù)a和b,定義運(yùn)算“”:ab=a,a-b1,b,a-b>1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)(x-1),xR.若函數(shù)y=f(x)-c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()A.(-1,1(2,+)B.(-2,-1(1,2C.(-,-2)(1,2D.-2,-1答案B4.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x0(a>0,且a1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-x3恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍是.答案13,235.(2012天津,14,5分)已知函數(shù)y=|x2-1|x-1的圖象與函數(shù)y=kx的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.答案(0,1)(1,2)B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用1.(2014湖南,8,5分)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1答案D2.(2018浙江,11,6分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問(wèn)題:“今有雞翁一,值錢(qián)五;雞母一,值錢(qián)三;雞雛三,值錢(qián)一.凡百錢(qián),買(mǎi)雞百只,問(wèn)雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁,雞母,雞雛個(gè)數(shù)分別為x,y,z,則x+y+z=100,5x+3y+13z=100,當(dāng)z=81時(shí),x=,y=.答案8;11考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題1.(2017山東,15,5分)若函數(shù)exf(x)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為.f(x)=2-xf(x)=3-xf(x)=x3f(x)=x2+2答案2.(2014山東,15,5分)已知函數(shù)y=f(x)(xR),對(duì)函數(shù)y=g(x)(xI),定義g(x)關(guān)于f(x)的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”為函數(shù)y=h(x)(xI),y=h(x)滿足:對(duì)任意xI,兩個(gè)點(diǎn)(x,h(x),(x,g(x)關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對(duì)稱(chēng).若h(x)是g(x)=4-x2關(guān)于f(x)=3x+b的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”,且h(x)>g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是.答案(210,+)C組教師專(zhuān)用題組考點(diǎn)一函數(shù)的模型及實(shí)際應(yīng)用(2015江蘇,17,14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t),并寫(xiě)出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短?求出最短長(zhǎng)度.解析(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1000,b=0.(2)由(1)知,y=1000x2(5x20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,1000t2,設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),y=-2000x3,則l的方程為y-1000t2=-2000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3000t2.故f(t)=3t22+3000t22=32t2+4106t4,t5,20.設(shè)g(t)=t2+4106t4,則g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.當(dāng)t(5,102)時(shí),g(t)<0,g(t)是減函數(shù);當(dāng)t(102,20)時(shí),g(t)>0,g(t)是增函數(shù);從而,當(dāng)t=102時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=153.當(dāng)t=102時(shí),公路l的長(zhǎng)度最短,最短長(zhǎng)度為153千米.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.考點(diǎn)二函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題1.(2017浙江,17,4分)已知aR,函數(shù)f(x)=x+4x-a+a在區(qū)間1,4上的最大值是5,則a的取值范圍是.答案-,922.(2014湖北,14,5分)設(shè)f(x)是定義在(0,+)上的函數(shù),且f(x)>0,對(duì)任意a>0,b>0,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,f(a),(b,-f(b)的直線與x軸的交點(diǎn)為(c,0),則稱(chēng)c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當(dāng)f(x)=1(x>0)時(shí),可得Mf(a,b)=c=a+b2,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).(1)當(dāng)f(x)=(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);(2)當(dāng)f(x)=(x>0)時(shí),Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)2aba+b.(以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)答案(1)x(2)x3.(2014四川,15,5分)以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合,B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合:對(duì)于函數(shù)(x),存在一個(gè)正數(shù)M,使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間-M,M.例如,當(dāng)1(x)=x3,2(x)=sinx時(shí),1(x)A,2(x)B.現(xiàn)有如下命題:設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,則“f(x)A”的充要條件是“bR,aD,f(a)=b”;函數(shù)f(x)B的充要條件是f(x)有最大值和最小值;若函數(shù)f(x),g(x)的定義域相同,且f(x)A,g(x)B,則f(x)+g(x)B;若函數(shù)f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x>-2,aR)有最大值,則f(x)B.其中的真命題有.(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案4.(2016浙江,18,15分)已知a3,函數(shù)F(x)=min2|x-1|,x2-2ax+4a-2,其中minp,q=p,pq,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在區(qū)間0,6上的最大值M(a).解析(1)由于a3,故當(dāng)x1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,當(dāng)x>1時(shí),(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范圍為2,2a.(2)(i)設(shè)函數(shù)f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,則f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定義知m(a)=minf(1),g(a),即m(a)=0,3a2+2,-a2+4a-2,a>2+2.(ii)當(dāng)0x2時(shí),F(x)f(x)maxf(0),f(2)=2=F(2),當(dāng)2x6時(shí),F(x)g(x)maxg(2),g(6)=max2,34-8a=maxF(2),F(6).所以,M(a)=34-8a,3a<4,2,a4.思路分析(1)先分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào),再利用作差法求解;(2)分段函數(shù)求最值的方法是分別求出各段上的最值,較大(小)的值就是這個(gè)函數(shù)的最大(小)值.評(píng)析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.【三年模擬】選擇題(每小題5分,共40分)1.(2017天津和平一模,8)已知函數(shù)f(x)=|x2+2x-3|,x<2,-x2-2x+13,x2,若關(guān)于x的方程f(x)-m=0恰有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是()A.0,4B.(0,4)C.(4,5)D.(0,5)答案B2.(2019屆天津耀華中學(xué)第一次月考,8)已知函數(shù)f(x)=lnx+(a-2)x-2a+4(a>0),若有且只有兩個(gè)整數(shù)x1,x2,使得f(x1)>0,且f(x2)>0,則a的取值范圍是()A.(ln3,2)B.2-ln3,2)C.(0,2-ln3D.(0,2-ln3)答案C3.(2018天津九校聯(lián)考,8)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x0時(shí),f(x)=log2(x+1),x0,1),|x-3|-1,x1,+),則函數(shù)F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為()A.1-2aB.2a-1C.1-2-aD.2-a-a答案B4.(2018天津河北二模,8)已知函數(shù)f(x)=|2+lnx|,x>0,-x2-2x+1,x0,若存在互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c,d,滿足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m.則以下三個(gè)結(jié)論:m1,2);a+b+c+de-3+e-1-2,e-4-1),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù);關(guān)于x的方程f(x)=x+m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案C5.(2017天津十二區(qū)縣二模,8)已知函數(shù)f(x)=2x-1(0x1),f(x-1)+m(x>1)在定義域0,+)上單調(diào)遞增,且對(duì)于任意a0,方程f(x)=a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則函數(shù)g(x)=f(x)-x在區(qū)間0,2n(nN*)上所有零點(diǎn)的和為()A.n(n+1)2B.22n-1+2n-1C.(1+2n)22D.2n-1答案B6.(2017天津和平四模,8)已知函數(shù)f(x)=14x+1,x1,lnx,x>1,當(dāng)方程f(x)=ax恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí),實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,1eB.14,1eC.0,14D.14,e答案B7.(2018天津靜海一中模擬,8)已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意的x滿足f(x+1)=-f(x),當(dāng)-1x<1時(shí),f(x)=x3,函數(shù)g(x)=|logax|,x>0,-1x,x<0,若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在-6,+)上有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,17(7,+)B.19,177,9)C.19,17(7,9D.19,1(1,9答案C8.(2018天津紅橋二模,8)已知定義在-1,+)上的函數(shù)在區(qū)間-1,3)上的解析式為f(x)=1-x2(-1x<1),32-32|x-2|(1x<3),當(dāng)x3時(shí),函數(shù)滿足f(x)=f(x-4)+1,若函數(shù)g(x)=f(x)-kx-k有5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k為()A.514B.15C.13D.512答案D