壓軸小題組合練(B)1.已知橢圓C：1(a>b>0)與直線yx3只有一個公共點(diǎn)，且橢圓的離心率為，則橢圓C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案B解析把yx3代入橢圓方程，得(a2b2)x26a2x9a2a2b20，由于只有一個公共點(diǎn)，所以0，得a2b29，又，所以，解得a25，b24.所以橢圓的方程為1.2.如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E是線段BC上兩個動點(diǎn)，且xy，則的最小值為()A.B.2C.D.答案D解析設(shè)mn，B，D，E，C共線，mn1，1，xy，則xymn2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y時，等號成立.則的最小值為，故選D.3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱AB上一點(diǎn)，且AE1，BE3，以E為球心，線段EC的長為半徑的球與棱A1D1，DD1分別交于F，G兩點(diǎn)，則AFG的面積為()A.42B.3C.22D.4答案D解析正方體的棱長為4，則DE，EC5.作EHA1B1于H，則EFEGEC5，A1F2，DG2，則FH3，所以SAFGSADG1642416412844.4.設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn).以F1F2為直徑的圓與雙曲線的右支交于P點(diǎn)，且以O(shè)F2為直徑的圓與直線PF1相切，若|PF1|8，則雙曲線的焦距等于()A.6B.6C.3D.3答案A解析如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，連接PF2，依題意知PF1PF2，設(shè)以O(shè)F2為直徑的圓與直線PF1相切于點(diǎn)N，圓心為M，連接NM，則NMPF1，因此RtPF1F2RtNF1M，所以，則，解得|PF2|，由勾股定理可得|PF1|，所以8，得c3，故雙曲線的焦距為6.5.已知拋物線T的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線m與T交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點(diǎn)，若m與l不平行，則CMD是()A.等腰三角形且為銳角三角形B.等腰三角形且為鈍角三角形C.等腰直角三角形D.非等腰的直角三角形答案A解析不妨設(shè)拋物線T的方程為y22px(p>0).點(diǎn)A在拋物線y22px上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點(diǎn)，NM是M到拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，如圖：在CMD中，|CN|ND|，CMD是等腰三角形，又根據(jù)拋物線定義，|AC|AF|，|BD|BF|，CFDCFEDFEACFBDFAFCBFD.可得CFD90，又|MN|>|EF|，可得CMD<90.則CMD是等腰三角形且為銳角三角形.6.(2018馬鞍山模擬)已知M，N為橢圓1(a>b>0)上關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，設(shè)k1，k2分別為直線MA，NB的斜率，則|k14k2|的最小值為()A.B.C.D.答案C解析設(shè)M(x0，y0)，N(x0，y0)，k1，k2，|k14k2|24，由題意得y(a2x)，所以|k14k2|44.7.已知棱長為的正四面體ABCD(四個面都是正三角形)，在側(cè)棱AB上任取一點(diǎn)P(與A，B都不重合)，若點(diǎn)P到平面BCD及平面ACD的距離分別為a，b，則的最小值為()A.B.4C.D.5答案C解析由題意得aSBCDbSACDhSBCD，其中SBCDSACD，h為以BCD為底面的正四面體ABCD的高.h2，ab2.(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a，b時取等號.8.已知F為雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個頂點(diǎn)，過F，A的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸左側(cè)的交點(diǎn)為B，若(1)，則此雙曲線的離心率是()A.B.C.2D.答案A解析設(shè)F(c,0)，A(0，b)，漸近線方程為yx，則直線AF的方程為1，與yx聯(lián)立可得B，(1)，(c，b)(1)，c(1)，e.9.(2018河北省衡水金卷調(diào)研)已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F1，過點(diǎn)F，F(xiàn)1的直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為M，且拋物線在點(diǎn)M處的切線與直線yx垂直，則ab的最大值為()A.B.C.D.2答案B解析由題意可知，直線FF1的方程為yx1，由得xM，又由x24y，即yx，因此1，即c，所以a2b23，又a2b22ab，即32ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，即(ab)max.10.點(diǎn)M(3,2)到拋物線C：yax2(a>0)準(zhǔn)線的距離為4，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)N(1,1)，當(dāng)點(diǎn)P在直線l：xy2上運(yùn)動時，的最小值為()A.B.C.D.答案B解析點(diǎn)M(3,2)到拋物線C：yax2(a>0)準(zhǔn)線的距離為4，24，a，拋物線C：x28y，直線l：xy2與x軸交于A(2,0)，則FAl，且點(diǎn)N，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)|AP|t，則|AN|，|AF|2，|PN|，|PF|，設(shè)1m(m1)，則，m1，即t0時，的最小值為.11.如圖，在ABC中，ABBC，ABC90，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD，連接PC，得到三棱錐PBCD，若該三棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積是()A.7B.5C.3D.答案A解析依題意可得該三棱錐的面PCD是邊長為的正三角形，且BD平面PCD，設(shè)三棱錐PBDC外接球的球心為O，PCD外接圓的圓心為O1，則OO1平面PCD，所以四邊形OO1DB為直角梯形，由BD，O1D1及OBOD，可得OB，則外接球的半徑R.所以該球的表面積S球4R27.12.已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是B1C1的中點(diǎn)，若正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球與直線EF交于點(diǎn)G，H，且GH3，若點(diǎn)Q是棱BB1上一個動點(diǎn)，則AQD1Q的最小值為()A.6B.3C.6D.6答案C解析設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，內(nèi)切球球心為O，由題意可得內(nèi)切球半徑r.OEOFa，EFa，取EF中點(diǎn)P，則OPa，所以cosPOG，所以GOH，OG，a3，把平面DD1B1B與平面AA1B1B展成一個平面，則A，Q，D1共線時AQD1Q最小，最小值為D1A6.13.(2018天津濱海新區(qū)聯(lián)考)已知正實數(shù)a，b滿足2a>b，且ab，則的最小值為_.答案2解析由題意得2ab>0，(2ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)2ab，即b時等號成立.14.如圖，在ABC中，已知，P為AD上一點(diǎn)，且滿足m，若ABC的面積為，ACB，則的最小值為_.答案解析設(shè)，則(1).由平面向量基本定理可得解得m，令x，y，則SABCsinACBxy，xy4，且x>0，y>0.2x2y2xyx2y22，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2，即3x4y，即34時等號成立.即min.15.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC, AA12, ABBC1, ABC90，三棱柱外接球的球心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn).有下列判斷：直線AC與直線C1E是異面直線；A1E一定不垂直于AC1；三棱錐EAA1O的體積為定值；AEEC1的最小值為2.其中正確命題的序號是_.答案解析因為點(diǎn)A平面BB1C1C，點(diǎn)CC1E，所以直線AC與直線C1E是異面直線；A1EAB1時，直線A1E平面AB1C1.所以A1EAC1，錯誤；球心O是直線AC1，A1C的交點(diǎn)，底面OAA1面積不變，直線BB1平面AA1O，所以點(diǎn)E到底面距離不變，體積為定值；將矩形AA1B1B和矩形BB1C1C展開到一個面內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)E為AC1與BB1交點(diǎn)時，AEEC1取得最小值2.所以正確命題的序號是.16.(2018四川省成都市石室中學(xué)模擬)已知四面體ABCD的所有棱長都為，O是該四面體內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到平面ABC，平面ACD，平面ABD，平面BCD的距離分別為，x，和y，則的最小值是_.答案解析該幾何體為正四面體，體積為2.各個面的面積為2，所以四面體的體積又可以表示為，化簡得xy，故.