考點(diǎn)規(guī)范練48拋物線(xiàn)基礎(chǔ)鞏固組1.拋物線(xiàn)y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析拋物線(xiàn)方程可化為x2=-y4,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=116.設(shè)M(x0,y0),則由拋物線(xiàn)的定義,可知116-y0=1y0=-1516.2.如果點(diǎn)M(5,3)到拋物線(xiàn)y=ax2(a0)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為6,那么拋物線(xiàn)的方程是()A.y=12x2B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2D.y=112x2或y=-136x2答案D解析分兩類(lèi)a>0,a<0,可得所求方程為y=112x2或y=-136x2.3.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2x1x2的值一定等于()A.-4B.4C.p2D.-p2答案A解析若焦點(diǎn)弦ABx軸,則x1=x2=p2,則x1x2=p24,y1y2=-p2,則y1y2x1x2=-4;若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸,可設(shè)AB:y=kx-p2,聯(lián)立y2=2px得k2x2-(k2p+2p)x+p2k24=0,則x1x2=p24.又y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2=p4,又y1y2<0,y1y2=-p2.故y1y2x1x2=-4.4.(2018浙江嘉興地區(qū)聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0),若直線(xiàn)y=2x被拋物線(xiàn)C所截弦長(zhǎng)為45,則拋物線(xiàn)C的方程為()A.x2=8yB.x2=4yC.x2=2yD.x2=y答案C解析由x2=2py,y=2x,得x=0,y=0或x=4p,y=8p,即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p),則4p2+8p2=45,得p=1(舍去負(fù)值).故拋物線(xiàn)C的方程為x2=2y.5.已知拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上,且|AK|=2|AF|,則AFK的面積為()A.4B.8C.16D.32答案B解析拋物線(xiàn)C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線(xiàn)為x=-2,K(-2,0).設(shè)A(x0,y0),過(guò)點(diǎn)A向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)AB垂足為B,則B(-2,y0).|AK|=2|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,由|BK|2=|AK|2-|AB|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,4).故AFK的面積為12|KF|y0|=1244=8.6.拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)y2-x2=1相交于A,B兩點(diǎn),若ABF為等邊三角形,則p=.答案23解析y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-p2.由于ABF為等邊三角形.因此不妨設(shè)A-p2,p3,B-p2,-p3.又點(diǎn)A,B在雙曲線(xiàn)y2-x2=1上,從而p23-p24=1,所以p=23.7.已知F1,F2分別是雙曲線(xiàn)3x2-y2=3a2(a>0)的左、右焦點(diǎn),P是拋物線(xiàn)y2=8ax與雙曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=12,則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.答案x=-2解析將雙曲線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x2a2-y23a2=1,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-2a,聯(lián)立x2a2-y23a2=1,y2=8axx=3a,即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3a.而由|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a|PF2|=6-a,|PF2|=3a+2a=6-a,得a=1,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-2.8.若拋物線(xiàn)y=2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng),且x1x2=-12,則實(shí)數(shù)m的值是.答案32解析由于A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng),故可設(shè)直線(xiàn)AB方程為y=-x+n,代入拋物線(xiàn)方程y=2x2得2x2+x-n=0,由x1x2=-12得n=1,設(shè)A,B中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=x1+x22=-14,y0=-x0+1=54,點(diǎn)(x0,y0)在直線(xiàn)y=x+m上,代入得m=32.能力提升組9.(2018浙江臺(tái)州二模)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍,且OAF的面積為1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則p的值為()A.1B.2C.3D.4答案B解析不妨設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)在第一象限,由題意可知x0+p2=2x0,SOAF=12p2y0=1,即x0=p2,y0=4p,Ap2,4p.又點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y2=2px上,16p2=2pp2,即p4=16.又p>0,p=2.故選B.10.過(guò)點(diǎn)(0,-2)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y2=16x于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且y12-y22=1,則OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為()A.12B.14C.18D.116答案D解析由題意得,y12=16x1,y22=16x2,y12-y22=16(x1-x2)y1-y2x1-x2=16y1+y2,AB:y=16y1+y2x-2,令y=0,x=y1+y28,S=12y1+y28|y1-y2|=116|y12-y22|=116,故選D.11.(2018浙江嘉興一模)過(guò)拋物線(xiàn)C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),若拋物線(xiàn)C在點(diǎn)B處的切線(xiàn)的斜率為1,則|AF|等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1),因?yàn)閥=12x2,所以y=x.所以y|x=x1=x1=1,則B1,12.因?yàn)镕0,12,所以直線(xiàn)l的方程為y=12.故|AF|=|BF|=1.12.(2018浙江嘉興調(diào)研)已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C交于A,B兩點(diǎn),若OAOB=-12,則拋物線(xiàn)C的方程為()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=8xD.y2=4x答案C解析由題意,設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p>0),直線(xiàn)方程為x=my+p2,聯(lián)立y2=2px,x=my+p2,消去x得y2-2pmy-p2=0,顯然方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得OAOB=x1x2+y1y2=my1+p2my2+p2+y1y2=m2y1y2+pm2(y1+y2)+p24+y1y2=-34p2=-12,解得p=4(舍負(fù)).故拋物線(xiàn)C的方程為y2=8x.13.已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F,若A,B是該拋物線(xiàn)上的點(diǎn),AFB=90,線(xiàn)段AB中點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上的射影為N,則|MN|AB|的最大值為()A.2B.1C.22D.12答案C解析設(shè)|AF|=a,|BF|=b,點(diǎn)A,B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影點(diǎn)分別為Q,P,連接AQ,BQ,如圖.由拋物線(xiàn)定義,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.在梯形ABPQ中,根據(jù)中位線(xiàn)定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得|AB|2=a2+b2,配方得|AB|2=(a+b)2-2ab,aba+b22,(a+b)2-2ab(a+b)2-2a+b22=12(a+b)2.得到|AB|22(a+b).所以|MN|AB|12(a+b)22(a+b)=22,即|MN|AB|的最大值為22.故選C.14.已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M是拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),A在拋物線(xiàn)上,且|AF|=2,則|OA|=;|MA|+|MO|的最小值是.答案513解析易知F(0,1).設(shè)A(x,y),由|AF|=2,得y+1=2,則y=1,代入x2=4y得x=2,所以A(2,1),則|OA|=5.設(shè)B(0,-2),因點(diǎn)M在拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)上,則|MO|=|MB|,從而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因?yàn)锳,B為定點(diǎn),所以|MA|+|MB|的最小值即為|AB|=13,故|MA|+|MO|的最小值是13.15.已知P為拋物線(xiàn)C:y2=4x上的一點(diǎn),F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn),其準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N,直線(xiàn)NP與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)Q,且|PF|=3|QF|,則點(diǎn)P坐標(biāo)為.答案(3,23)解析y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線(xiàn)方程x=-1.過(guò)P,Q分別作準(zhǔn)線(xiàn)的射影分別為A,B,則由拋物線(xiàn)的定義可知:|PA|=|PF|,|QF|=|BQ|.|PF|=3|QF|,|AP|=3|QB|,即|AN|=3|BN|,P,Q的縱坐標(biāo)滿(mǎn)足yP=3yQ,設(shè)Py24,y,y0,則Qy236,y3.N,Q,P三點(diǎn)共線(xiàn),yy24+1=y3y236+1,解得y2=12,y=23,此時(shí)x=y24=124=3,即點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,23).16.已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程;(2)若AOB的面積為4,求直線(xiàn)l的方程.解(1)由拋物線(xiàn)x2=4y的方程可得焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1.聯(lián)立拋物線(xiàn)方程,化為x2-4kx-4=0.x1+x2=4k,x1x2=-4.|AB|=1+k216k2+16=4(1+k2).點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=11+k2.SOAB=12|AB|d=124(1+k2)11+k2=4,解得k2=3,k=3.直線(xiàn)l的方程為y=3x+1.17.(2018浙江衢州模擬)已知過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線(xiàn)的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若OC=OA+OB,求的值.解(1)直線(xiàn)AB的方程是y=22x-p2,與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0.由題意知,方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根.所以x1+x2=5p4,由拋物線(xiàn)定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而拋物線(xiàn)方程為y2=8x.(2)由于p=4,則4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,即22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.