考點規(guī)范練56離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)鞏固組1.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P35310110則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=()A.32B.2C.52D.3答案A解析E(X)=135+2310+3110=32.故選A.2.若隨機(jī)變量X的分布列如下表,且E(X)=2,則D(2X-3)=()X02aP16p13A.2B.3C.4D.5答案C解析由題意可得16+p+13=1,解得p=12,因為E(X)=2,所以016+212+a13=2,解得a=3.所以D(X)=(0-2)216+(2-2)212+(3-2)213=1.所以D(2X-3)=4D(X)=4.故選C.3.若B(n,p),且E()=6,D()=3,則P(=1)的值為()A.32-2B.32-10C.2-4D.2-8答案B解析E()=np=6,D()=np(1-p)=3p=12,n=12,P(=1)=C1211212=3210.4.隨機(jī)變量X的分布列為X124P0.40.30.3則E(5X+4)=()A.11B.15C.35D.39答案B解析E(X)=10.4+20.3+40.3=2.2.所以E(5X+4)=5E(X)+4=15.故選B.5.(2017浙江紹興期中)已知隨機(jī)變量的分布列為下表所示,若E()=14,則D()=()-101P13abA.56B.4148C.1D.23答案B解析由E()=-113+0a+1b=14,整理得b=712,由13+a+b=1,得a=1-13-712=112,所以D()=-1-14213+0-142112+1-142712=4148.6.設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和A,且P(A)=p,令隨機(jī)變量X=1,A出現(xiàn),0,A不出現(xiàn),則X的方差D(X)等于.答案p(1-p)解析X服從兩點分布,故D(X)=p(1-p).7.隨機(jī)變量的分布列如下:-101Pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,若E()=13,則D()的值是.答案59解析由題意得a+b+c=12b=a+cb=13,a+c=23,又E()=-a+c=13,所以a+c=23-a+c=13a=16,c=12.故D()=E(2)-E()2=16+12-19=59.8.盒中有大小相同的5個白球和3個黑球,從中隨機(jī)摸出3個小球,記摸到黑球的個數(shù)為X,則P(X=2)=,E(X)=.答案155698解析P(X=2)=C51C32C83=1556,P(X=0)=C53C83=1056,P(X=1)=C52C31C83=3056,P(X=3)=C33C83=156,所以的分布列為0123P105630561556156E(X)=130+215+3156=6356=98.能力提升組9.已知X的分布列為X-101P121316且Y=aX+3,E(Y)=73,則a的值為()A.1B.2C.3D.4答案B解析E(X)=-112+013+116=-13,E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-13a+3=73,所以a=2.故選B.10.若p為非負(fù)實數(shù),隨機(jī)變量的分布列為012P12-pp12則E()的最大值為()A.1B.32C.52D.2答案B解析由0p12,012-p12,得0p12,E()=p+132.11.某抽簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號碼中最大的一個,則X的數(shù)學(xué)期望為()A.5B.5.25C.5.8D.4.6答案B解析由題意可知,X可以取3,4,5,6,P(X=3)=1C63=120,P(X=4)=C32C63=320,P(X=5)=C42C63=310,P(X=6)=C52C63=12.由數(shù)學(xué)期望的定義可求得E(X)=3120+4320+5310+612=5.25.12.設(shè)0<p<1,隨機(jī)變量的分布列為012P1-p212p2則當(dāng)p在區(qū)間(0,1)內(nèi)增大時,()A.D()減小B.D()增大C.D()先減小后增大D.D()先增大后減小答案D解析E()=01-p2+112+2p2=p+12,D()=1-p20-p-122+121-p-122+p22-p-122=-p2+p+14.12(0,1),D()先增后減.故選D.13.已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m3,n3),從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個球放入甲盒中.(1)放入i個球后,甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i=1,2);(2)放入i個球后,從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i=1,2),則()A.p1>p2,E(1)<E(2)B.p1<p2,E(1)>E(2)C.p1>p2,E(1)>E(2)D.p1<p2,E(1)<E(2)答案A解析由題意可得隨機(jī)變量1,2的分布列為112Pnm+nmm+n2123PCn2Cm+n2Cm1Cn1Cm+n2Cm2Cm+n2所以E(1)=nm+n+2mm+n=2m+nm+n,E(2)=Cn2Cm+n2+2Cm1Cn1Cm+n2+3Cm2Cm+n2=3m+nm+n.所以E(1)<E(2).因為p1=mm+n+nm+n12=2m+n2(m+n),p2=Cm2Cm+n2+Cm1Cn1Cm+n223+Cn2Cm+n213=3m+n3(m+n),p1-p2=n6(m+n)>0,所以p1>p2.14.如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中抽取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)=.答案65解析由題意知,X可能的取值為0,1,2,3.若X=0,觀察知題圖中位于大正方體內(nèi)部的27個小正方體無涂漆面,則P(X=0)=27125;若X=1,觀察知題圖中位于各面中部的9個小正方體涂1面漆,則P(X=1)=69125=54125;若X=2,觀察知題圖中位于各棱中部的3個小正方體涂2面漆,則P(X=2)=123125=36125;若X=3,觀察知題圖中位于大正方體頂點處的8個小正方體涂3面漆,則P(X=3)=8125.故E(X)=027125+154125+236125+38125=65.15.某人喜歡玩有三個關(guān)卡的通關(guān)游戲,根據(jù)他的游玩經(jīng)驗,每次開啟一個新的游戲,這三個關(guān)卡他能夠通過的概率分別為12,13,14(這個游戲的游戲規(guī)則是:如果玩者沒有通過上一個關(guān)卡,他照樣可以玩下一個關(guān)卡,但玩該游戲的得分會有影響).則此人在開啟一個這種新的游戲時,他能夠通過兩個關(guān)卡的概率為,設(shè)X表示他能夠通過此游戲的關(guān)卡的個數(shù),則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.答案141312解析隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.又P(X=2)=1-121314+121-1314+12131-14=14,P(X=0)=1-121-131-14=14,P(X=1)=121-131-14+1-12131-14+1-121-1314=1124,P(X=3)=121314=124.所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P14112414124隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=014+11124+214+3124=1312.16.一個口袋里裝有大小相同的6個小球,其中紅色、黃色、綠色的球各2個,現(xiàn)從中任意取出3個小球,其中恰有2個小球同顏色的概率是.若取到紅球得1分,取到黃球得2分,取到綠球得3分,記變量為取出的三個小球得分之和,則的期望為.答案356解析根據(jù)題意,知任取3個小球共有C63=20(種)取法,而其中恰有2個小球同顏色的有3C22C41=12(種)取法,故所求概率為P=1220=35.由題意得,隨機(jī)變量的可能取值為4,5,6,7,8,P(=4)=C22C2120=110,P(=5)=2C22C2120=15,P(=6)=C21C21C2120=25,P(=7)=2C22C2120=15,P(=8)=C22C2120=110,因此E()=4110+515+625+715+8110=6.17.為迎接2022年北京冬奧會,推廣滑雪運動,某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是:滑雪時間不超過1小時免費,超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算).有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動,設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為14,16;1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為12,23;兩人滑雪時間都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量,求的分布列與數(shù)學(xué)期望E(),方差D().解(1)兩人所付費用相同,相同的費用可能為0,40,80元,兩人都付0元的概率為P1=1416=124,兩人都付40元的概率為P2=1223=13,兩人都付80元的概率為P3=1-14-121-16-23=1416=124,則兩人所付費用相同的概率為P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)設(shè)甲、乙所付費用之和為,則的可能取值為0,40,80,120,160,則P(=0)=1416=124,P(=40)=1423+1216=14,P(=80)=1416+1223+1416=512,P(=120)=1216+1423=14,P(=160)=1416=124.所以的分布列為04080120160P1241451214124E()=0124+4014+80512+12014+160124=80,D()=(0-80)2124+(40-80)214+(80-80)2512+(120-80)214+(160-80)2124=40003.18.某公司采用招考的方式引進(jìn)人才,規(guī)定必須在B,C,D三個測試點中任意選取兩個進(jìn)行測試,若在這兩個測試點都測試合格,則可參加面試,否則不被錄用,已知考生在每個測試點測試結(jié)果互不影響,若考生小李和小王一起前來參加招考,小李在測試點B,C,D測試合格的概率分別為23,13,12,小王在上述三個測試點測試合格的概率都是23.(1)小李選擇哪兩個測試點測試才能使得可以參加面試的可能性最大?請說明理由;(2)假設(shè)小李選擇測試點B,C進(jìn)行測試,小王選擇測試點B,D進(jìn)行測試,記X為兩人在各測試點測試合格的測試點個數(shù)之和,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).解(1)設(shè)考生小李在B,C,D各測試點測試合格記為事件B,C,D,且各個事件相互獨立,由題意P(B)=23,P(C)=13,P(D)=12.若選擇在B,C測試點測試,則參加面試的概率為P1=P(BC)=P(B)P(C)=2313=29;若選擇在B,D測試點測試,則參加面試的概率為P2=P(BD)=P(B)P(D)=2312=13;若選擇在C,D測試點測試,則參加面試的概率為P3=P(CD)=P(C)P(D)=1312=16.因為P2>P1>P3,所以小李選擇在B,D測試點測試參加面試的可能性最大.(2)記小李在B,C測試點測試合格為事件X1,X2,記小王在B,D測試點測試合格為事件Y1,Y2,則P(X1)=P(Y1)=P(Y2)=23,P(X2)=13,且X的所有可能取值為0,1,2,3,4,所以P(X=0)=P(X1X2Y1Y2)=1323232=281;P(X=1)=P(X1X2Y1Y2+XX2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=1381;P(X=2)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=323133+313233=1027;P(X=3)=P(X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2+X1X2Y1Y2)=3232133+234=2881;P(X=4)=P(X1X2Y1Y2)=13232=881.所以X的分布列為X01234P281138110272881881E(X)=0281+11381+21027+32881+4881=73.