第24練數(shù)列明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列要點(diǎn)重組(1)在等差數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(2)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列.(3)在等差數(shù)列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差數(shù)列.(4)在等比數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(5)在等比數(shù)列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q1除外).1.(2018全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5_.答案10解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.2.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a91，S180，則Sn取最大值時n的值為_.答案9解析方法一設(shè)公差為d，則a18d1且18a1d0，解得a117，d2，所以Sn17nn(n1)n218n，當(dāng)n9時，Sn取最大值.方法二因?yàn)镾18180，所以a1a18a9a100，所以a101，即數(shù)列an中前9項(xiàng)為正值，從第10項(xiàng)開始為負(fù)值，故其前9項(xiàng)之和最大.3.(2018江蘇高考沖刺預(yù)測卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a1，且a2a82a53，則a9_.答案18解析a2a82a53，a2a53，解得a53(舍負(fù))，即a1q43，則q46，a9a1q83618.4.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1(n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23,19,37,82中，則6q_.答案9解析由題意知，數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23，19,37,82中，說明an有連續(xù)四項(xiàng)在集合54，24，18,36,81中，由于an中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，q<0，又|q|>1，an的連續(xù)四項(xiàng)為24,36，54,81，q，6q9.考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時，通常利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解.(2)利用an求通項(xiàng)時，要注意檢驗(yàn)n1的情況.5.數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，則a2019_.答案解析數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，1，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)1n，2019，解得a2019.6.已知數(shù)列an滿足a1a2a3an(nN*)，且對任意nN*都有<t，則t的取值范圍為_.答案解析數(shù)列an滿足a1a2a3an(nN*)，當(dāng)n1時，a12；當(dāng)n2時，a1a2a3an1，可得an22n1，n2，當(dāng)n1時，a12滿足上式，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.<.對任意nN*都有<t，t的取值范圍是.7.(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.8.在已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n2時，有1成立，則S2019_.答案解析當(dāng)n2時，由1，得2(SnSn1)anSnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2019.考點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題、可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項(xiàng)an、前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系.(2)和不等式有關(guān)的數(shù)列問題，可以利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等求最值來解決.9.已知函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S20的值為_.答案解析因?yàn)閒(x)x2ax，所以f(x)2xa，又函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，所以f(0)a2，所以f(x)x22x，所以，所以S20.10.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2bnc，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn3nd，則向量a(c，d)的模為_.答案1解析由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模為1.11.設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_.答案64解析由已知a1a310，a2a4a1qa3q5，兩式相除得，解得q，a18，所以a1a2an8n12(n1)，拋物線f(n)的對稱軸為n，又nN*，所以當(dāng)n3或4時，a1a2an取最大值為2664.12.已知函數(shù)f(x)3|x5|2|x2|，數(shù)列an滿足a1<2，an1f(an)，nN*.若要使數(shù)列an成等差數(shù)列，則a1的取值集合為_.答案解析因?yàn)閒(x)所以若數(shù)列an成等差數(shù)列，則當(dāng)a1為直線yx11與直線yx11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即a111時，數(shù)列an是以11為首項(xiàng)，11為公差的等差數(shù)列；當(dāng)f(a1)a1，即5a119a1或a111a1，即a1或a1時，數(shù)列an是以0為公差的等差數(shù)列，因此a1的取值集合為.1.在數(shù)列an中，a11，a22，當(dāng)整數(shù)n1時，Sn1Sn12(SnS1)都成立，則S15_.答案211解析當(dāng)n1時，Sn1SnSnSn12，an1an2，n2，an1an2，n2.數(shù)列an從第二項(xiàng)開始組成公差為2的等差數(shù)列，S15a1(a2a15)114211.2.已知數(shù)列an滿足：an1an(12an1)，a11，數(shù)列bn滿足：bnanan1，則數(shù)列bn的前2019項(xiàng)的和S2019_.答案解析由an1an(12an1)，可得2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故1(n1)22n1，所以an.又bnanan1，所以S2019.3.已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_.答案解析由題意，得a2a12，a3a24，anan12(n1)，n2，累加整理可得ann2n33，n2，當(dāng)n1時，a133也滿足，n1(nN*).由函數(shù)f(x)x1(x0)的單調(diào)性可知，的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個.又f(6)，f(5)，min.解題秘籍(1)利用anSnSn1尋找數(shù)列的關(guān)系，一定要注意n2這個條件.(2)數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解，但要考慮最值取到的條件.1.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前6項(xiàng)的和為_.答案24解析由已知條件可得a11，d0，由aa2a6，可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.2.設(shè)等比數(shù)列an的前6項(xiàng)和S66，且1為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7a8a9_.答案8解析依題意得a1a32a2，即S3a1a2a32，數(shù)列S3，S6S3，S9S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9S6成等比數(shù)列，于是有S9S68，即a7a8a98.3.已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|_.答案18解析由an1an2可得數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.4.已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是_.答案5解析7，驗(yàn)證知，當(dāng)n1,2,3,5,11時為整數(shù).5.在等比數(shù)列an中，a12，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn_.答案2n解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由于an1也是等比數(shù)列，所以(a21)2(a11)(a31)，即a2a21a1a3a1a31，即2a2a1a3，即2q1q2，解得q1，所以數(shù)列an是常數(shù)列，所以Sn2n.6.設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3，則_.答案解析設(shè)S2k，則S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列(易知數(shù)列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，.7.設(shè)an是任意等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是_.2XZ3Y；4XZ4Y；2X3Z7Y；8XZ6Y.答案解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X，YX，S3nY，ZS3n成等差數(shù)列，2(YX)XS3nY，S3n3Y3X，又2(S3nY)(YX)(ZS3n)，4Y6XYXZ3Y3X，8XZ6Y.8.若數(shù)列an滿足a11，且對于任意的nN*都有an1ann1，則_.答案解析由an1ann1，得an1ann1，則a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，n2.以上等式相加，得ana1123(n1)n1，n2，把a(bǔ)11代入上式得，an123(n1)n，n2，2，n2，當(dāng)n1時，a11也滿足，2，nN*，則22.9.公差不為0的等差數(shù)列an的部分項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列，且k11，k22，k36，則k4_.答案22解析根據(jù)題意可知，等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1，所以a1(k41)(3a1)64a1，解得k422.10.若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且2Snan1an，a14，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_.答案解析因?yàn)?Snan1an，a14，所以n1時，244a2，解得a22.n2時，2Sn1anan1，可得2anan1ananan1，所以an0(舍去)或an1an12.n2時，an1an12，可得數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均為等差數(shù)列.所以a2k142(k1)2k2，kN*，a2k22(k1)2k，kN*.所以an11.古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這個女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為_.答案解析設(shè)這個女子每天分別織布an尺，則數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q2.則5，解得a1.所以a322.12.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Snn22n，bnanan1cos(n1)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tntn2對nN*恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_.答案(，5解析n1時，a1S13.n2，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.n1時也成立，所以an2n1.所以bnanan1cos(n1)(2n1)(2n3)cos(n1)，n為奇數(shù)時，cos(n1)1，n為偶數(shù)時，cos(n1)1.因此當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn355779911(2n1)(2n3)354(7112n1)1542n26n7.因?yàn)門ntn2對nN*恒成立，所以2n26n7tn2，t272，所以t2.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn355779911(2n1)(2n3)4(59132n1)2n26n.因?yàn)門ntn2對nN*恒成立，所以2n26ntn2，t2，所以t5.綜上可得t5.