第3講合情推理與演繹推理考綱解讀1.了解合情推理和演繹推理的含義，能進行簡單的歸納推理和類比推理(重點)2.掌握演繹推理的三段論，并能運用三段論進行一些簡單的推理3.弄清推理的一般步驟：實驗、觀察、比較；概括、聯(lián)想、類推、推廣；猜想新結論考向預測從近三年高考情況來看，演繹推理貫穿于整個高考試卷的始末，而合情推理時有考查. 預測2020年將會考查歸納猜想及類比推理的應用. 題型為客觀題，試題具有一定的綜合性，屬中等難度試題.1推理(1)定義：根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程就是推理(2)分類：推理一般分為合情推理和演繹推理2合情推理(1)定義：根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納類比，然后提出猜想的推理叫做合情推理(2)分類：數學中常用的合情推理有歸納推理和類比推理(3)歸納和類比推理的定義、特征3演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結論根據一般原理，對特殊情況做出的判斷1概念辨析(1)歸納推理得到的結論不一定正確，類比推理得到的結論一定正確()(2)由平面三角形的性質推測空間四面體的性質，這是一種合情推理()(3)axyaxay與sin()類比，則有sin()sinsin.()(4)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結論一定正確()答案(1)(2)(3)(4)2小題熱身(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；由112,1322,13532，可得到135(2n1)n2，則兩個推理過程分別屬于()A類比推理、歸納推理 B類比推理、演繹推理C歸納推理、類比推理 D歸納推理、演繹推理答案A解析由三角形的面積公式得到扇形的面積公式有相似之處，此種推理為類比推理；由特殊到一般，此種推理為歸納推理(2)正弦函數是奇函數，f(x)sin(x21)是正弦函數，因此f(x)sin(x21)是奇函數，以上推理()A結論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確答案C解析f(x)sin(x21)不是正弦函數(3)已知數列an中，a11，n2時，anan12n1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1答案C解析a11，a24，a39，a416，猜想ann2.(4)對于平面幾何中的命題：“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”，在立體幾何中，類比上述命題，可以得到命題：“_”，這個類比命題的真假性是_答案夾在兩個平行平面間的平行線段相等真命題解析由類比推理可知題型 類比推理1等差數列an的公差為d，前n項的和為Sn，則數列為等差數列，公差為.類似地，若各項均為正數的等比數列bn的公比為q，前n項的積為Tn，則等比數列的公比為()A. Bq2 C. D.答案C解析在等差數列an中前n項的和為Sn的通項，且可寫成a1(n1).所以在等比數列bn中應研究前n項的積為Tn的開n次方的形式類比可得b1()n1，其公比為.2在平面幾何中，ABC的C的平分線CE分AB所成線段的比為.把這個結論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到類比的結論是_答案解析由平面中線段的比轉化為空間中面積的比可得.1類比推理的四個角度和四個原則(1)四個角度類比推理是由特殊到特殊的推理，可以從以下幾個方面考慮類比：類比的定義：如等差、等比數列的定義；類比的性質：如橢圓、雙曲線的性質；類比的方法：如基本不等式與柯西不等式；類比的結構：如三角形的內切圓與三棱錐的內切球(2)四個原則長度類比面積；面積類比體積；平面類比空間；和類比積，差類比商見舉例說明2類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)3常見的類比推理題型的求解策略在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：(1)找兩類對象的對應元素，如三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；(2)找對應元素的對應關系，如兩條邊(直線)垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等 (2018廈門模擬)已知圓：x2y2r2上任意一點(x0，y0)處的切線方程為x0xy0yr2.類比以上結論，有雙曲線1上任意一點(x0，y0)處的切線方程為_答案1解析設圓上任一點為(x0，y0)，把圓的方程中的x2，y2替換為x0x，y0y，則得到圓的切線方程；類比這種方式，設雙曲線1上任一點為(x0，y0)，則切線方程為1(這個結論是正確的，證明略)題型 歸納推理角度1與數字有關的歸納推理1從1開始的自然數按如圖所示的規(guī)則排列，現有一個三角形框架在圖中上下或左右移動，使每次恰有九個數在此三角形內，則這九個數的和可以為()A2018 B2019 C2020 D2021答案D解析根據題干圖所示的規(guī)則排列，設最上層的一個數為a，則第二層的三個數為a7，a8，a9，第三層的五個數為a14，a15，a16，a17，a18，這九個數之和為a3a245a809a104.由9a1042021，得a213，是自然數，故選D.角度2與式子有關的歸納推理2(2016山東高考)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.答案解析觀察前4個等式，由歸納推理可知222n(n1).角度3與圖形有關的歸納推理3分形幾何學是數學家伯努瓦曼德爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數學學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路按照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個樹形圖若記圖(2)中第n行黑圈的個數為an，則a2019_.答案解析根據題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個白圈分形為2個白圈1個黑圈，1個黑圈分形為1個白圈2個黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0)，第2行記為(2,1)，第3行記為(5,4)，第4行的白圈數為25414，黑圈數為52413，所以第4行的“坐標”為(14,13)，同理可得第5行的“坐標”為(41,40)，第6行的“坐標”為(122,121)，.各行黑圈數乘2，分別是0,2,8,26,80，即11，31，91,271,811，所以可以歸納出第n行的黑圈數an(nN*)，所以a2019.歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與數字有關的等式的推理觀察數字特點，找出等式左右兩側的規(guī)律及符號可解見舉例說明1.(2)與式子有關的歸納推理與不等式有關的推理觀察每個不等式的特點，注意是縱向看，找到規(guī)律后可解與數列有關的推理通常是先求出幾個特殊項，采用不完全歸納法，找出數列的項與項數的關系，列出即可(3)與圖形變化有關的推理合理利用特殊圖形歸納推理得出結論，并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡砸娕e例說明3.1觀察下列各式：553125,5615625,5778125,58390625,591953125，則52019的末四位數字為()A3125 B5625 C0625 D8125答案D解析553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可以看出這些冪的最后4位是以4為周期變化的，20194504余3，52019的末四位數字與57的后四位數相同，是8125.2觀察下列不等式：133<2，132322<4，133332<6，照此規(guī)律，第n1(n2，nN*)個不等式是_答案13(n1)3(n1)2<2n2解析根據所給不等式易歸納推理出第n(nN*)個不等式是13n3n2<2n，所以可以歸納推測出第n1(n2，nN*)個不等式是13(n1)3(n1)2<2n2.3地震后需搭建簡易帳篷，搭建如圖的單頂帳篷需要17根鋼管，這樣的帳篷按圖、圖的方式串起來搭建，則串7頂這樣的帳篷需要_根鋼管答案83解析由題意可知，圖的單頂帳篷需要(17011)根鋼管，圖的帳篷需要(17111)根鋼管，圖的帳篷需要(17211)根鋼管，所以串7頂這樣的帳篷需要1761183(根)鋼管題型 演繹推理數列an的前n項和記為Sn，已知a11，an1Sn(nN*)證明：(1)數列是等比數列；(2)Sn14an.證明(1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，又10，(小前提)故是以1為首項，2為公比的等比數列(結論)(大前提是等比數列的定義，這里省略了)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)對于任意正整數n，都有Sn14an.(結論)(第(2)問的大前提是第(1)問的結論以及題中的已知條件)三段論的應用(1)三段論推理的依據是：如果集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P.(2)應用三段論的注意點：解決問題時，首先應該明確什么是大前提，小前提，然后再找結論提醒：合情推理的結論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時，得到的結論一定正確.設函數f(x)是定義在R上的奇函數，對任意實數x有ff成立證明yf(x)是周期函數，并指出其周期證明由ff，且f(x)f(x)，知f(3x)fff(x)f(x)，所以yf(x)是周期函數，且T3是其一個周期