專項(xiàng)強(qiáng)化練一函數(shù)的性質(zhì)1.(2018浙江寧波期末)若函數(shù)f(x)=ax2+(2a2-a-1)x+1為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為() A.1B.-12C.1或-12D.0答案C因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以2a2-a-1=0,解得a=-12或a=1.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足12x<12y,則下列關(guān)系式中恒成立的是()A.tanx>tanyB.ln(x2+2)>ln2(y2+1)C.1x<1yD.x3>y3答案D由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得x>y,因?yàn)閮绾瘮?shù)y=x3在(-,+)上是單調(diào)遞增的,所以當(dāng)x>y時,恒有x3>y3,故選D.3.(2017浙江,5,5分)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間0,1上的最大值是M,最小值是m,則M-m的值()A.與a有關(guān),且與b有關(guān)B.與a有關(guān),但與b無關(guān)C.與a無關(guān),且與b無關(guān)D.與a無關(guān),但與b有關(guān)答案B解法一:令g(x)=x2+ax,則M-m=g(x)max-g(x)min.故M-m與b無關(guān).又a=1時,g(x)max-g(x)min=2,a=2時,g(x)max-g(x)min=3,故M-m與a有關(guān).故選B.解法二:(1)當(dāng)-a21,即a-2時,f(x)在0,1上為減函數(shù),M-m=f(0)-f(1)=-a-1.(2)當(dāng)12-a2<1,即-2<a-1時,M=f(0),m=f-a2,從而M-m=f(0)-f-a2=b-b-a24=14a2.(3)當(dāng)0<-a2<12,即-1<a<0時,M=f(1),m=f-a2,從而M-m=f(1)-f-a2=14a2+a+1.(4)當(dāng)-a20,即a0時,f(x)在0,1上為增函數(shù),M-m=f(1)-f(0)=a+1.即有M-m=a+1(a0),14a2+a+1(-1<a<0),14a2(-2<a-1),-a-1(a-2).M-m與a有關(guān),但與b無關(guān).故選B.4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,則方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是()A.13B.1C.43D.2答案Cf(x)的定義域?yàn)镽,f(-x)=|-x-1|+|-x|+|-x+1|=|x+1|+|x|+|x-1|=f(x),所以f(x)是偶函數(shù).因?yàn)閒(2x-1)=f(x),所以2x-1=x或2x-1=-x,解得x=1或x=13,故選C.5.(2018浙江嘉興期末)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn),則f(m-1)和f(m+1)()A.都大于1B.都小于1C.至少有一個大于1D.至少有一個小于1答案D若f(x)在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn),則設(shè)f(x)的兩個零點(diǎn)分別為x1,x2,不妨設(shè)x1<x2,則m-1<x1<x2<m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2).因?yàn)閒(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1),f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2),所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)<x1-m+1+m+1-x122x2-m+1+m+1-x222=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一個小于1,故選D.6.已知a為正常數(shù),f(x)=x2-ax+1,xa,x2-3ax+2a2+1,x<a,若存在4,2,滿足f(sin)=f(cos),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.12,1B.22,1C.(1,2)D.12,22答案D由題意得f(x)=x-a22-a24+1,xa,x-3a22-a24+1,x<a,易知f(x)關(guān)于直線x=a對稱,且在a,+)上為增函數(shù),所以a=sin+cos2=22sin+4.因?yàn)?,2,+42,34,所以a=22sin+412,22.7.(2018臺州高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)f(x)=x+1x,x>0,-x2+3,x0,若函數(shù)g(x)=f(x)-k(x+1)在(-,1上恰有兩個不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.1,3)B.(1,3C.2,3)D.(3,+)答案A函數(shù)g(x)=f(x)-k(x+1)在(-,1上恰有兩個不同的零點(diǎn),等價于y=f(x)與y=k(x+1)的圖象在(-,1上恰有兩個不同的交點(diǎn),畫出函數(shù)y=f(x)和y=k(x+1)在(-,1上的圖象,如圖所示,y=k(x+1)的圖象是過定點(diǎn)(-1,0)且斜率為k的直線.當(dāng)直線y=k(x+1)經(jīng)過點(diǎn)(1,2)時,直線與y=f(x)在(-,1上的圖象恰有兩個交點(diǎn),此時k=1;當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(0,3)時,直線與y=f(x)在(-,1上的圖象恰有三個交點(diǎn).直線在旋轉(zhuǎn)過程中與y=f(x)在(-,1上的圖象恰有兩個交點(diǎn)時,斜率在1,3)內(nèi)變化,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是1,3).8.(2018金華十校高三上學(xué)期期末)函數(shù)y=x2ln|x|x|的圖象大致是()答案D首先函數(shù)f(x)=x2ln|x|x|為偶函數(shù),故排除B;當(dāng)x>0時,f(x)=xlnx,所以x>1時,f(x)>0,排除A; 當(dāng)x>0時,f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,令f(x)=0,可得極值點(diǎn)x=1e,所以f(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在1e,+上單調(diào)遞增,排除C.故選D.9.(2018浙江嘉興高三上學(xué)期期末)已知函數(shù)f(x)=log4(4-|x|),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是;f(0)+4f(2)=.答案(-4,0);3解析由4-|x|>0,解得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-4,4).f(x)=log4(4-x)(0x<4),log4(4+x)(-4<x<0),故f(x)在(-4,0)上單調(diào)遞增,在(0,4)上單調(diào)遞減.由于f(0)=log44=1,f(2)=log42=12log44=12,故f(0)+4f(2)=1+412=3.10.(2018浙江金麗衢十二校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=3-2x-x2的定義域?yàn)?值域?yàn)?答案-3,1;0,2解析解3-2x-x20得-3x1,即定義域?yàn)?3,1,由y=-(x+1)2+4(x-3,1)可得值域?yàn)?,2.11.(2018浙江,15,6分)已知R,函數(shù)f(x)=x-4,x,x2-4x+3,x<.當(dāng)=2時,不等式f(x)<0的解集是.若函數(shù)f(x)恰有2個零點(diǎn),則的取值范圍是.答案(1,4);(1,3(4,+)解析本題考查分段函數(shù),解不等式組,函數(shù)的零點(diǎn),分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)=2時,不等式f(x)<0等價于x2,x-4<0或x<2,x2-4x+3<0,即2x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集為(1,4).易知函數(shù)y=x-4(xR)有一個零點(diǎn)x1=4,函數(shù)y=x2-4x+3(xR)有兩個零點(diǎn)x2=1,x3=3.在同一坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象(圖略),要使函數(shù)f(x)恰有2個零點(diǎn),則只能有以下兩種情形:兩個零點(diǎn)為1,3,由圖可知,此時>4.兩個零點(diǎn)為1,4,由圖可知,此時1<3.綜上,的取值范圍為(1,3(4,+).12.(2018金麗衢十二校聯(lián)考)若f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x(1-x),則當(dāng)x<0時,f(x)=;方程5f(x)-1f(x)+5=0的實(shí)根個數(shù)為.答案-x(1+x);6解析因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以當(dāng)x<0時,f(x)=f(-x)=-x(1+x).因?yàn)?f(x)-1f(x)+5=0,所以研究y=f(x)與y=15,y=-5的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)即可,其大致圖象如圖所示.觀察圖象知有6個交點(diǎn),故方程有6個實(shí)數(shù)根.