4.8正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例A組基礎(chǔ)題組1.如圖,兩座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平線,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A.30B.45C.60D.75答案B依題意可得AD=2010(m),AC=305(m),又CD=50(m),所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22.又0<CAD<180,所以CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.2.(2018杭州調(diào)研)據(jù)氣象部門預(yù)報,在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動,距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),則該碼頭處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A.9 hB.10 hC.11 hD.12 h答案B記碼頭為點O,熱帶風(fēng)暴中心的位置為點A,t小時后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點位置,在OAB中,OA=400 km,AB=20t km,OAB=45,根據(jù)余弦定理得4002+400t2-220t400223002,即t2-202t+1750,解得102-5t102+5,所以所求時間為102+5-102+5=10(h),故選B.3.(2018紹興一中高三期中)以BC為底邊的等腰三角形ABC中,AC邊上的中線長為6,當(dāng)ABC面積最大時,腰AB的長為()A.63B.65C.43D.45答案D如圖所示,設(shè)D為AC的中點,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,在ABD中,BD2=b2+b22-2bb22b2-a22b2,可得2a2+b2=144,設(shè)BC邊上的高為h,所以S=12ah=12ab2-a22=12a144-9a24=12a2144-9a24=12-94(a2-32)2+2304,所以,當(dāng)a2=32時,S有最大值,此時,b2=144-2a2=80,解得b=45,即腰長AB=45.故選D.4.如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點C(ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c),然后給出了三種測量方案:測量A,C,b;測量a,b,C;測量A,B,a,則一定能確定A,B間的距離的所有方案的序號為()A.B.C.D.答案D對于,由三角形內(nèi)角和定理和正弦定理可求得A,B間的距離;對于,由余弦定理可求得A,B間的距離.5.(2018嘉興高三模擬)如圖所示,位于東海某島的雷達(dá)觀測站A,發(fā)現(xiàn)其北偏東45,與觀測站A距離202海里的B處有一貨船正勻速直線行駛,半小時后,又測得該貨船位于觀測站A東偏北(0<<45)的C處,且cos =45.已知A、C兩處的距離為10海里,則該貨船的船速為海里/時.答案485解析因為cos =45,0<<45,所以sin =35,則cosBAC=cos(45-)=2245+2235=7210,在ABC中,BC2=800+100-2202107210=340,所以BC=285海里,所以該貨船的船速為485海里/時.6.(2018福州綜合質(zhì)量檢測)在距離塔底分別為80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A,B,C處,依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為,.若+=90,則塔高為.答案80 m解析設(shè)塔高為h m.依題意得,tan =h80,tan =h160,tan =h240.因為+=90,所以tan(+)tan =tan(90-)tan =sin(90-)sincos(90-)cos=cossinsincos=1,所以tan+tan1-tantantan =1,所以h80+h1601-h80h160h240=1,解得h=80,所以塔高為80 m.7.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67,30,此時氣球的高是46 m,則河流的寬度BC約等于m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80,31.73)答案60解析不妨設(shè)氣球A在地面的投影為點D,則AD=46 m,于是BD=ADtan(90-67)=46cos67sin6719.5 m,DC=ADtan(90-30)=46379.6 m,BC=DC-BD=79.6-19.560 m.8.某觀察站C在A城的南偏西20方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40,距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時C、D的距離為21千米,則此人還需走多少千米才能到達(dá)A城?解析設(shè)AD=x千米,AC=y千米,BAC=20+40=60,在ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60=212,即x2+y2-xy=441.而在ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.-得y=2x-6,代入得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去).故此人還需走15千米才能到達(dá)A城.9.如圖,在某港口A處獲悉,其正東方向20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救,此時救援船在港口的南偏西30距港口10海里的C處,求援船接到救援命令后立即從C處沿直線前往B處營救漁船.(1)求接到救援命令時救援船距漁船的距離;(2)試問救援船在C處應(yīng)朝什么方向沿直線前往B處救援?已知cos49=217解析(1)由題意得,在ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,所以CB2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22010cos 120=700,所以BC=107,所以接到救援命令時,救援船距漁船的距離為107海里.(2)在ABC中,AB=20,BC=107,CAB=120,由正弦定理得ABsinACB=BCsinCAB,即20sinACB=107sin120,解得sinACB=217.因為cos 49=217=sinACB,所以ACB=41,故救援船應(yīng)沿北偏東71的方向救援.10.(2018杭州七校高三聯(lián)考)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sinBsinA,sinCsinA,cosBcosA成等差數(shù)列.(1)求角A的值;(2)若a=10,b+c=5,求ABC的面積.解析(1)因為sinBsinA,sinCsinA,cosBcosA成等差數(shù)列,所以2sinCsinA=sinBsinA+cosBcosA,整理可得2sinC-sinBsinA=cosBcosA,所以sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A,即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,因為sin C>0,所以cos A=12,所以A=3.(2)因為a=10,b+c=5,所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得bc=5,所以SABC=12bcsin A=12532=534.11.(2018洛陽第一次統(tǒng)一考試)如圖,在平面四邊形ABDC中,CAD=BAD=30.(1)若ABC=75,AB=10,且ACBD,求CD的長;(2)若BC=10,求AC+AB的取值范圍.解析(1)由已知,易得ACB=45,在ABC中,10sin45=CBsin60BC=56.因為ACBD,所以ADB=CAD=30,CBD=ACB=45,在ABD中,ADB=30=BAD,所以DB=AB=10.在BCD中,CD=CB2+DB2-2CBDBcos45=510-43.(2)AC+AB>BC=10,cos 60=AB2+AC2-1002ABAC(AB+AC)2-100=3ABAC,而ABACAB+AC22,所以(AB+AC)2-1003AB+AC22,解得AB+AC20,故AB+AC的取值范圍為(10,20.B組提升題組1.地面上有兩座相距120米的塔,在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫?在高塔塔底望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?,且在兩塔底連線的中點O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?則兩塔的高度分別為() A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米答案B設(shè)高塔高H米,矮塔高h(yuǎn)米,在O點望高塔塔頂?shù)难鼋菫?則tan =H120,tan 2=h120,根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有H120=2h1201-h1202,因為在兩塔底連線的中點O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟?所以在O點望矮塔塔頂?shù)难鼋菫?-.由tan =H60,tan2-=h60,得H60=60h,聯(lián)立解得H=90,h=40.即兩座塔的高度分別為40米,90米.2.如圖,在海中一孤島D的周圍有2個觀察站A,C,已知觀察站A在島D的正北5 km處,觀察站C在島D的正西方,現(xiàn)在海面上有一船B,在A點測得其在南偏西60方向4 km處,在C點測得其在北偏西30方向上,則兩觀察站A與C的距離為km.答案27解析如圖,延長AB與DC,設(shè)交點為E,由題意可得E=30,BCE=60,EBC=90,ABC=90,在RtADE中,AE=ADsin30=10 km,所以EB=AE-AB=6 km.在RtEBC中,BC=BEtan 30=23 km,在RtABC中,AC=AB2+BC2=27(km).3.如圖,一棟建筑物AB的高為(30-103)m,在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B,M,D三點共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15和60,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30,則通信塔CD的高為m.答案60解析如圖,在RtABM中,AM=ABsinAMB=30-103sin15=30-103sin(45-30)=30-1036-24=206.過A點作CD的垂線,垂足為N,易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15-60=105,從而ACM=30.在AMC中,由正弦定理得MCsin45=206sin30,解得MC=403.在RtCMD中,CD=403sin 60=60,故通信塔CD的高為60 m.4.如圖,在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監(jiān)測點,B、C兩點到A的距離分別為20千米和50千米,某時刻,B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號,8秒后A、C同時接收到該聲波信號,已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒.(1)設(shè)A到P的距離為x千米,用x表示B、C到P的距離,并求x的值;(2)求P到海防警戒線AC的距離.解析(1)依題意,有PA=PC=x千米,PB=x-1.58=(x-12)千米.在PAB中,AB=20千米,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x,在PAC中,AC=50千米,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.cosPAB=cosPAC,3x+325x=25x,解得x=31(負(fù)值舍去).(2)作PDAC于點D(圖略),在ADP中,由(1)可知cosPAD=2531,則sinPAD=1-cos2PAD=42131,PD=PAsinPAD=3142131=421千米.故靜止目標(biāo)P到海防警戒線AC的距離為421 千米.5.某港灣的平面示意圖如圖所示,O,A和B分別是海岸線l1和l2上的三個集鎮(zhèn),A位于O的正南方向6 km處,B位于O的北偏東60方向10 km處.(1)求集鎮(zhèn)A,B間的距離;(2)隨著經(jīng)濟的發(fā)展,為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力,擬在海岸線l1,l2上分別修建碼頭M,N,開辟水上航線,勘測時發(fā)現(xiàn):以O(shè)為圓心,3 km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū),不適宜船只航行,請確定碼頭M,N的位置,使得M,N之間的直線航距最短.解析(1)在ABO中,OA=6,OB=10,AOB=120,根據(jù)余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 120=62+102-2610-12=196,所以AB=14,故集鎮(zhèn)A,B間的距離為14 km.(2)依題意得,直線MN必與圓O相切,設(shè)切點為C,連接OC(圖略),則OCMN.設(shè)OM=x,ON=y,MN=c,在OMN中,由12MNOC=12OMONsin 120,得123c=12xysin 120,即xy=23c,由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy3xy,所以c263c,解得c63.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=6時,c取得最小值63.所以碼頭M,N與集鎮(zhèn)O的距離均為6 km時,M,N之間的直線航距最短,最短距離為63 km.