第一部分 專題七 第二講 概率及其應(yīng)用A組1小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( C )ABCD解析根據(jù)題意可以知道，所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15種情況，而正確的情況只有其中一種，所以輸入一次密碼能夠成功開機的概率是.故選C2在某次全國青運會火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手若從中任選2人，則選出的火炬手的編號相連的概率為( D )A B C D解析由題意得從5人中選出2人，有10種不同的選法，其中滿足2人編號相連的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4種不同的選法，所以所求概率為.故選D3(2018江西宜春中學(xué)3月模擬)已知在數(shù)軸上0和3之間任取一個實數(shù)x，則使“l(fā)og2x<1”的概率為( C )A B C D解析由log2x<1，得0<x<2，區(qū)間長度為2，區(qū)間0,3長度為3，所以所求概率為.故選C4甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿? A )A B C D解析令A(yù)“甲、乙下成和棋”，B“甲獲勝”，C“甲輸”，則“甲不輸”P(A)，P(B)，P(C)1，P(B)，P(C)1.P()1.故甲不輸?shù)母怕蕿?5在區(qū)間，上隨機取一個數(shù)x，則sinxcosx1，的概率為( D )A B C D解析sinxcosxsin(x)，由1sin(x)，得sin(x)1，結(jié)合x，得0x，所以所求概率為.故選D6節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( C )A B C D解析如圖所示，設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x，y，且x，y相互獨立，由題意可知所以兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|xy|2).7拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(AB).解析將事件AB分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)，P(D)，P(AB)P(CD)P(C)P(D).8已知函數(shù)f(x)2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，則該函數(shù)有兩個零點的概率為.解析要使函數(shù)f(x)2x24ax2b2有兩個零點，即方程x22axb20要有兩個實根，則4a24b2>0.又a4,6,8，b3,5,7，即a>b，而a，b的取法共有339種，其中滿足a>b的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8,5)，(8,7)，共6種，所以所求的概率為.9.(2018鄭州模擬)折紙已經(jīng)成為開發(fā)少年兒童智力的一大重要工具和手段已知在折疊“愛心”的過程中會產(chǎn)生如圖所示的幾何圖形，其中四邊形ABCD為正方形，G為線段BC的中點，四邊形AEFG與四邊形DGHI也為正方形，連接EB，CI，則向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為.解析設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則由題意，多邊形AEFGHID的面積為SAGFESDGHISADG()2()22212，陰影部分的面積為2224，所以向多邊形AEFGHID中投擲一點，該點落在陰影部分內(nèi)的概率為.10(2018永州三模)我國為確保貧困人口到2020年如期脫貧，把2017年列為“精準扶貧”攻堅年，2017年1月1日某貧困縣隨機抽取100戶貧困家庭的每戶人均收入數(shù)據(jù)做為樣本，以考核該縣2016年的“精準扶貧”成效(2016年貧困家庭脫貧的標準為人均收入不小于3000元)根據(jù)所得數(shù)據(jù)將人均收入(單位：千元)分成五個組：1,2)，2,3)，3,4)，4,5)，5,6，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(1)求頻率分布直方圖中a的值(2)如果被抽取的100戶貧困家庭有80%脫貧，則認為該縣“精準扶貧”的成效是理想的請從統(tǒng)計學(xué)的角度說明該縣的“精準扶貧”效果是理想還是不理想？(3)從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機抽取2戶，求至少有1戶人均收入在區(qū)間1,2)上的概率解析(1)由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，得：0.020.030.45a0.21，解得a0.3.(2)由頻率分布直方圖得人均收入超過3000元的頻率為：10.020.030.9595%>80%，所以從統(tǒng)計學(xué)的角度來說該縣的“精準扶貧”效果理想(3)戶人均收入小于3千元的貧困家庭中有(0.020.03)1005(戶)，其中人均收入在區(qū)間1,2)上有0.021002(戶)，人均收入在區(qū)間2,3)上有0.031003(戶)，從戶人均收入小于3千元的貧困家庭中隨機抽取2戶，基本事件總數(shù)n10，至少有1戶人均收入在區(qū)間1,2)上的對立事件是兩戶人均收入都在區(qū)間2,3)上，所以至少有1戶人均收入在區(qū)間1,2)上的概率：P1.B組1已知P是ABC所在平面內(nèi)一點，20，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在ABC內(nèi)，則黃豆落在PBC內(nèi)的概率是( C )A B C D解析如圖所示，取邊BC上的中點D，由20，得2.又2，故，即P為AD的中點，則SABC2SPBC，根據(jù)幾何概率的概率公式知，所求概率P，故選C2(2018濟南模擬)已知函數(shù)f(x)ax3bx2x，連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)分別是a，b，則函數(shù)f (x)在x1處取得最值的概率是( C )A B C D解析由題意得f (x)ax2bx1，因為f (x)在x1處取得最值，所以1，符合的點數(shù)(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3種情況又因為拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)(a，b)共有36種情況，所以所求概率為，故選C3在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“|xy|”的概率，p3為事件“xy”的概率，則( B )Ap1<p2<p3 Bp2<p3<p1Cp3<p1<p2 Dp3<p2<p1解析滿足條件的x，y構(gòu)成的點(x，y)在正方形OBCA及其邊界上事件“xy”對應(yīng)的圖形為圖所示的陰影部分；事件“|xy|”對應(yīng)的圖形為圖所示的陰影部分；事件“xy”對應(yīng)的圖形為圖所示的陰影部分對三者的面積進行比較，可得p2<p3<p1.4從區(qū)間0,1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率 的近似值為( C )A B C D解析由題意得：(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示的正方形中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知，所以.5為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( C )A B C D解析總的基本事件是：紅黃，白紫；紅白，黃紫；紅紫，黃白，共3種滿足條件的基本事件是：紅黃，白紫；紅白，黃紫，共2種故所求事件的概率為P.6曲線C的方程為1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數(shù)，事件A為“方程1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A).解析試驗中所含基本事件個數(shù)為36.若表示焦點在x軸上的橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，(6,5)，共1234515種情況，因此P(A).7將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.解析將骰子先后拋擲2次的點數(shù)記為(x，y)，則共有36個等可能基本事件，其中點數(shù)之和大于或等于10的基本事件有6種：(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)所以所求概率為.8(2018湖北武漢二月調(diào)考)如圖所示，莖葉圖記錄了甲、乙兩組5名工人制造某種零件的個數(shù).甲乙990899200101(1)求甲組工人制造零件的平均數(shù)和方差；(2)分別從甲、乙兩組中隨機選取一名工人，求這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率解析(1)甲組工人制造零件數(shù)為9,9,10,10,12，故甲組工人制造零件的平均數(shù)(99101012)10，方差為s2(910)2(910)2(1010)2(1010)2(1210)2.(2)由題意，得甲、乙兩組工人制造零件的個數(shù)分別是：甲：9,9,10,10,12；乙：8,9,9,10,11，甲組中5名工人分別記為a，b，c，d，e，乙組中5名工人分別記為A，B，C，D，E，分別從甲、乙兩組中隨機選取1名工人，共有25種方法，制造零件總數(shù)超過20的有：eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6種，故這兩名工人制造的零件總數(shù)不超過20的概率P1.9(2018天津卷，15)已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動()應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？()設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”，求事件M發(fā)生的概率解析()由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為322，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人()(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，A，D，A，E，A，F(xiàn)，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F(xiàn)，B，G，C，D，C，E，C，F(xiàn)，C，G，D，E，D，F(xiàn)，D，G，E，F(xiàn)，E，G，F(xiàn)，G，共21種(ii)由()，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取的2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為A，B，A，C，B，C，D，E，F(xiàn)，G，共5種所以，事件M發(fā)生的概率為P(M).