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1、圓周角的定理 教學(xué)目標(biāo) (一)知識與技能 1、理解圓周角的概念,掌握圓周角的兩個特征、定理的內(nèi)容及簡單應(yīng)用； 2、準(zhǔn)確地運用圓周角定理及其推論進行簡單的證明計算。 (二)過程與方法 1、通過觀察、比較、分析圓周角與圓心角的關(guān)系發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的能力。 2、通過觀察圖形，提高學(xué)生的識圖的能力 3、通過引導(dǎo)學(xué)生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣。 (三)情感與價值觀 1、經(jīng)過探索圓周角定理的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。 2、通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識主動探究，并能在探究中獲得成功的體驗。 教學(xué)重點 圓周角定理、圓周角定理的推導(dǎo)及運用它們解題． 教

2、學(xué)難點 1． 認(rèn)識圓周角定理需要分三種情況逐一證明的必要性。 2． 推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加 教學(xué)突破 讓學(xué)生學(xué)會分類討論、轉(zhuǎn)換化歸是教學(xué)突破的關(guān)鍵 教學(xué)準(zhǔn)備 教師準(zhǔn)備：制作課件，精選習(xí)題 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容，制作圓形紙片 教學(xué)過程 活動1： 創(chuàng)設(shè)情景，引入概念 師：課件（出示圓柱形海洋館圖片） 右圖是圓柱形海洋館的俯視圖．海洋館的前側(cè)延伸到海洋里，并用玻璃隔開，人們站在海洋館內(nèi)部，透過其中的圓弧形玻璃窗可以觀看到窗外的海洋動物． 如圖是圓柱形的海洋館橫截面的示意圖， 表示圓弧形玻璃窗．同學(xué)甲站在圓心O的位置，同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位

3、置C，丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E， 師：同學(xué)甲的視角∠AOB的頂點在圓心處，我們稱這樣的角為圓心角．同學(xué)乙的視角∠ACB、同學(xué)丙的視角∠ADB和同學(xué)丁的視角∠AEB不同于圓心角，是與圓有關(guān)的另一類角，我們稱這類角為圓周角． 師：提出問題 問題1：觀察∠ACB、∠ADB和∠AEB的邊和頂點與圓的位置有什么共同特點？ 問題2：∠ACB、∠ADB和∠AEB與∠AOB有什么區(qū)別？ 問題3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同點？ （教師引導(dǎo)學(xué)生進行探究，并關(guān)注以下問題） 1、 問題的出示是否引起學(xué)生的興趣 2、 學(xué)生是否理解示意圖 3、 學(xué)生是否理解圓周角的定義 4、 學(xué)

4、生是否清楚了要探究的數(shù)學(xué)問題 生：這三個角的共同點有兩個：①頂點都在圓周上；②兩邊都與圓相交． 師：評價并鼓勵學(xué)生的總結(jié)給出肯定，我們把頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． （教師板書圓周角定義，并強調(diào)定義的兩個要點，學(xué)生在學(xué)案上寫出圓周角的定義．） 設(shè)計意圖：從生活中的實例入手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析，抽象出圖形的共同屬性，得出圓周角定義，理解圓周角概念的本質(zhì)． 跟蹤練習(xí)：請同學(xué)們根據(jù)定義回答下面問題：在下列與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為什么？ （學(xué)生思考片刻之后，教師就每個圖形分別請一位學(xué)

5、生作答．） 設(shè)計意圖：為了使學(xué)生更加容易地掌握概念，此處教師并排地呈現(xiàn)正例和反例，可以有利于學(xué)生對本質(zhì)屬性與非本質(zhì)進行比較． 活動2：問題探究 探究同弧所對圓周角及圓周角與圓心角的關(guān)系 師：下面我們繼續(xù)研究海洋館的問題，設(shè)想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的位置供你選擇，你認(rèn)為在哪個位置看到的海洋景象范圍更廣一些？ 預(yù)設(shè)生：（會很肯定的說）當(dāng)然是同學(xué)甲的位置可以看到更廣的海洋范圍了． 師提出：你是如何知道的？ 預(yù)設(shè)生1：因為我發(fā)現(xiàn)∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大． 預(yù)設(shè)生2：因為發(fā)現(xiàn)在圓內(nèi)當(dāng)角的頂點距離弧越近角就越大 師提出：如果在乙、丙、丁三位同學(xué)的位置中選擇

6、，哪個位置看到的海洋范圍更廣一些？ 預(yù)設(shè)生：（看了圖形想了想）三個位置看到海洋范圍的大小應(yīng)該是一樣的． 師提出問題：1、弧AB所對的圓周角的個數(shù)有多少個？ 2、弧AB所對的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 預(yù)設(shè)生：有無數(shù)個，度數(shù)相等 師：你是怎么知道的？ 預(yù)設(shè)生：觀察猜到的。 師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有觀察、猜想但更重要的還要驗證。請同學(xué)們驗證你們的說法，并與同伴交流． 師提出問題：弧AB所對的圓周角與其所對的圓心角有什么關(guān)系？ （學(xué)生分組開始動手操作驗證：有的借助量角器，用度量的方法進行驗證；有的采用折疊重合的方法進行驗證……） 預(yù)設(shè)生：(興奮地驚叫著……)老師，我發(fā)現(xiàn)了：同學(xué)乙、丙、

7、丁的視角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同學(xué)甲的視角∠AOB比其他同學(xué)的視角都大，是它們的2倍! （其他同學(xué)也都興奮得不得了，教室里頓時一片歡騰） 設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、分析、驗證、交流等基本數(shù)學(xué)活動，探索圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實，初步體會兩種數(shù)量關(guān)系：①同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系；②同弧所對的圓周角的關(guān)系． 師：下面，老師用計算機進一步驗證我們剛才所得到的結(jié)論： （教師開始在計算機上進行驗證．） 首先采用《幾何畫板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，發(fā)現(xiàn)：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接著，采用計算功能，計算∠AC

8、B和∠AOB的比值，發(fā)現(xiàn)：∠ACB：∠AOB=1：2． 然后教師分別從以下幾個方面演示，讓學(xué)生觀察圓周角的度數(shù)是否發(fā)生改變，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系有無變化：①拖動圓周角的頂點使其在圓周上運動；②改變圓心角的度數(shù)；③改變圓的半徑大?。? 設(shè)計意圖：通過《幾何畫板》做進一步演示與驗證，用幾何動態(tài)的語言來研究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系． 師：既然這樣，我們請一位同學(xué)把所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語言表述一下． 預(yù)設(shè)生1：同弧所對的圓周角相等，并且都等于圓心角的一半． 預(yù)設(shè)生2：他的說法不準(zhǔn)確，應(yīng)該是：在同圓或等圓中

9、，同弧所對的圓周角相等，并且都等于這條弧所對的圓心角的一半．丟掉了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對的”這兩點． 師：前一位同學(xué)總結(jié)得很好，但后一位同學(xué)總結(jié)得更準(zhǔn)確，我們要學(xué)習(xí)他們這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度和精神． 設(shè)計意圖：把直觀操作與邏輯推理有機結(jié)合，使將要進行的推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)． 活動3：用分類討論的方法證明定理 師: 為了更好地說明結(jié)論的正確性,下面我們探究其論證方法．先請同學(xué)們在右圖的⊙O中盡可能多地畫所對的圓周角,并思考圓心與圓周角有哪幾種位置關(guān)系? （學(xué)生分組畫圖,每個小組總結(jié)所畫的圖形的情況，教師巡視,在同學(xué)們所畫的圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種

10、位置關(guān)系的例子,并在展示臺上演示．） 預(yù)設(shè)生1:圓心在圓周角的一邊上 預(yù)設(shè)生2,圓心在圓周角的內(nèi)部, 預(yù)設(shè)生3在圓周角的外部． 師:圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖） 第一種情況 第二種情況 第三種情況 師:在上述三種情況中我們先選擇其中的一種情況進行證明,選哪種情況,如何證明? （學(xué)生先獨立思考, 然后在同伴間悄悄交流自己的思路．） 預(yù)設(shè)生：選擇第一種情況進行證明，因為圓心在圓周角的一邊上，是最簡單的一種情況．因為圓心在圓周角的一邊上，所以AC是圓的直徑,由同圓半徑相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，根

11、據(jù)定理“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”可得，∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半． 師：證明得非常好，掌聲給予鼓勵！ 師：當(dāng)圓心在圓周角的一邊上的時候，圓周角∠ACB的邊AC部分就是⊙O的直徑，因此給證明思路的尋找?guī)砹瞬簧俜奖?，?dāng)圓心不在圓周角的邊上時，比如在角的內(nèi)部，沿CO對折⊙O，展開后你有什么發(fā)現(xiàn)？對該情況下命題的證明有哪些啟示？ （學(xué)生開始對折圓形紙片，觀察，分析，交流……） 預(yù)設(shè)生：由對折發(fā)現(xiàn)，可以轉(zhuǎn)化為第一種情況的證明，即，如果做過點C的直徑CD，那么，由(1)中的結(jié)論可知： ∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，兩

12、式相加即可得到∠ACB=∠AOB． 師：很好！請同學(xué)們在學(xué)案上寫出這種情況下的證明過程，之后完成最后一種情況的證明，同伴之間交流自己的證明思路． （各小組學(xué)生思考交流后一種情況的證明思路，完成證明過程．一名學(xué)生黑板上展示證明過程，教師做思路和規(guī)范性點評．） 設(shè)計意圖：在本段的教學(xué)中，注意突出圖形性質(zhì)的探究過程，重視學(xué)生主體地位的落實，通過觀察度量、實驗操作、圖形變換、合情推理來探索圖形的性質(zhì)，從而讓學(xué)生學(xué)會分析問題和解決問題的方法．另外，教學(xué)時盡可能地從數(shù)學(xué)語言的三種形態(tài)“文字語言、圖形語言、符號語言”進行描述，以強化對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)與理解，加強數(shù)學(xué)語言的運用與表達． 師：通過上面的證

13、明，我們得到：同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．其實，等弧的情況下該命題也是成立的，命題“同弧或等弧所對的圓周角相等”也是正確的，想一想為什么？ （教師板書） 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 活動4：鞏固練習(xí)，拓展性質(zhì) 1、如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4各內(nèi)角分成8個角，這些角中哪些是相等的角？ 2、如圖，點A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，則∠D=____，∠O=____． 3、如圖，等邊△ABC的頂點都在⊙O上，點D是⊙O上一點，則∠BDC=____．

14、 （學(xué)生獨立思考，交流，回答問題，教師通過學(xué)生練習(xí)，及時發(fā)現(xiàn)問題，評價教學(xué)效果．） 設(shè)計意圖：習(xí)題的作用是將基本知識技能化，通過技能的訓(xùn)練幫助學(xué)生理解基本知識．比如在第3題中，學(xué)生要求∠BDC，首先要根據(jù)定義判斷這個角是圓中的什么角？要求它的值應(yīng)該建立與哪個量的關(guān)系？（?。┙柚谶@個量又可以與誰相聯(lián)系？（∠A）通過這樣的轉(zhuǎn)化考察了學(xué)生對定理的理解和應(yīng)用，并使學(xué)生在從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形的訓(xùn)練中，培養(yǎng)空間識圖能力． 活動5：課堂小結(jié)，鞏固反思 師：問題：本節(jié)課你學(xué)到了什么知識？從中得到了什么啟發(fā)？ 預(yù)設(shè)生：我這節(jié)課學(xué)會了圓周角的定義和圓周角的定理，知道圓周角有兩個要點，同

15、弧對的圓周角式相等的關(guān)系，圓心角和圓周角是二倍的關(guān)系． 預(yù)設(shè)生：我通過這節(jié)課學(xué)會了從特殊到一般的解決問題的方法，知道分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 預(yù)設(shè)生：這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我感到很高興，因為我學(xué)到了好些解決問題的方法，更重要的是，老師的提問和鼓勵使我認(rèn)識到自己的能力，相信一定能學(xué)好這門課！ …… 師：同學(xué)們都反思總結(jié)得很好，真誠希望在今后的學(xué)習(xí)中能一如既往地養(yǎng)成勤反思多總結(jié)的好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使我們的學(xué)習(xí)成績更上一層樓． 布置作業(yè)：P87頁2、3題，習(xí)題24．1第4、5、12題．? 設(shè)計意圖：通過小結(jié)使學(xué)生歸納、梳理總結(jié)本節(jié)的知識、技能、方法，將本課所學(xué)的知識與以前所學(xué)的知識進行緊密聯(lián)結(jié)，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力和對數(shù)學(xué)的積極情感． 7 學(xué)習(xí)是一件快樂的事情，大家下載后可以自行修改