回扣驗收特訓（三） 空間向量與立體幾何1已知ab(2，2)，ab(0，0)，則cosa，b()ABC D解析：選C由已知，得a(1，)，b(1,0，)，cosa，b2已知直線l過定點A(2,3,1)，且n(0,1,1)為直線l的一個方向向量，則點P(4,3,2)到直線l的距離為()A BC D解析：選A(2,0，1)，|，則點P到直線l的距離為 3如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則()A2 B2C1 D1解析：選C()2cos，2cos(18060)2cos 12021故選C4如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱AA1底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，ACB90，側棱AA12，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G則A1B與平面ABD所成角的正弦值為()A BC D解析：選A以C為坐標原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，CC1所在的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖所示設CACBa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2，(2，2,2)，平面ABD，為平面ABD的一個法向量又cos，A1B與平面ABD所成角的正弦值為5如圖，已知矩形ABCD與矩形ABEF全等，二面角DABE為直二面角，M為AB的中點，F(xiàn)M與BD所成的角為，且cos ，則()A1 BC D解析：選C建立如圖所示空間直角坐標系，設AB1，BC，則F(，0,0)，M，B(0,1,0)，D(0,0，)，(0，1，)cos ，解得，所以6如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為正三角形，且側棱AA1底面ABC，且底面邊長與側棱長都等于2，O，O1分別為AC，A1C1的中點，則平面AB1O1與平面BC1O間的距離為()A BC D解析：選B如圖，連接OO1，根據(jù)題意，OO1底面ABC，則以O為原點，分別以OB，OC，OO1所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO，平面AB1O1平面BC1O平面AB1O1與平面BC1O間的距離即為O1到平面BC1O的距離O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，設n(x，y，z)為平面BC1O的法向量，則n0，x0又n0，y2z0，可取n(0,2，1)點O1到平面BC1O的距離記為d，則d平面AB1O1與平面BC1O間的距離為7如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為_解析：不妨設CB1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，答案：8如圖，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQQD，則a的值等于_解析：如圖，建立空間直角坐標系Axyz，則D(0，a,0)設Q(1，t,0)(0ta)P(0,0，z)則(1，t，z)，(1，at,0)由PQQD，得1t(at)0，即t2at10由題意知方程t2at10只一解a240，a2，這時t10，a答案：29在正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，則(1,0,1)，(1,0，1)，(1，1,0)設平面A1BD的一個法向量為n(x，y，z)，則即所以可取n(1，1，1)，同理可求得平面BC1D的一個法向量為m(1，1,1)，則cosm，n，所以二面角A1BDC1的余弦值為答案：10如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2，4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因為cos，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為(2)設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面ABA1的一個法向量為n2(0,1,0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為由|cos |，得sin 因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為11如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，點M，N分別為AB和BC的中點(1)證明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC為直二面角，求的值解：(1)證明：連接AB，AC，則AB與AB交于點M，所以M為AB的中點又N為BC的中點，所以MNAC又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC(2)以A為坐標原點，分別以直線AB，AC，AA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Axyz，如圖所示設AA1，則ABAC，于是A(0,0,0)，B(，0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，B(，0,1)，C(0，1)，所以M，N故，設m(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量，由得可取m(1，1，)設n(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量，由得可取n(3，1，)因為AMNC為直二面角，所以mn0即3(1)(1)20，解得12四面體ABCD及其三視圖如圖所示，過棱AB的中點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H(1)證明：四邊形EFGH是矩形；(2)求直線AB與平面EFGH夾角的正弦值解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1由題設，知BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，F(xiàn)GEH同理EFAD，HGAD，EFHG，四邊形EFGH是平行四邊形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四邊形EFGH是矩形(2)法一：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)設平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，F(xiàn)GBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|法二：如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中點，F(xiàn)，G分別為BD，DC的中點，得E，F(xiàn)(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)設平面EFGH的法向量n(x，y，z)，則n0，n0，得取n(1,1,0)sin |cos，n|