第二課時導數(shù)的運算法則預習課本P1518，思考并完成下列問題(1)導數(shù)的四則運算法則是什么？在使用運算法則時的前提條件是什么？(2)復合函數(shù)的定義是什么，它的求導法則又是什么？1導數(shù)的四則運算法則(1)條件：f(x)，g(x)是可導的(2)結(jié)論：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x)0)點睛應用導數(shù)公式的注意事項(1)兩個導數(shù)的和差運算只可推廣到有限個函數(shù)的和差的導數(shù)運算(2)兩個函數(shù)可導，則它們的和、差、積、商(商的分母不為零)必可導(3)若兩個函數(shù)不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導(4)對于較復雜的函數(shù)式，應先進行適當?shù)幕喿冃?，化為較簡單的函數(shù)式后再求導，可簡化求導過程2復合函數(shù)的求導公式(1)復合函數(shù)的定義：一般形式是yf(g(x)可分解為yf(u)與ug(x)，其中u稱為中間變量(2)求導法則：復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關(guān)系為：yxyuux.1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)f(x)2x，則f(x)x2.()(2)函數(shù)f(x)xex的導數(shù)是f(x)ex(x1)()(3)函數(shù)f(x)sin(x)的導數(shù)為f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)2函數(shù)ysin xcos x的導數(shù)是()Aycos 2xsin 2xBycos 2xCy2cos xsin x Dycos xsin x答案：B3函數(shù)yxcos xsin x的導數(shù)為_答案：xsin x 4若f(x)(2xa)2，且f(2)20，則a_.答案：1利用導數(shù)四則運算法則求導典例求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2log3x；(2)yx3ex；(3)y.解 (1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exex(x33x2)(3)y.求函數(shù)的導數(shù)的策略(1)先區(qū)分函數(shù)的運算特點，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據(jù)導數(shù)的運算法則求導數(shù)(2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算活學活用求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)ysin x2x2；(2)ycos xln x；(3)y.解：(1)y(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x.(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(3)y.復合函數(shù)的導數(shù)運算典例求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y；(2)yesin(axb)；(3)ysin2；(4)y5log2(2x1)解(1)設(shè)yu，u12x2，則y(u)(12x2)(4x)(12x2) (4x)2x(12x2) .(2)設(shè)yeu，usin v，vaxb，則yxyuuvvxeucos vaacos(axb)esin(axb)(3)設(shè)yu2，usin v，v2x，則yxyuuvvx2ucos v24sin vcos v2sin 2v2sin.(4)設(shè)y5log2u，u2x1，則y5(log2u)(2x1).1求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟2求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)(2)求每層函數(shù)的導數(shù)時注意分清是對哪個變量求導，這是求復合函數(shù)導數(shù)時的易錯點活學活用 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y(3x2)2；(2)yln(6x4)；(3)ye2x1；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.解：(1)y2(3x2)(3x2)18x12；(2)y(6x4)；(3)ye2x1(2x1)2e2x1；(4)y(2x1) .(5)ycos3cos.(6)y2cos x(cos x)2cos xsin xsin 2x.與切線有關(guān)的綜合問題典例(1)函數(shù)y2cos2x在x處的切線斜率為_(2)已知函數(shù)f(x)ax2ln x的導數(shù)為f(x)，求f(1)f(1)若曲線yf(x)存在垂直于y軸的切線，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)由函數(shù)y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函數(shù)在x處的切線斜率為2sin1.答案：1(2)解：由題意，函數(shù)的定義域為(0，)，由f(x)ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.因為曲線yf(x)存在垂直于y軸的切線，故此時切線斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為在x(0，)內(nèi)導函數(shù)f(x)2ax存在零點，即f(x)02ax0有正實數(shù)解，即2ax21有正實數(shù)解，故有a<0，所以實數(shù)a的取值范圍是(，0)關(guān)于函數(shù)導數(shù)的應用及其解決方法(1)應用：導數(shù)應用主要有：求在某點處的切線方程，已知切線的方程或斜率求切點，以及涉及切線問題的綜合應用(2)方法：先求出函數(shù)的導數(shù)，若已知切點則求出切線斜率、切線方程若切點未知，則先設(shè)出切點，用切點表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點坐標總之，切點在解決此類問題時起著至關(guān)重要的作用活學活用若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a的值為()A1或B1或C或 D或7解析：選A設(shè)過點(1,0)的直線與曲線yx3相切于點(x0，x)，則切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x.又點(1,0)在切線上，代入以上方程得x00或x0.當x00時，直線方程為y0.由y0與yax2x9相切可得a.當x0時，直線方程為yx.由yx與yax2x9相切可得a1.層級一學業(yè)水平達標1已知函數(shù)f(x)ax2c，且f(1)2，則a的值為()A1B.C1 D0解析：選Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2函數(shù)y(x1)2(x1)在x1處的導數(shù)等于()A1 B2C3 D4解析：選Dy(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，y|x14.3曲線f(x)xln x在點x1處的切線方程為()Ay2x2 By2x2Cyx1 Dyx1解析：選Cf(x)ln x1，f(1)1，又f(1)0，在點x1處曲線f(x)的切線方程為yx1.4. 已知物體的運動方程為st2(t是時間，s是位移)，則物體在時刻t2時的速度為()A. B.C. D.解析：選Ds2t，s|t24.5設(shè)曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a()A0 B1C2 D3解析：選Dya，由題意得y|x02，即a12，所以a3.6曲線yx3x3在點(1,3)處的切線方程為_解析：y3x21，y|x131212.切線方程為y32(x1)，即2xy10.答案：2xy107已知曲線y12與y2x3x22x在xx0處切線的斜率的乘積為3，則x0_.解析：由題知y1，y23x22x2，所以兩曲線在xx0處切線的斜率分別為，3x2x02，所以3，所以x01.答案：18已知函數(shù)f(x)fcos xsin x，則f的值為_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：19求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yxsin2x；(2)y；(3)y；(4)ycos xsin 3x.解：(1)y(x)sin2xx(sin2x)sin2xx2sin x(sin x)sin2xxsin 2x.(2)y .(3)y.(4)y(cos xsin 3x)(cos x)sin 3xcos x(sin 3x)sin xsin 3x3cos xcos 3x3cos xcos 3xsin xsin 3x.10偶函數(shù)f(x)ax4bx3cx2dxe的圖象過點P(0,1)，且在x1處的切線方程為yx2，求f(x)的解析式解：f(x)的圖象過點P(0,1)，e1.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函數(shù)f(x)在x1處的切線方程為yx2，切點為(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x4x21.層級二應試能力達標1若函數(shù)f(x)ax4bx2c滿足f(1)2，則f(1)等于()A1B2C2 D0解析：選Bf(x)4ax32bx為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.2曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率等于()A2e BeC2 D1解析：選C函數(shù)的導數(shù)為f(x)ex1xex1(1x)ex1，當x1時，f(1)2，即曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率kf(1)2，故選C.3已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，且滿足f(x)2xf(e)ln x，則f(e)()Ae1 B1Ce1 De解析：選Cf(x)2xf(e)ln x，f(x)2f(e)，f(e)2f(e)，解得f(e)，故選C.4若曲線f(x)x4x在點P處的切線平行于直線3xy0，則點P的坐標為()A(1,2) B(1，3)C(1,0) D(1,5)解析：選C設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，因為f(x)4x31，所以f(x0)4x13，即x01，把x01代入函數(shù)f(x)x4x得y00，所以點P的坐標為(1,0)5已知直線y2x1與曲線yln(xa)相切，則a的值為_解析：yln(xa)，y，設(shè)切點為(x0，y0)，則y02x01，y0ln(x0a)，且2，解之得aln 2.答案：ln 26曲線y在點(1,1)處的切線為l，則l上的點到圓x2y24x30上的點的最近距離是_解析：y，則y1，切線方程為y1(x1)，即xy20，圓心(2,0)到直線的距離d2，圓的半徑r1，所求最近距離為21.答案：217已知曲線f(x)x3axb在點P(2，6)處的切線方程是13xy320.(1)求a，b的值；(2)如果曲線yf(x)的某一切線與直線l：yx3垂直，求切點坐標與切線的方程解：(1)f(x)x3axb的導數(shù)f(x)3x2a，由題意可得f(2)12a13，f(2)82ab6，解得a1，b16.(2)切線與直線yx3垂直，切線的斜率k4.設(shè)切點的坐標為(x0，y0)，則f(x0)3x14，x01.由f(x)x3x16，可得y0111614，或y0111618.則切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.8設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2.(1)求fn(2)；(2)證明：fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為an)，且0an.解：(1)由題設(shè)fn(x)12xnxn1.所以fn(2)122(n1)2n2n2n1，則2fn(2)2222(n1)2n1n2n，得，fn(2)12222n1n2nn2n(1n)2n1，所以fn(2)(n1)2n1.(2)因為f(0)10，fn112n1220，因為x0，n2.所以fn(x)xx2xn1為增函數(shù)，所以fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，因此fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點an.由于fn(x)1，所以0fn(an)1，由此可得ana，故an.所以0anan1.