解答題滾動練41已知ABC中，若角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，滿足a4cosC0，b1.(1)若ABC的面積為，求a；(2)若A，求ABC的面積解(1)由SabsinCasinC，得asinC，即sin C.又a4cos C，那么216cos2C16(1sin2C)16，即a414a2490，得到a27，即a.(2)由題意有a4cos C及余弦定理cosC，則a4，即a21c2，又由b2c2a22bccos A，可知c2a21c，由得到c23c60，亦即0，可知c或c2.經(jīng)檢驗知，c或c2均符合題意那么ABC的面積為SbcsinA或 .2已知菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于一點O，A60，將BDC沿著BD折起得BDC，連接AC.(1)求證：平面AOC平面ABD；(2)若點C在平面ABD上的投影恰好是ABD的重心，求直線CD與平面ADC所成角的正弦值(1)證明因為COBD，AOBD，COAOO，所以BD平面COA，又因為BD平面ABD，所以平面AOC平面ABD.(2)解方法一設C在平面ABD上的投影為H，即CH平面ABD，過點H作HPCD交AD于點P，過點H作HKAD于點K，連接CK，并過H作HQCK于點Q，因為CH平面ABD，即ADCH，且有HKAD，HKCHH，HK，CH平面KCH，所以AD平面KCH，又QH平面KCH，所以ADQH，又因為HQCK，且ADCKK，AD，CK平面ADC，故HQ平面ADC，從而知HPQ是PH與平面ADC所成的角，設ABa，則在RtHPQ中有PH，HQa，所以sinHPQ，所以PH與平面ADC所成角的正弦值為，故CD與平面ADC所成角的正弦值為.方法二如圖，以點O為坐標原點，OA，OB所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系令ABa，則A，B，D，C，設平面ADC的法向量為m(x，y，z)，由yx，zx，可取m，cos，m，故CD與平面ADC所成角的正弦值為.3已知橢圓C：1(a>b>0)的焦距與橢圓：x21的短軸長相等，且C與的長軸長相等(1)求橢圓C的方程；(2)設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個不同的點A，B，如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求AOB的面積的最大值解(1)由題意可得故橢圓C的方程為1.(2)設直線l的方程為ykxm，代入橢圓方程1，整理得(34k2)x28kmx4m2120，由(8km)24(34k2)(4m212)>0，得m2<4k23.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因為F1(1,0)，所以kAF1，kBF1.因為2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0，因為直線AB：ykxm不過焦點F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，從而x1x22，即m.由得2<34k2，化簡得k2>.過O點作直線AB的垂線，垂足為M，則|OM|，|AB|x1x2|，AOB的面積SAOB|OM|AB|m|，當且僅當k2時等號成立，滿足>0，故AOB的面積的最大值為.4已知函數(shù)f(x).(1)若曲線f(x)在x2處的切線過原點，求實數(shù)a的值；(2)若1<a<2，證明：當x(a，a1)時，f(x)>x3x2.參考數(shù)據(jù)：e2.7.(1)解因為f(x)，所以f(x).由題意知，曲線yf(x)在x2處的切線過原點，則切線斜率kf(2)，即，整理得1，所以a1.(2)證明由1<a<2，且x(a，a1)，得x>0，所以f(x)>x3x2等價于x2x>0.設g(x)x2x，則g(x)2x1.由x>0且a<x<a1，可知g(x)<0，所以g(x)在(a，a1)上單調(diào)遞減，所以當x(a，a1)時，g(x)>ea+1(a1)(a2)設ta1，則t(2,3)設h(t)ett(t1)，則h(t)et2t1，設(t)et2t1，則(t)et2，易知當t(2,3)時，(t)>0，所以h(t)在(2,3)上單調(diào)遞增，所以h(t)et2t1>e2221>0，所以h(t)在(2,3)上單調(diào)遞增，所以h(t)>e26>0，所以ett(t1)>0，即ea+1(a1)(a2)>0，所以當x(a，a1)時，g(x)>0，即當x(a，a1)時，f(x)>x3x2.