6個(gè)解答題綜合仿真練(二)1.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA1，M，N分別是AC，B1C1的中點(diǎn)求證：(1)MN平面ABB1A1；(2)ANA1B.證明：(1)如圖，取AB的中點(diǎn)P，連接PM，PB1.因?yàn)镸，P分別是AC，AB的中點(diǎn)，所以PMBC，且PMBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，又N是B1C1的中點(diǎn)，所以PMB1N，且PMB1N.所以四邊形PMNB1是平行四邊形，所以MNPB1，又MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.(2)因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1為直三棱柱，所以平面ABB1A1平面A1B1C1.因?yàn)锳1B1C1ABC90，所以B1C1B1A1.因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1.又A1B平面ABB1A1，所以B1C1A1B，即NB1A1B.連接AB1，因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B，又NB1AB1B1，所以A1B平面AB1N，因?yàn)锳N平面AB1N，所以ANA1B.2已知ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求角C的大小；(2)若ABC的面積為2，ab6，求c.解：(1)由已知可得m(cos B，cos C)，n(c，b2a)，mn0，ccos B(b2a)cos C0，sin Ccos B(sin B2sin A)cos C0，即sin A2sin Acos C，sin A0，cos C，又C(0，)，C.(2)SABCabsin C2，ab8，又c2a2b22abcos C，即(ab)23abc2，c212，故c2.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點(diǎn)為A.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)D(，)作直線(xiàn)PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，求證：直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為定值解：(1)由已知得c1，又e，則a，b2a2c21，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)證明：設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為yk(x)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，所以x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2k2，又A(，0)，所以kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1) x2k(x2) x12kx1x2(k)(x1x2)，故kAPkAQ1，所以直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為定值1.4.如圖所示，某公路AB一側(cè)有一塊空地OAB，其中OA3 km，OB3km，AOB90.當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開(kāi)挖一個(gè)人工湖OMN，其中M，N都在邊AB上(M，N不與A，B重合，M在A，N之間)，且MON30.(1)若M在距離A點(diǎn)2 km處，求點(diǎn)M，N之間的距離；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖OMN的面積要盡可能小試確定M的位置，使OMN的面積最小，并求出最小面積解：(1)在OAB中，因?yàn)镺A3，OB3，AOB90，所以O(shè)AB60.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos A7，所以O(shè)M，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON)sin(AOM90)cosAOM.在OMN中，由，得MN.(2)法一：設(shè)AMx,0x3.在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcos Ax23x9，所以O(shè)M，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON)sin(AOM90)cosAOM.由，得ON.所以SOMNOMONsinMON，0x3.令6xt，則x6t,3t6，則SOMN.當(dāng)且僅當(dāng)t，即t3，x63時(shí)等號(hào)成立，SOMN的最小值為.所以M的位置為距離A點(diǎn)63km處，可使OMN的面積最小，最小面積是km2.法二：設(shè)AOM，0，在OAM中，由，得OM在OAN中，由，得ON.所以SOMNOMONsinMON，0.當(dāng)26090，即15時(shí)，SOMN的最小值為.所以應(yīng)設(shè)計(jì)AOM15，可使OMN的面積最小，最小面積是km2.5已知數(shù)列ai共有m(m3)項(xiàng)，該數(shù)列前i項(xiàng)和為Si，記ri2SiSm(im，iN*). (1)當(dāng)m10時(shí)，若數(shù)列ai的通項(xiàng)公式為ai2i1，求數(shù)列ri的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列ri的通項(xiàng)公式為ri2i(im，iN*)，求數(shù)列ai的通項(xiàng)公式；數(shù)列ai中是否存在不同的三項(xiàng)按一定次序排列構(gòu)成等差數(shù)列，若存在求出所有的項(xiàng)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)镾iii22i, 所以由題意得ri2SiS102i24i120(i10，iN*). (2)因?yàn)閞i2SiSm2i，ri12Si1Sm2i1，兩式相減得ai12i1，所以數(shù)列ai從第2項(xiàng)開(kāi)始是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即ai2i2(2im，iN*)又2a12Sm，即a12(a2a3am)22m11.所以數(shù)列ai的通項(xiàng)公式為ai數(shù)列ai中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列，理由如下： 因?yàn)閿?shù)列ai從第2項(xiàng)開(kāi)始是以2為公比的等比數(shù)列，所以若存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)為ap，aq，ar(2p<q<rm，p，q，rN*)，則有2aqapar，即22q22p22r2,2qp112rp.因?yàn)閝p1N*，rpN*，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，此時(shí)無(wú)解所以數(shù)列ai從第2項(xiàng)至第m項(xiàng)中不可能存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列， 所以若數(shù)列ai中存在三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，則只能是a1和第2項(xiàng)至第m項(xiàng)中的兩項(xiàng)，不妨設(shè)為ap，aq(2p<qm，pN*，qN*)因?yàn)?<ap<aqam<a1.所以ap，aq，a1若構(gòu)成等差數(shù)列，只能是aq為等差中項(xiàng)， 故有22q22p2(2m11)，因?yàn)樽筮?q12m1，右邊>2m1，所以該情況下也無(wú)解因此，數(shù)列ai中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列6設(shè)函數(shù)f(x)2aln x(1a)x2bx(a1)，曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)與x軸平行(1)求b的值；(2)當(dāng)a時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在x1使得f(x)<成立，求a的取值范圍解：(1)f(x)2(1a)xb，由題設(shè)知f(1)2a2(1a)b0，解得b2. (2)f(x)的定義域?yàn)?0，)，由(1)知，f(x)2aln x(1a)x22x，f(x).由f(x)0，解得x1或x.因?yàn)閍，所以1a>0，1.當(dāng)0，即a0時(shí)，x(0,1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；x1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)0<<1，即0<a<時(shí)，x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；x1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增當(dāng)1，即a時(shí)，x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1，)；當(dāng)0<a<時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，1，)；當(dāng)a時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間. (3)若a，由(2)知f(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以存在x1使得f(x)<成立的充要條件為f(1)<，即a1<，解得1a1. 若a1，則1，故當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以存在x1使得f(x)<成立的充要條件為f<.而f2aln>，所以不符合題意若a1，因?yàn)榇嬖趚1，即f(1)a1<成立所以a1適合題意綜上，a的取值范圍是(1，1)(1，)