4.2.2導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱要求】 熟練利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)?！局R(shí)梳理】1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f(x)>0或f(x)<0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間2求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)解方程f (x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值3求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b內(nèi)的最大值與最小值(1)確定函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)；(2)求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；(3)求函數(shù)f(x)在a，b端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)；(4)比較函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)的大小，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值4生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路： 5利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值問題時(shí)應(yīng)注意的問題(1)在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去；(2)在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值；(3)在解決實(shí)際問題中的優(yōu)化問題時(shí)，不僅要注意將問題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系式表示出來，還應(yīng)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間【基礎(chǔ)自測(cè)】1.(課本改編題)函數(shù)f(x)ax3x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是_(，0)_2(課本精選題)如圖，水波的半徑以50 cm/s的速度向外 擴(kuò)張，當(dāng)半徑為250 cm時(shí)，水波面的圓面積的膨脹率是_25 000_ cm2/s.3若函數(shù)f(x)xasin x在R上遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_1,1_4已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx381x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為( C ) A13萬件 B11萬件C9萬件 D7萬件5. 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)yf(x)的圖像如圖所示，且f(2)1，f(3)1，則不等式f(x26)>1的解集為(A)A(3，2)(2,3)B(，)C(2,3)D(，)(，)【例題精析】題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程根的方法例1已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍解(1)f(x)3x23a3(x2a)，當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)xR，有f(x)>0，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)>0，解得x<或x>.由f(x)<0，解得<x<，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，(，)，單調(diào)減區(qū)間為(，)(2)f(x)在x1處取得極值，f(1)3(1)23a0，a1.f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.直線ym與函數(shù)yf(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f(x)的圖像可知：實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,1)探究提高(1)對(duì)于該問題的求解，一般利用研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖像的交點(diǎn)情況，建立含參數(shù)的方程組(或不等式)求之，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一(2)本題常見的錯(cuò)誤是不能把函數(shù)的極值與圖像交點(diǎn)聯(lián)系起來，缺乏轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的意識(shí)變式訓(xùn)練1 已知函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對(duì)任意xR，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)(2)a>或a<2題型二利用函數(shù)研究恒成立及參數(shù)求解問題例2已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若a>0，試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)若f(x)在1，e上的最小值為，求a的值；(3)若f(x)<x2在(1，)上恒成立，求a的取值范圍解(1)由題意f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x).a>0，f(x)>0，故f(x)在(0，)上是單調(diào)遞增函數(shù)(2)由(1)可知，f(x).若a1，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為增函數(shù)，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，則xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此時(shí)f(x)在1，e上為減函數(shù)，f(x)minf(e)1，a(舍去)若e<a<1，令f(x)0得xa，當(dāng)1<x<a時(shí)，f(x)<0，f(x)在(1，a)上為減函數(shù)；當(dāng)a<x<e時(shí)，f(x)>0，f(x)在(a，e)上為增函數(shù)，f(x)minf(a)ln(a)1，a.綜上所述，a.(3)f(x)<x2，ln x<x2.又x>0，a>xln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x.x(1，)時(shí)，h(x)<0，h(x)在(1，)上是減函數(shù)h(x)<h(1)2<0，即g(x)<0，g(x)在(1，)上也是減函數(shù)g(x)<g(1)1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)<x2在(1，)上恒成立探究提高(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，直接求導(dǎo)，然后解不等式即可，注意函數(shù)的定義域(2)參數(shù)問題涉及的有最值恒成立的問題、單調(diào)性的逆向應(yīng)用等，求解時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用變式訓(xùn)練2 設(shè)f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；(2)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；(3)如果對(duì)任意的s，t都有f(s)g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)xln x，f(x)ln x1，f(1)2，f(1)1，故y2(x1)所以曲線yf(x)在x1處的切線方程為xy30.(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等價(jià)于：g(x1)g(x2)maxM，g(x)x3x23，g(x)3x22x3x，x02g(x)0g(x)3遞減極(最)小值遞增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以滿足條件的最大整數(shù)M4.(3)對(duì)任意的s，t，都有f(s)g(t)成立等價(jià)于：在區(qū)間上，函數(shù)f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，由(2)知，在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)1.f(x)min1.又f(1)a，a1.下面證當(dāng)a1時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)f(x)1成立當(dāng)a1且x時(shí)，f(x)xln xxln x，記h(x)xln x，h(x)ln x1，h(1)0，當(dāng)x時(shí)，h(x)ln x1<0；當(dāng)x(1,2時(shí)，h(x)ln x1>0，所以函數(shù)h(x)xln x在區(qū)間上遞減，在區(qū)間(1,2上遞增，h(x)minh(1)1，即h(x)1，所以當(dāng)a1且x時(shí)，f(x)1成立，即對(duì)任意s，t都有f(s)g(t)題型三利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題例3為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) (0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x).再由C(0)8，得k40，因此C(x).又建造費(fèi)用為C1(x)6x.最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)20C(x)C1(x)206x6x (0x10)(2)f(x)6，令f(x)0，即6.解得x5，x(舍去)當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f(x)>0，故x5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)6570.當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元變式訓(xùn)練3 (2011福建)某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤最大解：(1)a2(2)x4