模塊綜合檢測(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知復(fù)數(shù)z12i，z21i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限B第三象限C第二象限 D第四象限解析：選D，對應(yīng)點(diǎn)在第四象限2函數(shù)yxsin x，x的最大值是()A1 B.1C D1解析：選Cy1cos x0，所以yxsin x在上為增函數(shù)當(dāng)x時(shí)，ymax.3使不等式成立的條件是()Aab BabCab，且ab0 Dab，且ab0解析：選D欲使成立，需使0，即0，結(jié)合選項(xiàng)可知選D.4設(shè)函數(shù)f(x)ln x，則()Ax為f(x)的極大值點(diǎn)Bx為f(x)的極小值點(diǎn)Cx2為f(x)的極大值點(diǎn)Dx2為f(x)的極小值點(diǎn)解析：選D函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以x2為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)5.函數(shù)f(x)ax3bx2cxd的圖象如圖，則函數(shù)yax2bx的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2 B.C2,3 D.解析：選D由題圖可知d0.不妨取a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由圖可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x. 當(dāng)x時(shí)，y0，yx2x6的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.6設(shè)曲線ysin x上任一點(diǎn)(x，y)處切線的斜率為g(x)，則函數(shù)yx2g(x)的部分圖象可以為()解析：選C根據(jù)題意得g(x)cos x，yx2g(x)x2cos x為偶函數(shù)又x0時(shí)，y0，故選C.7設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)x2f(2)3x，則f(1)與f(1)的大小關(guān)系是()Af(1)f(1) Bf(1)>f(1)Cf(1)<f(1) D不確定解析：選B因?yàn)閒(x)x2f(2)3x，所以f(x)2xf(2)3，則f(2)4f(2)3，解得f(2)1，所以f(x)x23x，所以f(1)2，f(1)4，故f(1)>f(1). 8若不等式2xln xx2ax3對x(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：選B由2xln xx2ax3，得a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x0)，則h(x).當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范圍是(，4二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分請把正確答案填在題中橫線上)9用反證法證明某命題時(shí)，對結(jié)論“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為_答案：a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)10設(shè)f(x)xln x，則f(1)_，若f(x0)2，則x0的值為_解析：由f(x)xln x，得f(x)ln x1，f(1)1；根據(jù)題意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.答案：1e11已知z1i，則|z|_，_.解析：|z|，2i.答案：2i12若f(x)x22x4ln x，則f(x)0的解集為_，單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：f(x)2x20，即0.x0，(x2)(x1)0.x2.由f(x)0，解得(0,2)答案：(2，)(0,2)13某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8 300170pp2，則該商品零售價(jià)定為_元時(shí)利潤最大，利潤的最大值為_元解析：設(shè)商場銷售該商品所獲利潤為y元，則y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，則y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p30或p130(舍去)則p，y，y變化關(guān)系如下表：p(20,30)30(30，)y0y極大值故當(dāng)p30時(shí)，y取極大值為23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一個(gè)極值，故也是最值所以該商品零售價(jià)定為每件30元，所獲利潤最大為23 000元答案：3023 00014用數(shù)學(xué)歸納法證明“1n(nN*，n1)”時(shí)，由nk(kN*，k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是_解析：令f(n)1，f(k1)1，因此應(yīng)增加的項(xiàng)為，共2k項(xiàng)答案：2k15函數(shù)yln x(x0)的圖象與直線yxa相切，則a_.解析：y(ln x)(x0)，又yln x的圖象與直線yxa相切，x2，因此，切點(diǎn)P(2，ln 2)在直線yxa上，ln 21a，aln 21.答案：ln 21三、解答題(本大題共5小題，共74分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知abc，求證：.證明：已知abc，因?yàn)?224，所以4，即.17(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)f(x)x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)當(dāng)m1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解：(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的斜率為1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因?yàn)閙0，所以1m1m.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)極小值極大值所以f(x)在(，1m)，(1m，)內(nèi)是減函數(shù)，在(1m,1m)內(nèi)是增函數(shù)函數(shù)f(x)在x1m處取得極小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函數(shù)f(x)在x1m處取得極大值f(1m)，且f(1m)m3m2.18(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f>2a2等價(jià)于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此a的取值范圍是(0,1)19(本小題滿分15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn1，且an0，nN*.(1)求a1，a2，a3；(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)a1S11，所以a11.又因?yàn)閍n0，所以a11.S2a1a21，所以a2.S3a1a2a31，所以a3.(2)由(1)猜想an，nN*.下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：當(dāng)n1時(shí)，由(1)知a11成立假設(shè)nk(kN*)時(shí)，ak成立當(dāng)nk1時(shí)，ak1Sk1Sk，所以a2ak120，所以ak1，即當(dāng)nk1時(shí)猜想也成立綜上可知，猜想對一切nN*都成立20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)ex2x23x.(1)求證：函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一的極值點(diǎn)(2)當(dāng)x時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)證明：f(x)ex4x3，f(0)e032<0，f(1)e1>0，f(0)f(1)<0.令h(x)f(x)ex4x3，則h(x)ex4>0，f(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一零點(diǎn)，f(x)在區(qū)間0,1上存在唯一的極小值點(diǎn)(2)由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，則g(x).令(x)ex(x1)x21，則(x)x(ex1)x，(x)>0.(x)在上單調(diào)遞增(x)>0.因此g(x)>0，故g(x)在上單調(diào)遞增，則g(x)g2，a的取值范圍是.