第11章 算法復(fù)數(shù)推理與證明 第4講A組基礎(chǔ)關(guān)1用反證法證明命題“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A三個(gè)內(nèi)角都不大于60B三個(gè)內(nèi)角都大于60C三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60答案B解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故應(yīng)假設(shè)“三個(gè)內(nèi)角都大于60”2若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證：<a”索的“因”應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0答案C解析<ab2ac<3a2(ac)2ac<3a2a22acc2ac3a2<02a2acc2<02a2acc2>0(ac)(2ac)>0(ac)(ab)>0.故選C.3(2019濟(jì)寧模擬)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：ab>1；ab2；ab>2；a2b2>2；ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是()A BC D答案C解析對(duì)于，當(dāng)a0.7<1，b0.9<1時(shí)，ab1.6>1，故不能推出a，b中至少有一個(gè)大于1；對(duì)于，當(dāng)ab1時(shí)，ab2，故不能推出a，b中至少有一個(gè)大于1；對(duì)于，假設(shè)a1，且b1，則ab2與ab2矛盾，由此可得假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個(gè)大于1；對(duì)于，當(dāng)ab21時(shí)，a2b282，故不能推出a，b中至少有一個(gè)大于1；對(duì)于，當(dāng)ab2<1時(shí)，ab4>1，故不能推出a，b中至少有一個(gè)大于1.綜上所述，可推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是.4(2018鄭州模擬)設(shè)x>0，P2x2x，Q(sinxcosx)2，則()AP>Q BP<Q CPQ DPQ答案A解析因?yàn)?x2x22(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，而x>0，所以P>2；又(sinxcosx)21sin2x，而sin2x1，所以Q2.于是P>Q.故選A.5在等比數(shù)列an中，a1<a2<a3是數(shù)列an遞增的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)a1<a2<a3時(shí)，設(shè)公比為q，由a1<a1q<a1q2得，若a1>0，則1<q<q2，即q>1，此時(shí)，顯然數(shù)列an是遞增數(shù)列，若a1<0，則1>q>q2，即0<q<1，此時(shí)，數(shù)列an也是遞增數(shù)列，反之，當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列時(shí)，顯然a1<a2<a3.故a1<a2<a3是等比數(shù)列an遞增的充要條件6設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若x1x2>0，則f(x1)f(x2)的值()A恒為負(fù)值 B恒等于零C恒為正值 D無法確定正負(fù)答案A解析由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1x2>0，可知x1>x2，f(x1)<f(x2)f(x2)，則f(x1)f(x2)<0.故選A.7(2018鄒平期中)若a>b>c，則使恒成立的最大的正整數(shù)k為()A2 B3 C4 D5答案C解析a>b>c，ab>0，bc>0，ac>0，且acabbc.又2224，當(dāng)且僅當(dāng)abbc時(shí)等號(hào)成立k，k4，故k的最大整數(shù)為4.故選C.8用反證法證明“若x210，則x1或x1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_答案x1且x1解析根據(jù)反證法的定義，應(yīng)首先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，對(duì)本題而言即x1且x1.9.2與的大小關(guān)系是_答案2>解析假設(shè)2>，由分析法可得，要證2>，只需證>2，即證132>134，即>2.因?yàn)?2>40，所以2>成立10已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，其中nN*，設(shè)cnanbn，則cn與cn1的大小關(guān)系為_答案cn1<cn解析點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn)，因此an，bnn，cnn，因此數(shù)列cn為遞減數(shù)列，所以cn1<cn.B組能力關(guān)1設(shè)x，y，zR，ax，by，cz，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A至少有一個(gè)不大于2 B都小于2C至少有一個(gè)不小于2 D都大于2答案C解析假設(shè)a，b，c都小于2，則abc<6，而abcxyz2226，與abc<6矛盾，a，b，c都小于2不成立a，b，c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.故選C.2若A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則()AA1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形BA1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形CA1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形DA1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形答案D解析由條件知，A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，且A2B2C2不可能是直角三角形假設(shè)A2B2C2是銳角三角形由得則A2B2C2，這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾，因此假設(shè)不成立，故A2B2C2是鈍角三角形故選D.3用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：_.答案a，b，c，d全是負(fù)數(shù)解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”4在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinAsinBsinBsinCcos2B1.(1)求證：a，b，c成等差數(shù)列；(2)若C，求證：5a3b.證明(1)由已知得sinAsinBsinBsinC2sin2B，因?yàn)閟inB0，所以sinAsinC2sinB，由正弦定理，有ac2b，即a，b，c成等差數(shù)列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以5a3b.5等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解(1)由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr為有理數(shù)而若2qpr0，則(2qpr)為無理數(shù)顯然(q2pr)(2qpr)0不成立2q2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列