第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題知 識(shí) 梳 理1直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面內(nèi)的任意直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行ab2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面l常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化2直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(5)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直診 斷 自 測(cè)1思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面()(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.()解析(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯(cuò)誤(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤(4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯(cuò)誤答案(1)(2)(3)(4)2(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面解析對(duì)于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的答案D3(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足m，n，則()Aml BmnCnl Dmn解析因?yàn)閘，所以l，又n，所以nl，故選C.答案C4(2017全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.答案C5(2017浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知矩形ABCD，AB1，BC.將ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，()A存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直B存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直C存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直解析若ABCD，BCCD，則可得CD平面ACB，因此有CDAC.因?yàn)锳B1，BCAD，CD1，所以AC1，所以存在某個(gè)位置，使得ABCD.答案B6(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，(1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心(2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心 圖1 圖2(2)如圖2，PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面PAB，AB平面PAB，PCAB，又ABPO，POPCP，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG為ABC邊AB的高同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心答案(1)外(2)垂考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中點(diǎn)，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll)(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想【訓(xùn)練1】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且ADDB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BCAC，PD平面ABC，PDDB.求證：PACD.證明因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ACCB.在RtABC中，由ACBC得，ABC30.設(shè)AD1，由3ADDB得，DB3，BC2.由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303，所以CD2DB2BC2，即CDAB.因?yàn)镻D平面ABC，CD平面ABC，所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD，EFAD，則ABEF.AB平面ABC，EF平面ABC，EF平面ABC.(2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD.AD平面ABD，BCAD.又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB，AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理(2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直【訓(xùn)練2】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；(2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究)命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明【例31】 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，于是DEA1C1.又因?yàn)镈E平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化(2)垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用命題角度2平行垂直中探索性問(wèn)題【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)(1)證明：AE平面BDF.(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖.四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，OF為ACE的中位線，OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE，證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE，CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE，又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.規(guī)律方法(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性(2)涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn)【訓(xùn)練3】 (2018嘉興七校聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求證：AC平面FBC.(2)求四面體FBCD的體積(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)證明在ABC中，因?yàn)锳C，AB2，BC1，所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又因?yàn)锳CFB，BCFBB，所以AC平面FBC.(2)解因?yàn)锳C平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，所以ACFC.因?yàn)镃DFC，ACCDC，所以FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.所以BCD的面積為S.所以四面體FBCD的體積為VFBCDSFC.(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM.證明如下：連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN.因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1(2018紹興檢測(cè))已知平面平面，且b，a，則“ab”是“a”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析平面平面，且b，a，若ab，則a，充分性成立；平面平面，因?yàn)閎，所以b，若a，則ab，必要性成立，所以“ab”是“a”的充要條件，故選C.答案C2(2015浙江卷)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m()A若l，則 B若，則lmC若l，則 D若，則lm解析由面面垂直的判定定理，可知A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)中，l與m可能平行；C選項(xiàng)中，與可能相交；D選項(xiàng)中，l與m可能異面答案A3若平面，滿足，l，P，Pl，則下列命題中是假命題的為()A過(guò)點(diǎn)P垂直于平面的直線平行于平面B過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面內(nèi)C過(guò)點(diǎn)P垂直于平面的直線在平面內(nèi)D過(guò)點(diǎn)P且在平面內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面解析由于過(guò)點(diǎn)P垂直于平面的直線必平行于平面內(nèi)垂直于交線的直線，因此也平行于平面，因此A正確過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面，不一定在平面內(nèi)，因此B不正確根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D正確答案B4如圖，在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC解析因?yàn)锽CDF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC平面PDF，故選項(xiàng)A正確在正四面體中，AEBC，PEBC，AEPEE，BC平面PAE，DFBC，則DF平面PAE，又DF平面PDF，從而平面PDF平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確答案D5(2017麗水調(diào)研)設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是()A若l，l，則 B若l，l，則C若，l，則l D若，l，則l解析A中，或與相交，不正確B中，過(guò)直線l作平面，設(shè)l，則ll，由l，知l，從而，B正確C中，l或l，C不正確D中，l與的位置關(guān)系不確定答案B6如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：BDAC；BAC是等邊三角形；三棱錐DABC是正三棱錐；平面ADC平面ABC.其中正確的是()A B C D解析由題意知，BD平面ADC，且AC平面ADC，故BDAC，正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等邊三角形，正確；易知DADBDC，又由知正確；由知錯(cuò)答案B二、填空題7如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)解析PA平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而B(niǎo)CPC，因此ABC，PBC也是直角三角形答案48(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m是一條直線，給出下列命題：若m，m，則；若m，則m.其中真命題是_(填序號(hào))解析由面面垂直的判定定理可知是真命題；若m，則m，的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交或m，則是假命題答案9.如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)解析由題意可知，BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí)，有PC平面MBD.又PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)10(2016全國(guó)卷改編)，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線(1)如果m，n，那么m，n的位置關(guān)系是_；(2)如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角的大小關(guān)系是_解析(1)由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線l，nl，m，所以ml，所以mn.(2)因?yàn)閙n，所以m與所成的角和n與所成的角相等因?yàn)?，所以n與所成的角和n與所成的角相等，所以m與所成的角和n與所成的角相等答案(1)垂直(2)相等三、解答題11如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點(diǎn)(1)求證：PB平面MNC；(2)若ACBC，求證：PA平面MNC.證明(1)因?yàn)镸，N分別為AB，PA的中點(diǎn)，所以MNPB.又因?yàn)镸N平面MNC，PB平面MNC，所以PB平面MNC.(2)因?yàn)镻APB，MNPB，所以PAMN.因?yàn)锳CBC，AMBM，所以CMAB.因?yàn)槠矫鍼AB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB.所以CM平面PAB.因?yàn)镻A平面PAB，所以CMPA.又MNCMM，所以PA平面MNC.12(2016北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說(shuō)明理由(1)證明因?yàn)镻C平面ABCD，所以PCDC.又因?yàn)锳CDC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)證明因?yàn)锳BDC，DCAC，所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD，所以PCAB.又因?yàn)镻CACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.理由如下：取PB的中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF，又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.能力提升題組13(2018舟山調(diào)研)在三棱錐PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A當(dāng)AEPB時(shí)，AEF一定為直角三角形B當(dāng)AFPC時(shí)，AEF一定為直角三角形C當(dāng)EF平面ABC時(shí)，AEF一定為直角三角形D當(dāng)PC平面AEF時(shí)，AEF一定為直角三角形解析因?yàn)锳P平面ABC，BC平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB內(nèi)兩條相交直線，則BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE，當(dāng)AEPB時(shí)，AE平面PBC，又EF平面PBC，則AEEF，AEF一定是直角三角形，A正確；當(dāng)EF平面ABC時(shí)，EF在平面PBC內(nèi)，平面PBC與平面ABC相交于BC，則EFBC，則EFAE，AEF一定是直角三角形，C正確；當(dāng)PC平面AEF時(shí)，AEPC，又AEBC，則AE平面PBC，又EF平面PBC，所以AEEF，AEF一定是直角三角形，D正確；B中結(jié)論無(wú)法證明答案B14(2017諸暨調(diào)研)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說(shuō)法正確的是()AO是AEF的垂心 BO是AEF的內(nèi)心CO是AEF的外心 DO是AEF的重心解析由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF，因?yàn)镻OPAP，所以EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O為AEF的垂心答案A15.如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論中：PBAE；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；PDA45.其中正確的有_(把所有正確的序號(hào)都填上)解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六邊形的性質(zhì)得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正確；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，錯(cuò)；由正六邊形的性質(zhì)得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD，直線BC平面PAE也不成立，錯(cuò)；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正確答案16.如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說(shuō)明理由(2)證明：平面PAB平面PBD.(1)解取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)，理由如下：因?yàn)锳DBC，BCAD.所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB.又AB平面PAB.CM平面PAB.所以CM平面PAB.(說(shuō)明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明由已知，PAAB，PACD.因?yàn)锳DBC，BCAD，所以直線AB與CD相交，所以PA平面ABCD.又BD平面ABCD，從而PABD.因?yàn)锳DBC，BCAD，M為AD的中點(diǎn)，連接BM，所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.17如圖，三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)(1)求證：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH. 證明(1)連接DG，CD，設(shè)CDGFM，連接MH.在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G為AC中點(diǎn)，可得DFGC，且DFGC，則四邊形DFCG為平行四邊形從而M為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，故BD平面FGH.(2)連接HE，因?yàn)镚，H分別為AC，BC的中點(diǎn)，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H為BC的中點(diǎn)，所以EFHC，EFHC，因此四邊形EFCH是平行四邊形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.