2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)學習目標1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題知識點一拋物線的簡單幾何性質(zhì)思考觀察下列圖形，思考以下問題：(1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y22px(p>0)如何確定橫坐標x的范圍？答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個頂點，有兩個焦點，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個頂點，兩個焦點，有中心；拋物線只有一條曲線，一個頂點，一個焦點，無中心(2)由拋物線y22px(p>0)有所以x0.梳理四種形式的拋物線的幾何性質(zhì)標準方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)圖形范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR對稱軸x軸x軸y軸y軸焦點坐標FFFF準線方程xxyy頂點坐標O(0,0)離心率e1通徑長2p知識點二直線與拋物線的位置關(guān)系直線ykxb與拋物線y22px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù)，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的個數(shù)當k0時，若>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若0，直線與拋物線有一個公共點；若<0，直線與拋物線沒有公共點當k0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點知識點三焦點弦的性質(zhì)已知過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p，|AF|x1；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切(1)拋物線沒有漸近線()(2)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.()(3)若一條直線與拋物線只有一個公共點，則二者一定相切()(4)“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件()類型一拋物線方程及其幾何性質(zhì)例1(1)頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是()Ax216yBx28yCx28yDx216y考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點焦點、準線、對稱性簡單應(yīng)用答案D解析頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x22py，x22py(p0)由頂點到準線的距離為4，知p8，故所求拋物線方程為x216y或x216y.(2)頂點在原點，經(jīng)過點(，6)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線方程是_考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點焦點、準線、對稱性簡單應(yīng)用答案y212x或x2y解析若x軸是拋物線的對稱軸，則設(shè)拋物線的標準方程為y22px(p0)，因為點(，6)在拋物線上，所以(6)22p，解得2p12，故所求拋物線的標準方程為y212x.若y軸是拋物線的對稱軸，則同理可得拋物線的標準方程為x2y.反思與感悟求拋物線的標準方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵：確定焦點在哪條坐標軸上，進而求方程的有關(guān)參數(shù)(2)方法：定義法：根據(jù)定義求p，最后寫標準方程待定系數(shù)法：設(shè)標準方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法：建立恰當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程跟蹤訓練1已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程解由題意，可設(shè)拋物線方程為y22ax(a0)，則焦點F，準線l：x，A，B兩點坐標分別為，|AB|2|a|.OAB的面積為4，2|a|4，a2，拋物線方程為y24x.類型二焦點弦問題例2已知直線l經(jīng)過拋物線y26x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點(1)若直線l的傾斜角為60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求線段AB的中點M到準線的距離考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線相交弦長及弦中點問題解(1)因為直線l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60，又F，所以直線l的方程為y.聯(lián)立消去y得4x220x90，解得x1，x2，故|AB|248.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義，知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x，所以M到準線的距離等于3.反思與感悟拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題(2)解決最值問題在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題跟蹤訓練2如圖，斜率為的直線l經(jīng)過拋物線y22px的焦點F(1,0)，且與拋物線相交于A，B兩點(1)求該拋物線的標準方程和準線方程；(2)求線段AB的長考點拋物線中過焦點的弦長問題題點求拋物線的焦點弦長解(1)由焦點F(1,0)，得1，解得p2，所以拋物線的標準方程為y24x，其準線方程為x1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)直線l的方程為y(x1)，與拋物線方程聯(lián)立，得消去y，整理得4x217x40，由拋物線的定義可知，|AB|x1x2p2，所以線段AB的長為.類型三直線與拋物線位置關(guān)系例3(1)過點P(0,1)與拋物線y2x有且只有一個交點的直線有()A4條B3條C2條D1條考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案B解析當直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條；當直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B.(2)已知直線l：ykx1，拋物線C：y24x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題解聯(lián)立消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)當k0時，(*)式只有一個解x，y1，直線l與C只有一個公共點，此時直線l平行于x軸當k0時，(*)式是一個一元二次方程，(2k4)24k216(1k)當0，即k1，且k0時，l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交；當0，即k1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；當0，即k1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離綜上所述，當k1或0時，l與C有一個公共點；當k1，且k0時，l與C有兩個公共點；當k1時，l與C沒有公共點引申探究求過點P(0,1)且與拋物線y22x只有一個公共點的直線方程解(1)若直線斜率不存在，則過點P(0,1)的直線方程為x0，由得所以直線x0與拋物線只有一個交點(2)若直線斜率存在，設(shè)為k，則過點P的直線方程為ykx1，聯(lián)立消去y，得k2x22(k1)x10.當k0時，得x，且y1，即直線y1與拋物線只有一個公共點當k0時，若直線與拋物線只有一個公共點，則4(k1)24k20，解得k，則直線方程為yx1.綜上所述，所求直線的方程為x0或y1或x2y20.反思與感悟設(shè)直線l：ykxb，拋物線：y22px(p0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合(2)若k20，當0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當0時，直線與拋物線相離，無公共點跟蹤訓練3(1)已知直線ykxk和拋物線y22px(p0)，則()A直線和拋物線有一個公共點B直線和拋物線有兩個公共點C直線和拋物線有一個或兩個公共點D直線和拋物線可能沒有公共點考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線公共點個數(shù)問題答案C解析直線ykxk過定點(1,0)，當k0時，直線與拋物線有一個公共點；當k0時，直線與拋物線有兩個公共點(2)(2017牌頭中學期中)拋物線yx2上關(guān)于直線yx3對稱的兩點M，N的坐標分別為_答案(2,4)(1,1)解析設(shè)直線MN的方程為yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b>0，b>.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x21，bb，由在直線yx3上，即b3，解得b2，聯(lián)立得解得1已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是()Ay211xBy211xCy222xDy222x考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案C解析在方程2x4y110中，令y0，得x，拋物線的焦點為F，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則，p11，拋物線的方程是y222x，故選C.2已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()AB1CD考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案C解析因為拋物線C：y22px的準線為x，且點A(2,3)在準線上，故2，解得p4，所以y28x，所以焦點F的坐標為(2,0)，這時直線AF的斜率kAF.3若拋物線y22px(p0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是()A成等差數(shù)列B既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列C成等比數(shù)列D既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案A解析設(shè)三點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，則y2px1，y2px2，y2px3.因為2yyy，所以x1x32x2，即|P1F|P3F|2，所以|P1F|P3F|2|P2F|.4已知過拋物線y22px(p>0)的焦點F作傾斜角為45的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p_.考點拋物線中過焦點的弦長問題題點與弦長有關(guān)的其他問題答案2解析設(shè)點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，易知過拋物線y22px(p>0)的焦點F，且傾斜角為45的直線的方程為yx，把xy代入y22px，得y22pyp20，y1y22p，y1y2p2.|AB|8，|y1y2|4，(y1y2)24y1y2(4)2，即(2p)24(p2)32.又p>0，p2.5已知圓C：x2y26x8y210，拋物線y28x的準線為l，設(shè)拋物線上任一點P到直線l的距離為m，則m|PC|的最小值為_考點拋物線的定義題點拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用答案解析圓心C(3，4)，由拋物線的定義知，m|PC|最小時為圓心與拋物線焦點(2,0)間的距離，即.1拋物線的中點弦問題用點差法較簡便2軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系3在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化一、選擇題1.(2017嘉興一中期末)已知點A(0,2)，拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若，則p的值等于()A.B2C4D8答案B2拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，O為坐標原點，若OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36，則p的值為()A2B4C6D8考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程答案D解析OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑圓的面積為36，圓的半徑為6.又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|，6，p8.3拋物線yx2上的點到直線4x3y80的距離的最小值是()A.B.C.D3考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點求距離最小值問題答案A解析設(shè)拋物線yx2上一點為(m，m2)，該點到直線4x3y80的距離為，當m時，取得最小值為.4已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，其上的三個點A，B，C的橫坐標之比為345，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長的三角形()A不存在B必是銳角三角形C必是鈍角三角形D必是直角三角形考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析設(shè)A，B，C三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，x13k，x24k，x35k(k>0)，由拋物線定義，得|FA|3k，|FB|4k，|FC|5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形5等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點，OAOB，則AOB的面積是()A8p2B4p2C2p2Dp2考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用答案B解析因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性，知直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45.由方程組得或所以易得A，B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，2p)所以|AB|4p，所以SAOB4p2p4p2.6(2017牌頭中學期中)已知F為拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2B3C.D.答案B解析設(shè)點A的坐標為(a2，a)，點B的坐標為(b2，b)，直線AB的方程為xtym，與拋物線y2x聯(lián)立得y2tym0，故abm，由2得a2b2ab2，故ab2或ab1(舍去)，所以m2，所以ABO的面積為m|ab|ab|，AFO的面積等于|a|，所以ABO與AFO的面積之和為23，當且僅當，即|a|時“”成立，故選B.7已知拋物線y22px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()Ax1Bx1Cx2Dx2考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用答案B解析拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy，代入y22px消去x，得y22pyp2，即y22pyp20，由根與系數(shù)的關(guān)系得p2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線方程為y24x，準線方程為x1.二、填空題8已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點，A是拋物線上一點，若4，則點A的坐標是_考點拋物線的簡單幾何性質(zhì)題點拋物線性質(zhì)的綜合問題答案(1,2)或(1，2)解析拋物線的焦點為F(1,0)，設(shè)A，則，由4，得y02，點A的坐標是(1,2)或(1，2)9(2017嘉興一中期末)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為_答案10已知在拋物線yx2上存在兩個不同的點M，N關(guān)于直線ykx對稱，則k的取值范圍為_考點直線與拋物線位置關(guān)系題點直線與拋物線位置關(guān)系答案解析設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)，兩點關(guān)于直線ykx對稱，顯然k0時不成立，即x1x2.設(shè)MN的中點為P(x0，y0)，則x0，y0k4.又中點P在拋物線yx2內(nèi)，42，即k2，k或k.三、解答題11(2017嘉興一中期末)在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y24x相交于不同的A，B兩點(1)如果直線l過拋物線的焦點，求的值；(2)如果4，證明直線l必過一定點，并求出該定點解(1)由題意知拋物線焦點坐標為(1,0)，設(shè)l：xty1，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty40，16t216>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x，消去x，得y24ty4b0，16t216b>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24t，y1y24b，x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，b24b40，b2.直線l過定點(2,0)若4，則直線l必過一定點(2,0)12已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線截直線x2y10所得的弦長為，求此拋物線的方程考點由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程題點已知弦長求拋物線的方程解設(shè)拋物線方程為x2ay(a0)由方程組消去y，得2x2axa0.直線與拋物線有兩個交點，(a)242a0，即a0或a8.設(shè)兩交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|.|AB|，即a28a480，解得a4或a12，所求拋物線的方程為x24y或x212y.13設(shè)拋物線C：y24x，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線l與C相交于A，B兩點(1)設(shè)l的斜率為2，求|AB|的值；(2)求證：是一個定值考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線的綜合問題(1)解依題意得F(1,0)，直線l的方程為y2(x1)設(shè)直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得x23x10，x1x23，x1x21.方法一|AB|5.方法二|AB|AF|BF|x1x2p325.(2)證明設(shè)直線l的方程為xky1，直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x，整理得y24ky40，y1y24k，y1y24.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143，是一個定值四、探究與拓展14已知直線l過拋物線y22px(p>0)的焦點且與拋物線相交，其中一個交點為(2p,2p)，則其焦點弦的長度為_考點拋物線中過焦點的弦長問題題點求拋物線的焦點弦長答案解析由題意，知直線l過和(2p,2p)，所以直線l：y.設(shè)另一交點坐標為(x1，y1)，聯(lián)立整理得8x217px2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x12p，所以焦點弦的長度為x12pp.15已知拋物線y22x.(1)設(shè)點A的坐標為，求拋物線上距離點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|；(2)設(shè)點A的坐標為(a,0)，求拋物線上的點到點A的距離的最小值d，并寫出df(a)的函數(shù)表達式考點直線與拋物線的位置關(guān)系題點直線與拋物線的綜合問題解(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x，y)，則|PA|22y222x2.因為x0，且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大，所以當x0時，|PA|min，故距離點A最近的點P的坐標為(0,0)，最短距離是.(2)同(1)求得|PA|2(xa)2y2(xa)22xx(a1)2(2a1)當a10，即a1時，|PA|2a1，解得|PA|min，此時xa1；當a10，即a1時，|PA|a2，解得|PA|min|a|，此時x0.所以df(a)