階段質(zhì)量檢測(cè)（四） 專題一四“綜合檢測(cè)”(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1橢圓1的焦距是()A2B4C2 D20解析：選A由橢圓的方程1，知a28，b26，故c，所以焦距2c2.故選A.2已知角為第三象限角，且tan ，則sin cos ()A BC D解析：選A由題可得因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以故sin cos .選A.3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A. B6C. D4解析：選A由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積V23221.故選A.4已知an是公差為d的等差數(shù)列，則“a1a8<a4a5”是“d>0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選B因?yàn)閍1a8a4a5a1(a17d)(a13d)(a14d)12d20，所以a1a8<a4a5d0，即“a1a8<a4a5”是“d>0”的必要不充分條件所以選B.5已知雙曲線mx2ny21(mn<0)的離心率為，此雙曲線上的點(diǎn)(x0，y0)滿足y>4x，則該雙曲線的一條漸近線方程為()Ay2x ByxCyx Dyx解析：選A因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)(x0，y0)滿足y>4x，所以焦點(diǎn)在y軸上設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則e，得，所以漸近線方程為y2x.6已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B在雙曲線C：1(a>0，b>0)上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱若雙曲線C上與點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)不相同的任意一點(diǎn)P滿足kPAkPB3，則雙曲線C的離心率為()A2 B4C. D10解析：選A設(shè)A(x1，y1)，P(x0，y0)(|x0|x1|)，則B(x1，y1)，則kPAkPB.因?yàn)辄c(diǎn)P，A在雙曲線C上，所以b2xa2ya2b2，b2xa2ya2b2，兩式相減可得，故3，于是b23a2.又因?yàn)閏2a2b2，所以雙曲線C的離心率e 2.故選A.7已知AD與BC是三棱錐ABCD中相互垂直的棱，若ADBC6，且ABDACD60，則三棱錐ABCD的體積的最大值是()A36 B36C18 D18解析：選D如圖，過(guò)C作CFAD，垂足為F，連接BF，BCAD，CFAD，BCCFC，BC平面BCF，CF平面BCF，AD平面BCF，V三棱錐ABCDV三棱錐ABCFV三棱錐DBCFSBCFAFSBCFFDSBCF(AFFD)SBCFAD.ADBC6，V三棱錐ABCD2SBCF，當(dāng)BCF的面積最大時(shí)，V三棱錐ABCD取得最大值，易知當(dāng)BCF為等腰三角形時(shí)，SBCF取得最大值，即V三棱錐ABCD取得最大值取BC的中點(diǎn)E，連接EF，當(dāng)BCF為等腰三角形時(shí)，EFBC，2SBCF2BCEF6EF，又EF，當(dāng)CF最長(zhǎng)時(shí)，V三棱錐ABCD最大，ACD60，AD6，ADCF，當(dāng)ACCD時(shí)，CF取得最大值，此時(shí)CF3，EF3，6EF18.三棱錐ABCD體積的最大值為18.故選D.8已知F1，F(xiàn)2是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若ABF1是銳角三角形，則該橢圓離心率e的取值范圍是()A(1，) B(0，1)C(1,1) D(1，1)解析：選C由題意可知，A，B的橫坐標(biāo)均為c，且A，B都在橢圓上，所以1，從而可得y，不妨令A(yù)，B.由ABF1是銳角三角形知AF1F2<45，所以tan AF1F2<1，所以tanAF1F2<1，故<1，即e22e1>0，解得e>1或e<1，又因?yàn)闄E圓中，0<e<1，所以1<e<1.故選C.9已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*)，則S2 018()A22 0191 B21 0093C321 0093 D21 0083解析：選Can1an2n，an2an12n1，2， 數(shù)列an的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，公比均為2.又a1a22，a11，a22，S2 018(a1a3a2 017)(a2a4a2 018)321 0093.10已知直線axby1(其中a，b是實(shí)數(shù))與圓x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且AOB是直角三角形，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)M(0,1)之間的距離的最大值為()A.1 B2C. D.1解析：選A直線axby1(其中a，b是實(shí)數(shù))與圓x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則依題意可知，AOB是等腰直角三角形，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線axby1的距離d，即2a2b22，a2(b)，則|PM| ，當(dāng)b時(shí)，|PM|max1.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)11已知拋物線y22px過(guò)點(diǎn)A(1,2)，則p_，準(zhǔn)線方程是_解析：由題可得，42p，解得p2，所以準(zhǔn)線方程為x1.答案：2x112在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若滿足2bcos Acos Cc2acos Bcos C，則角C_，sin Asin B的最大值是_解析：由已知得2bcos Acos C2acos Bcos Cc，由正弦定理得2cos C(sin Bcos Asin Acos B)sin C，即2cos Csin(AB)sin C，ABC，A，B，C(0，)，sin(AB)sin C>0，2cos C1，cos C，C.sin Asin Bsin Asin(AC)sin Asin Acos Asin，C，0<A<，當(dāng)A，即A時(shí)，sin Asin B取得最大值，最大值是，此時(shí)ABC為正三角形答案：13設(shè)圓C上的點(diǎn)A(2,6)關(guān)于直線xy50的對(duì)稱點(diǎn)A仍在圓C上，且圓C與直線3x4y80相交的弦長(zhǎng)為2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)，圓C的圓心坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，點(diǎn)A與A關(guān)于直線xy50對(duì)稱，解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)設(shè)圓C的方程為(xa)2(yb)2r2，則(2a)2(6b)2r2.點(diǎn)A(2,6)關(guān)于直線xy50的對(duì)稱點(diǎn)A(1,3)在圓C上，圓心(a，b)在直線xy50上，ab50，又直線3x4y80被圓截得的弦長(zhǎng)為2，r2()2.解由方程組成的方程組，得a2，b3或a，b，圓C的圓心坐標(biāo)為(2,3)或.答案：(1,3)(2,3)或14已知拋物線C：y22px(p>0)和動(dòng)直線l：ykxb(k，b是參變量，且k0，b0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為O，記直線OA，OB的斜率分別為kOA，kOB，且kOAkOB恒成立，則當(dāng)k變化時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)解析：聯(lián)立消去y，得k2x2(2kb2p)xb20，x1x2，x1x2，kOAkOB，y1y2x1x2，又y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，解得b，ykxk.令x，得y0，直線l過(guò)定點(diǎn).答案：15向量a與b的夾角為90，|a|b|1，若|ca|c2b|，則|c2a|的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi)解析：因?yàn)閨ca|c2b|，且 ，ab，所以向量c的終點(diǎn)在a和2b的終點(diǎn)的連線上(如圖)，故|c2a|的取值范圍為|SK|的長(zhǎng)度變化當(dāng)SKFG時(shí)，長(zhǎng)度最短，連接SG，由SFOGFGSK，得SK.又SF3，SG2，所以當(dāng)ac時(shí)，SK最長(zhǎng)，為3.答案：316已知F為拋物線y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上，且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則AFO與BFO面積之和的最小值是_解析：法一：設(shè)直線lAB：xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立y2myt0，y1y2m，y1y2t，點(diǎn)A，B位于x軸兩側(cè)，y1y2t<0，t>0.又x1x2y1y2(y1y2)2y1y2t2t2，解得t2或t1(舍去)SAFOSBFO|OF|y1y2|y1y2|，AFO與BFO面積之和的最小值為.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，y1y22或y1y21(舍去)SAFOSBFO|y1y2| .答案：17已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線C2：y22px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，C1與C2在第一象限相交于點(diǎn)P，且|F1F2|PF1|，則雙曲線C1的離心率為_(kāi)解析：由題意可知，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C2：y22px(p>0)準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接PF2.根據(jù)雙曲線的定義和|F1F2|PF1|2c，可知|PF2|2c2a.由拋物線的定義可知|PF2|PA|x0c2c2a，則x0c2a.由題意可知c，又點(diǎn)P在拋物線C2上，所以y2px04c(c2a)，在RtF1AP中，|F1A|2|PF1|2|PA|2(2c)2(2c2a)28ac4a2, 即y8ac4a2，所以8ac4a24c(c2a)，化簡(jiǎn)可得c24aca20，即e24e10，又e>1，所以e2.答案：2三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)18(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)2cos2cosm(>0)的最小正周期為.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為2，求f的值解：(1)f(x)2cos2cosm1coscos 2xcossin 2xsinm1sin 2xcos 2xsin 2xmsin 2xcos 2xm1sinm1.函數(shù)f(x)的最小正周期為，T，1，f(x)sinm1.令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.(2)由(1)知，f(x)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，f(x)maxf1m12，解得m0.f(x)sin1，fsin1sincoscossin1.19(本小題滿分15分)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上任意一點(diǎn)，直線TA，TB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(0,2)的動(dòng)直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)設(shè)T(x，y)，由題意知A(4,0)，B(4，0)，設(shè)直線TA的斜率為k1，直線TB的斜率為k2，則k1，k2.由k1k2，得，整理得1.故橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykx2，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線PQ與橢圓方程聯(lián)立，得消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20<.當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，的值為20.綜上，的取值范圍為.20(本小題滿分15分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a14，a27，且當(dāng)n3時(shí)，SnSn22Sn13，數(shù)列bn為等比數(shù)列，b1b28(b4b5)，a5b41.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn<7.解：(1)由已知可得當(dāng)n3時(shí)，SnSn1(Sn1Sn2)3，即anan13，又a2a13，所以數(shù)列an是以a14為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以an43(n1)3n1.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則由已知可得，即q3，解得q.又a535116，所以b4，故bnb4qn4n4.(2)證明：由(1)知anbn.所以Tna1b1a2b2a3b3an1bn1anbn，Tn，得Tn22，所以Tn7.因?yàn)?gt;0，所以Tn<7.21(本小題滿分15分)已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F2(1,0)，并且內(nèi)切于定圓F1：(x1)2y216.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；(2)若y24x上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，(1)中曲線上有兩個(gè)點(diǎn)P，Q，并且M，N，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，PQMN，求四邊形PMQN的面積的最小值解：(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，則|CF2|r，|CF1|4r，|CF1|CF2|4>|F1F2|，由橢圓的定義知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，a2，c1，b，故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是1.(2)當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線PQ的斜率為0，易得|MN|4，|PQ|4，四邊形PMQN的面積S8.當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立消去y，得k2x2(2k24)xk20，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則|MN|4.PQMN，直線PQ的方程為y(x1)，聯(lián)立消去y，得(3k24)x28x412k20.設(shè)P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則|PQ| .四邊形PMQN的面積S|MN|PQ|24.令k21t，t>1，上式S2424，令2t1z(z>3)，則S888.z>(z>3)，310>0，S>8.綜上可得，S8，即四邊形PMQN的面積的最小值為8.22(本小題滿分15分)已知橢圓1(a>b>0)與拋物線y22px(p>0)的公共焦點(diǎn)為F2，拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|1，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足|QF2|.(1)求拋物線的方程和橢圓的方程；(2)過(guò)拋物線上的點(diǎn)P作拋物線的切線ykxm，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求此切線在x軸上的截距的取值范圍解：(1)拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|1，點(diǎn)M到直線x1的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)F2的距離，直線x1是拋物線y22px的準(zhǔn)線，即1，解得p2，拋物線的方程為y24x.可知橢圓的右焦點(diǎn)F2(1,0)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，則F1(1,0)，由拋物線的定義及|QF2|，得xQ1，xQ，又y4xQ，Q，由橢圓的定義得2a|QF1|QF2|6，a3，又c1，b2a2c28，橢圓的方程為1.(2)顯然k0，m0，由消去x，得ky24y4m0，由題意知11616km0，得km1，k0，m0，k.由消去y，得(9k28)x218kmx9m2720，由題意知2(18km)24(9k28)(9m272)>0，即9k2m28>0，又k，m48m29<0，0<m2<9.切線在x軸上的截距為，且k，m2，0<m2<9，9<m2<0，即9<<0，切線在x軸上的截距的取值范圍是(9,0)