高考專題突破一高考中的不等式問題題型一含參數(shù)不等式的解法例1解關(guān)于x的不等式x2ax1>0(aR)解對于方程x2ax10，a24.(1)當>0，即a>2或a<2時，方程x2ax10有兩個不等實根x1，x2，且x1<x2，所以原不等式的解集為；(2)當0，即a2時，若a2，則原不等式的解集為x|x1；若a2，則原不等式的解集為x|x1；(3)當<0，即2<a<2時，方程x2ax10沒有實根，結(jié)合二次函數(shù)yx2ax1的圖象，知此時原不等式的解集為R.思維升華解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟(1)若二次項含有參數(shù)應討論是否等于0，小于0，和大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式(2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系(3)當方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式跟蹤訓練1 (1)若不等式ax28ax21<0的解集是x|7<x<1，那么a的值是_答案3解析由題意可知7和1為方程ax28ax210的兩個根7(1)，故a3.(2)若關(guān)于x的不等式|x1|xm|>3的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(，4)(2，)解析依題意得，|x1|xm|(x1)(xm)|m1|，即函數(shù)y|x1|xm|的最小值是|m1|，于是有|m1|>3，m1<3或m1>3，由此解得m<4或m>2.因此實數(shù)m的取值范圍是(，4)(2，)題型二線性規(guī)劃問題例2(2018浙江五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足約束條件且zaxy的最大值為16，則實數(shù)a_，z的最小值為_答案21解析如圖，作出不等式組所表示的可行域(ABC及其內(nèi)部區(qū)域)目標函數(shù)zaxy對應直線axyz0的斜率ka.(1)當k(，1，即a1，a1時，目標函數(shù)在點A處取得最大值，由解得A(5,6)，故z的最大值為5a6，即5a616，解得a2.(2)當k(1，)，即a>1，a<1時，目標函數(shù)在點C處取得最大值，由解得C(0,1)，故z的最大值為0a11，不符合題意綜上，a2.數(shù)形結(jié)合知，當直線z2xy經(jīng)過點C時，z取得最小值，zmin2011.思維升華1利用線性規(guī)劃求目標函數(shù)的基本步驟為一畫二移三求，其關(guān)鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義2常見的目標函數(shù)有(1)截距型：如z2xy，z，z(其中M(x，y)為區(qū)域內(nèi)動點，P(2,1)，等等(2)距離型：如z(x2)2y2，z|2xy|，等等(3)斜率型：如z，z，z，z，等等(4)二次曲線型：如zxy，z，zy2，等等3解題時要注意可行解是區(qū)域的所有點還是區(qū)域內(nèi)的整點跟蹤訓練2 (1)(2018湖州五校模擬)設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則z2xy的取值范圍為()A(6，1) B(8，2)C(1,8) D(2,6)答案D解析方法一作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示作出直線y2x，平移直線，直線z2xy在點B(1,0)處的取最小值為2，在點C(3,0)處的取最大值為6，所以z2xy的取值范圍為(2,6)方法二三條直線兩兩聯(lián)立求出的交點坐標分別是(1,2)，(1,0)，(3,0)，分別代入z2xy求值，得0，2,6，所以z2xy的取值范圍為(2,6)(2)若x，y滿足則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_，z(x1)2(y1)2的最小值為_答案30解析作出表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，則不等式組表示的平面區(qū)域的面積為5210530.z(x1)2(y1)2表示可行域內(nèi)的點(x，y)與點M(1,1)之間的距離的平方，數(shù)形結(jié)合易知，z(x1)2(y1)2的最小值為點M(1,1)到直線2xy0的距離的平方，即zmin.題型三基本不等式的應用例3(1)已知x24xy30，其中x>0，yR，則xy的最小值是()A.B3C1D2答案A解析由x24xy30，得y，即有xyx.x>0，x2，即xy，當且僅當x，即x1，y時，xy取得最小值.(2)已知a>0，b>0，c>1，且ab1，則c的最小值為_答案42解析22222，當且僅當即時等號成立，c2c2(c1)22242，當且僅當2(c1)，即c1時，等號成立綜上，所求最小值為42.思維升華利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要思路有兩種：對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值(2)有些題目雖然不具備直接應用基本不等式求最值的條件，但可以通過添項、分離常數(shù)、平方等手段使之能運用基本不等式常用的方法還有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、分離常數(shù)法、換元法、整體代換法跟蹤訓練3 (1)已知xy1，且0<y<，則的最小值為()A4B.C2D4答案A解析由xy1且0<y<，可知x>，所以x2y>0.x2y4，當且僅當x1，y時等號成立(2)若實數(shù)x，y滿足x2y2xy1，則xy的最大值是_答案解析由x2y2xy1，得1(xy)2xy，(xy)21xy1，解得xy(當且僅當xy時取得最大值)，xy的最大值為.題型四絕對值不等式的應用例4(1)(2018浙江五校聯(lián)考)已知aR，則“a9”是“2|x2|52x|<a無解”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析2|x2|52x|2x4|52x|2x452x|9，若2|x2|52x|<a無解，則a9，同樣若a9，則2|x2|52x|<a無解，所以“a9”是“2|x2|52x|<a無解”的充要條件(2)(2019溫州模擬)已知a，b，cR，若|acos2xbsinxc|1對xR恒成立，則|asinxb|的最大值為_答案2解析|acos2xbsinxc|1，即|asin2xbsinx(ac)|1，分別取sinx1，1,0，可知所以|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2，且|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2.所以max|asinxb|max|ab|，|ab|2，當a2，b0，c1時，取等號思維升華(1)解絕對值不等式可以利用絕對值的幾何意義，零點分段法、平方法、構(gòu)造函數(shù)法等(2)利用絕對值三角不等式可以證明不等式或求最值跟蹤訓練4 (1)已知函數(shù)f(x)|x5|x3|x3|x5|c，若存在正實數(shù)m，使f(m)0，則不等式f(x)<f(m)的解集是_答案(m，m)解析由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當3x3時，f(x)取最小值16c.結(jié)合題意可得c16.由f(m)0得f(x)<0，即|x5|x3|x3|x5|c<0，結(jié)合圖象(圖略)可知，解集為(m，m)(2)不等式|x2|x1|a對于任意xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，3解析當x(，1時，|x2|x1|2xx112x3；當x(1,2)時，|x2|x1|2xx13；當x2，)時，|x2|x1|x2x12x13，綜上可得|x2|x1|3，a3.1(2018寧波期末)若a，bR，且a<b<0，則下列不等式成立的是()A2ab>1B.>Ca3>b3Da|b|>0答案B解析由a<b<0得a1<b1<0，則(a1)(b1)>0，所以(a1)<(b1)，即>，故選B.2(2018浙江紹興一中期末)若關(guān)于x的不等式|x2|xa|<5有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A(7,7) B(3,3)C(7,3) D答案C解析不等式|x2|xa|<5有解，等價于(|x2|xa|)min<5，又因為|x2|xa|(x2)(xa)|2a|，所以|2a|<5，5<2a<5，解得7<a<3，即實數(shù)a的取值范圍為(7,3)，故選C.3設(shè)集合M，則M表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C.D2答案B解析由題意，M表示的平面區(qū)域是以A(0,1)，B(1，2)，C為頂點的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分所示(含邊界)，所以其面積為2.4(2018杭州質(zhì)檢)若正數(shù)x，y滿足2xy30，則的最小值為()A2B3C4D5答案B解析由2xy30，得2xy3，所以(2xy)3，當且僅當，即xy1時等號成立，故選B.5(2018金華十校調(diào)研)設(shè)x，yR，下列不等式成立的是()A1|xy|xy|x|y|B12|xy|x|y|C12|xy|x|y|D|xy|2|xy|x|y|答案A解析對于選項B，令x100，y100，不成立；對于選項C，令x100，y，不成立；對于選項D，令x，y，不成立，故選A.6(2018杭州學軍中學模擬)設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)滿足x02y0>3，則實數(shù)m的取值范圍是()A(1,0) B(0,1)C(1，) D(，1)答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(包含邊界)，當目標函數(shù)zx2y經(jīng)過直線xm0與ym0的交點時取得最大值，即zmaxm2m3m，則根據(jù)題意有3m>3，即m<1，故選D.7(2018浙江舟山中學月考)已知x，y滿足約束條件當目標函數(shù)zaxby(a>0，b>0)在該約束條件下取到最小值2時，a2b2的最小值為()A5B4C.D2答案B解析畫出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分(包含邊界)所示，可知當目標函數(shù)過直線xy10與2xy30的交點A(2,1)時取得最小值，所以有2ab2.因為a2b2表示原點(0,0)到點(a，b)的距離的平方，所以的最小值為原點到直線2ab20的距離，即()min2，所以a2b2的最小值是4，故選B.8(2018嘉興教學測試)若直線axby1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點，則2a3b的取值范圍是()A(7,1) B(3,5)C(7,3) DR答案C解析不等式組表示的平面區(qū)域是以A(1,1)，B(1,1)，C(0，1)為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界)；因為直線axby1與不等式組表示的平面區(qū)域無公共點，所以a，b滿足或故點(a，b)在如圖所示的三角形區(qū)域(除邊界且除原點)內(nèi)，所以2a3b的取值范圍為(7,3)，故選C.9(2019諸暨期末)不等式x22x3<0的解集為_；不等式|32x|<1的解集為_答案(，1)(3，)(1,2)解析依題意，不等式x22x3<0，即x22x3>0，解得x<1或x>3，因此不等式x22x3<0的解集是(，1)(3，)；由|32x|<1得1<32x<1,1<x<2，所以不等式|32x|<1的解集是(1,2)10(2018寧波期末)關(guān)于實數(shù)x的不等式x24x>3在0,5上有解，則實數(shù)a的取值范圍為_答案(，0)解析由x24x>3得x24x3>，則問題等價于小于x24x3在0,5上的最大值，又因為x24x3(x2)27，所以當x5時，x24x3取得最大值2，所以<2，解得a<0或a>，所以a的取值范圍為(，0).11(2018嘉興測試)已知f(x)x2，g(x)2x5，則不等式|f(x)|g(x)|2的解集為_；|f(2x)|g(x)|的最小值為_答案3解析由題意得|f(x)|g(x)|x2|2x5|所以|f(x)|g(x)|2等價于或或解得x3，|f(2x)|g(x)|2x2|2x5|f(2x)|g(x)|的圖象如圖，則由圖象易得|f(2x)|g(x)|的最小值為3.12(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)已知正數(shù)x，y滿足1，則的最大值是_答案解析設(shè)u，v，則問題轉(zhuǎn)化為“已知正數(shù)u，v滿足u2v1，求的最大值”33(u1)2(v1)33(54).當且僅當，即uv時，取等號13(2018浙江金華十校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y，z滿足則xyz的最小值為_答案932解析將變形為由|xy|知，|12z|，即12z，解得2z2.所以xyz(12z)z2z2z在2，2上的最小值為932.14(2018寧波模擬)若6x24y26xy1，x，yR，則x2y2的最大值為_答案解析方法一設(shè)mxy，nxy，則問題轉(zhuǎn)化為“已知4m2mnn21，求mn的最大值”由基本不等式，知1mn4m2n2mn4|mn|，所以mn，當且僅當n2m，即x3y時，取得最大值.方法二(齊次化處理)顯然要使得目標函數(shù)取到最大值，x0.令zx2y2，設(shè)t，則z，則(4z1)t26zt6z10對tR有解當z時，t.當z時，36z24(4z1)(6z1)0，解得z.當t時取最大值方法三16x24y26y6x24y265x25y2，所以x2y2，當且僅當x3y時取等號15(2019浙江嘉興一中模擬)已知點P是平面區(qū)域M：內(nèi)的任意一點，則P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和的取值范圍為_答案解析設(shè)平面區(qū)域M：為ABO區(qū)域(包含邊界)，由題意，|AO|1，|BO|，|AB|2，P到平面區(qū)域M的邊界的距離之和d就是P到ABO三邊的距離之和，設(shè)P到邊界AO，BO，AB的距離分別為a，b，c，則P(b，a)，由題意0a，0b1,0c(ab)，所以dabca(2)b，從而d，當ab0時取等號如圖，P為可行域內(nèi)任意一點，過P作PEx軸，PFy軸，PPAB，過P作PEx軸，PFy軸，則有PEPFPPPFPE，由P(b，a)，可得P，所以dabc，又0a，0b1，則d，當a，b0時取等號，因此d的取值范圍為.16(2018浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若正數(shù)a，b，c滿足1，則的最小值是_答案解析由a，b，c為正數(shù)，且1得1，設(shè)m，n，則有m>0，n>0，上式轉(zhuǎn)化為mn1，即mn1，又由基本不等式得m2n2，mn，所以mn1，令tmn，則t>0，上式轉(zhuǎn)化為t1，即t2t40，解得t，所以tmn的最小值為.