9.3橢圓及其性質(zhì)挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)1.橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.掌握橢圓的定義,并會(huì)用橢圓的定義進(jìn)行解題2.掌握橢圓的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,并會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓的方程2017北京,19橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程三角形的面積2.橢圓的幾何性質(zhì)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性等),并會(huì)熟練運(yùn)用2.理解橢圓離心率的定義,并會(huì)求橢圓的離心率2012天津文,19橢圓的幾何性質(zhì)直線和橢圓的方程3.直線與橢圓的位置關(guān)系1.掌握直線和橢圓位置關(guān)系的判斷方法2.理解“整體代換”思想的含義,并能通過直線與橢圓的位置關(guān)系解答相應(yīng)問題2018天津文,19直線與橢圓的位置關(guān)系三角形的面積2014天津,18圓的方程分析解讀從高考試題來看,橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系一直是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn),離心率問題是每年高考考查的重點(diǎn),多在選擇題和填空題中出現(xiàn),主要考查學(xué)生結(jié)合橢圓定義、幾何性質(zhì)等分析問題、解決問題的能力以及運(yùn)算能力,分值為5分,屬于中檔題目;在解答題中主要以直線與橢圓的位置關(guān)系為考查對(duì)象,考查面較廣,往往會(huì)和平面向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)相結(jié)合,在考查對(duì)橢圓基本概念和性質(zhì)理解及應(yīng)用的同時(shí),又考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.“m>n>0”是“曲線mx2+ny2=1為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案D考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)2.(2017浙江,2,4分)橢圓x29+y24=1的離心率是()A.133B.53C.23D.59答案B3.(2018課標(biāo)文,11,5分)已知F1,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn).若PF1PF2,且PF2F1=60,則C的離心率為()A.1-32B.2-3C.3-12D.3-1答案D考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系4.(2014遼寧,20,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖).(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過點(diǎn)P,且與直線l:y=x+3交于A,B兩點(diǎn).若PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x0>0,y0>0),則切線斜率為-x0y0,切線方程為y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4.此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=124x04y0=8x0y0,由x02+y02=42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=2時(shí)x0y0有最大值,即S有最小值,因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2).(2)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由點(diǎn)P在C上知2a2+2b2=1,并由x2a2+y2b2=1,y=x+3得b2x2+43x+6-2b2=0,又x1,x2是方程的根,因此x1+x2=-43b2,x1x2=6-2b2b2,由y1=x1+3,y2=x2+3,得|AB|=2|x1-x2|=248-24b2+8b4b2.由點(diǎn)P到直線l的距離為32及SPAB=1232|AB|=2得b4-9b2+18=0,解得b2=6或3,因此b2=6,a2=3(舍)或b2=3,a2=6,從而所求C的方程為x26+y23=1.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.如圖,已知橢圓C的中心為原點(diǎn)O,F(-25,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|OP|=|OF|且|PF|=4,則橢圓C的方程為()A.x225+y25=1B.x230+y210=1C.x236+y216=1D.x245+y225=1答案C方法2橢圓的離心率(取值范圍)的求法2.已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是()A.12,1B.22,32C.22,1D.32,1答案C3.(2013福建文,15,4分)橢圓:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2c.若直線y=3(x+c)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F2=2MF2F1,則該橢圓的離心率等于.答案3-1方法3解決直線與橢圓位置關(guān)系問題的方法4.(2014安徽文,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的方程為.答案x2+32y2=15.(2014江西,15,5分)過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于.答案22過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2018天津文,19,14分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為53,|AB|=13.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若BPM的面積是BPQ面積的2倍,求k的值.解析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有c2a2=59,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由|AB|=a2+b2=13,從而a=3,b=2.所以,橢圓的方程為x29+y24=1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).由BPM的面積是BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2x1-(-x1),即x2=5x1.易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.由方程組x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-89或k=-12.當(dāng)k=-89時(shí),x2=-9<0,不合題意,舍去;當(dāng)k=-12時(shí),x2=12,x1=125,符合題意.所以,k的值為-12.解題關(guān)鍵第(2)問中把兩個(gè)三角形的面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P、M的橫坐標(biāo)間的關(guān)系,進(jìn)而得到關(guān)于k的方程是求解的難點(diǎn)和關(guān)鍵.2.(2014天津,18,13分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知|AB|=32|F1F2|.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1,經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率.解析(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0).由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,則c2a2=12.所以橢圓的離心率e=22.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為x22c2+y2c2=1.設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(x0+c,y0),F1B=(c,c).由已知,有F1PF1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故x022c2+y02c2=1.由和可得3x02+4cx0=0.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-43c,代入得y0=c3,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為-4c3,c3.設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,進(jìn)而圓的半徑r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx.由l與圓相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=415.所以直線l的斜率為4+15或4-15.3.(2012天津文,19,14分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)P55a,22a在橢圓上.(1)求橢圓的離心率;(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值.解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)P55a,22a在橢圓上,故a25a2+a22b2=1,可得b2a2=58.于是e2=a2-b2a2=1-b2a2=38,所以橢圓的離心率e=64.(2)設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0).由條件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1.消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.由|AQ|=|AO|,A(-a,0),及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0,而x00,故x0=-2a1+k2,代入,整理得(1+k2)2=4k2a2b2+4.由(1)知a2b2=85,故(1+k2)2=325k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.所以直線OQ的斜率k=5.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查運(yùn)算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2015廣東文,8,5分)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(-4,0),則m=()A.2B.3C.4D.9答案B2.(2017北京,19,14分)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為32.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.解析本題考查橢圓的方程和性質(zhì),直線的方程等知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).由題意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,-n).由題設(shè)知m2,且n0.直線AM的斜率kAM=nm+2,故直線DE的斜率kDE=-m+2n.所以直線DE的方程為y=-m+2n(x-m).直線BN的方程為y=n2-m(x-2).聯(lián)立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.易錯(cuò)警示在設(shè)直線方程時(shí),若設(shè)方程為y=kx+m,則要考慮斜率不存在的情況;若設(shè)方程為x=ty+n,則要考慮斜率為0的情況.3.(2014四川文,20,13分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(-2,0),離心率為63.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),T為直線x=-3上一點(diǎn),過F作TF的垂線交橢圓于P,Q.當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí),求四邊形OPTQ的面積.解析(1)由已知可得,ca=63,c=2,所以a=6.又由a2=b2+c2,解得b=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x26+y22=1.(2)設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,m),則直線TF的斜率kTF=m-0-3-(-2)=-m.當(dāng)m0時(shí),直線PQ的斜率kPQ=1m,直線PQ的方程是x=my-2.當(dāng)m=0時(shí),直線PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得x=my-2,x26+y22=1.消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式=16m2+8(m2+3)>0,所以y1+y2=4mm2+3,y1y2=-2m2+3,x1+x2=m(y1+y2)-4=-12m2+3.因?yàn)樗倪呅蜲PTQ是平行四邊形,所以O(shè)P=QT,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2).所以x1+x2=-12m2+3=-3,y1+y2=4mm2+3=m,解得m=1.此時(shí),S四邊形OPTQ=2SOPQ=212|OF|y1-y2|=24mm2+32-4-2m2+3=23.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力.考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)1.(2018課標(biāo)文,4,5分)已知橢圓C:x2a2+y24=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.13B.12C.22D.223答案C2.(2018課標(biāo),12,5分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是C的左頂點(diǎn),點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上,PF1F2為等腰三角形,F1F2P=120,則C的離心率為()A.23B.12C.13D.14答案D3.(2017課標(biāo),10,5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.63B.33C.23D.13答案A考點(diǎn)三直線與橢圓的位置關(guān)系1.(2015安徽,20,13分)設(shè)橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為510.(1)求E的離心率e;(2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn).證明:MNAB.解析(1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為23a,13b,又kOM=510,從而b2a=510.進(jìn)而a=5b,c=a2-b2=2b.故e=ca=255.(2)證明:由N是AC的中點(diǎn)知,點(diǎn)N的坐標(biāo)為a2,-b2,可得NM=a6,5b6.又AB=(-a,b),從而有ABNM=-16a2+56b2=16(5b2-a2).由(1)的計(jì)算結(jié)果可知a2=5b2,所以ABNM=0,故MNAB.評(píng)析本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及利用向量法證明線線垂直,較難.2.(2014北京文,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OAOB,求線段AB長(zhǎng)度的最小值.解析(1)由題意,知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y22=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故橢圓C的離心率e=ca=22.(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因?yàn)镺AOB,所以O(shè)AOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.又x02+2y02=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=x0+2y0x02+(y0-2)2=x02+y02+4y02x02+4=x02+4-x022+2(4-x02)x02+4=x022+8x02+4(0<x024).因?yàn)閤022+8x024(0<x024),且當(dāng)x02=4時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|28.故線段AB長(zhǎng)度的最小值為22.評(píng)析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的關(guān)系以及弦長(zhǎng)問題的求解.考查方程思想、函數(shù)思想以及整體代換思想的應(yīng)用,同時(shí)考查考生的運(yùn)算求解能力.正確選擇參數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,再利用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍.本題對(duì)理科學(xué)生有很好的借鑒作用.3.(2014課標(biāo),20,12分)設(shè)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直.直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為34,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根據(jù)c=a2-b2及題設(shè)知Mc,b2a,2b2=3ac.將b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=12或ca=-2(舍去).故C的離心率為12.(2)由題意,知原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故b2a=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則2(-c-x1)=c,-2y1=2,即x1=-32c,y1=-1.代入C的方程,得9c24a2+1b2=1.將及c=a2-b2代入得9(a2-4a)4a2+14a=1.解得a=7,b2=4a=28.故a=7,b=27.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.4.(2015江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過F的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P,C,若PC=2AB,求直線AB的方程.解析(1)由題意,得ca=22且c+a2c=3,解得a=2,c=1,則b=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.(2)當(dāng)ABx軸時(shí),AB=2,又CP=3,不合題意.當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將直線AB的方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,則x1,2=2k22(1+k2)1+2k2,C的坐標(biāo)為2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.若k=0,則線段AB的垂直平分線為y軸,與左準(zhǔn)線平行,不合題意.從而k0,故直線PC的方程為y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為-2,5k2+2k(1+2k2),從而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2).因?yàn)镻C=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=1.此時(shí)直線AB的方程為y=x-1或y=-x+1.評(píng)析本題在考查橢圓基本性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程的同時(shí),著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和方程思想.C組教師專用題組1.(2017課標(biāo),12,5分)設(shè)A,B是橢圓C:x23+y2m=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿足AMB=120,則m的取值范圍是()A.(0,19,+)B.(0,39,+)C.(0,14,+)D.(0,34,+)答案A2.(2015課標(biāo),5,5分)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為12,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案B3.(2015浙江,15,4分)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是.答案224.(2015陜西,20,12分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為12c.(1)求橢圓E的離心率;(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=52的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.解析(1)過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到該直線的距離d=bcb2+c2=bca,由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得離心率ca=32.(2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意得,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=10.易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2.由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12.從而x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓E的方程為x212+y23=1.解法二:由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.依題意得,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱,且|AB|=10.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2,兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB與x軸不垂直,則x1x2,所以AB的斜率kAB=y1-y2x1-x2=12.因此直線AB的方程為y=12(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=1+122|x1-x2|=52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2).由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3.故橢圓E的方程為x212+y23=1.評(píng)析本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí),巧妙利用根與系數(shù)的關(guān)系或點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程是求解的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及方程思想的應(yīng)用能力.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共15分)1.(2019屆天津耀華中學(xué)第二次月考,7)已知橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在橢圓上,AF1F1F2=0,AF1AF2=c2,則橢圓的離心率e等于()A.33B.3-12C.5-12D.22答案C2.(2018天津河西一模,6)已知三個(gè)實(shí)數(shù)2,m,8構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線x2m+y22=1的離心率為()A.22B.3C.22或3D.22或62答案C3.(2018天津南開中學(xué)第三次月考,8)已知點(diǎn)F1,F2分別是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)B是短軸端點(diǎn),直線BF2與橢圓C相交于另一點(diǎn)D.若F1BD是等腰三角形,則橢圓C的離心率為()A.13B.33C.22D.63答案B二、填空題(每小題5分,共5分)4.(2018天津一中5月月考,13)已知點(diǎn)P(x,y)在橢圓x23+2y23=1上運(yùn)動(dòng),則1x2+21+y2的最小值是.答案95三、解答題(共40分)5.(2019屆天津南開中學(xué)統(tǒng)練,19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn).解析本題考查了圓錐曲線的方程以及圓錐曲線與直線位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題.(1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn).又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不經(jīng)過點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.因此1b2=1,1a2+34b2=1,解得a2=4,b2=1.故C的方程為x24+y2=1.(2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2.如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t0,且|t|<2,可得A,B的坐標(biāo)分別為t,4-t22,t,-4-t22.則k1+k2=4-t2-22t-4-t2+22t=-1,得t=2,不符合題設(shè).從而可設(shè)l:y=kx+m(m1).將y=kx+m代入x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題設(shè)可知=16(4k2-m2+1)>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2,由于k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)4m2-44k2+1+(m-1)-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí),>0,于是l:y=-m+12x+m,即y+1=-m+12(x-2),所以l過定點(diǎn)(2,-1).6.(2018天津河?xùn)|一模,19)已知點(diǎn)(0,-1)是中心在原點(diǎn),長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為22,左右焦點(diǎn)分別為F1和F2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)點(diǎn)M是線段OF2(不包括端點(diǎn))上的一點(diǎn),過點(diǎn)F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn),若MPQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形,求點(diǎn)M到直線l的距離的取值范圍.解析(1)由題意可設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),由點(diǎn)(0,-1)是橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn),可得b=1,由e=ca=22,a2-b2=c2,解得a=2,c=1,故橢圓C的方程為x22+y2=1.(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0),0<m<1,直線l的方程為y=k(x-1),k0,由y=k(x-1),x22+y2=1消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為N(x0,y0),則x1+x2=4k21+2k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1+2k2,x0=x1+x22=2k21+2k2,y0=y1+y22=-k1+2k2,即N2k21+2k2,-k1+2k2,MPQ是以M為頂點(diǎn)的等腰三角形,MNPQ,-k1+2k22k21+2k2-mk=-1,即k2m(1+2k2)-2k2=-1,m=k21+2k2=12+1k20,12,設(shè)點(diǎn)M到直線l:kx-y-k=0的距離為d,則d2=k2(m-1)21+k2=k2(k2+1)(1+2k2)2<14(k2+k2+1)2(1+2k2)2=14,d0,12,即點(diǎn)M到直線l的距離的取值范圍是0,12.7.(2018天津耀華中學(xué)一模,19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(3,0),且經(jīng)過點(diǎn)-1,32,點(diǎn)M是y軸上的一點(diǎn),過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)若AM=2MB,且直線l與圓O:x2+y2=425相切于點(diǎn)N,求|MN|的長(zhǎng).解析(1)由題意知a2-b2=c2=3,(-1)2a2+322b2=1,解得a2=4,b2=1,故橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)顯然直線l的斜率存在,設(shè)M(0,m),直線l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),直線l與圓O:x2+y2=425相切,|m|1+k2=25,即m2=425(k2+1),由x24+y2=1,y=kx+m,消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,>0恒成立,x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)4k2+1,由AM=2MB,得x1=-2x2,解得x1=-16km1+4k2,x2=8km1+4k2,x1x2=-128k2m2(1+4k2)2=4(m2-1)1+4k2,化簡(jiǎn)得-32k2m21+4k2=m2-1,把代入可得48k4+16k2-7=0,解得k2=14,m2=15,在RtOMN中,可得|MN|=15-425=15,故|MN|的長(zhǎng)為15.