第二節(jié)兩條直線的位置關(guān)系最新考綱1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第145頁(yè))1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解3三種距離公式P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1直線系方程(1)平行于直線AxByC0的直線系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直線AxByC0的直線系方程：BxAy0.2兩直線平行或重合的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20平行或重合的充要條件是A1B2A2B10.3兩直線垂直的充要條件直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20垂直的充要條件是A1A2B1B20.4過(guò)直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5與對(duì)稱(chēng)問(wèn)題相關(guān)的兩個(gè)結(jié)論(1)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2ax0,2by0)；(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線ykxb的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x，y)，則有可求出x，y.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(4)兩條平行直線2xy10,4x2y10間的距離是0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，則a的值為()A.B2C.1D.1C由題意知1，|a1|，又a>0，a1.2已知P(2，m)，Q(m,4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m_.1由題意可得1，解得m1.3直線2x2y10，xy20之間的距離是_ 先將2x2y10化為xy0，則兩平行線間的距離為d.4若直線2xy10，yx1，yax2交于一點(diǎn)，則a的值為_(kāi)由得即直線2xy10與yx1相交于點(diǎn)(9，8)又因?yàn)橹本€2xy10，yx1，yax2交于一點(diǎn)，所以89a2，解得a.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第146頁(yè))考點(diǎn)1兩條直線的位置關(guān)系確定兩條直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)已知兩直線l1：mx8yn0和l2：2xmy10，試確定m，n的值，使(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y軸上的截距為1.解(1)由題意得解得即m1，n7時(shí)，l1與l2相交于點(diǎn)P(m，1)(2)l1l2，解得或即m4，n2或m4，n2時(shí)，l1l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)2m8m0，即m0時(shí)，l1l2.又1，n8.即m0，n8時(shí)，l1l2，且l1在y軸上的截距為1.兩條直線平行或重合的充要條件是A1B2A2B1，使用此公式可避免討論，但要驗(yàn)證兩直線是否重合教師備選例題已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否能平行；(2)當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值解(1)由得a1，即當(dāng)a1時(shí)，l1與l2平行(2)由l1l2得a2(a1)0，解得a.1.經(jīng)過(guò)兩條直線2x3y100和3x4y20的交點(diǎn)，且垂直于直線3x2y2 0190的直線方程為_(kāi)2x3y20解方程組得兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，因?yàn)樗笾本€垂直于直線3x2y2 0190，所以所求直線的斜率為k，所以所求直線方程為y2(x2)，即2x3y20.2“a1”是“直線ax2y80與直線x(a1)y40平行”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件A由兩直線平行得，解得a1，因此“a1”是兩直線平行的充要條件，故選A.考點(diǎn)2距離問(wèn)題1點(diǎn)到直線的距離的求法可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)求，但要注意此時(shí)直線方程必須為一般式2兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離(2)利用兩平行線間的距離公式1.已知點(diǎn)P(2,3), 點(diǎn)Q是直線l：3x4y30上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A2B.C.D.B因?yàn)辄c(diǎn)Q是直線l：3x4y30上的動(dòng)點(diǎn)，所以|PQ|的最小值為點(diǎn)P到直線l的距離，即.故選B.2若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.B. C.D.C因?yàn)?，所以?xún)芍本€平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為，故選C.3若兩平行直線l1：x2ym0(m0)與l2：2xny60之間的距離是，則mn()A0B1 C2D1C由兩直線平行得.解得n4，m3，所以直線l2的方程為x2y30又l1，l2之間的距離是，所以，解得m2或m8(舍去)，所以mn2(4)2，故選C.解答T1，T2時(shí)，關(guān)鍵是把兩點(diǎn)距離的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離和兩條平行線間的距離考點(diǎn)3對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng))中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱(chēng)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解(2)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；求出一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再利用兩對(duì)稱(chēng)直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程；軌跡法，設(shè)對(duì)稱(chēng)直線上任一點(diǎn)M(x，y)，其關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在已知直線上直線axy3a10恒過(guò)點(diǎn)M，則直線2x3y60關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線方程為()A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120D由axy3a10，可得a(x3)y10.令可得M(3,1)設(shè)所求對(duì)稱(chēng)直線上任意一點(diǎn)為P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N(6x,2y)，由題意點(diǎn)N在直線2x3y60上，2(6x)3(2y)60，即2x3y120，故選D.本例題也可通過(guò)對(duì)稱(chēng)直線和原直線平行，設(shè)出所求直線，然后利用點(diǎn)M到兩直線的距離相等求解軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(關(guān)于直線對(duì)稱(chēng))軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩個(gè)類(lèi)型及求解方法(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱(chēng)，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B0，x1x2)(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸相交；二是已知直線與對(duì)稱(chēng)軸平行已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m的方程解(1)設(shè)A(x，y)，由已知得解得所以A.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M必在m上設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a，b)，則解得M.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又因?yàn)閙經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，所以由兩點(diǎn)式得直線m方程為9x46y1020.(1)對(duì)直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，要先判斷兩直線是相交還是平行，然后再確定具體解法(2)斜率存在時(shí)，和x軸或y軸對(duì)稱(chēng)的兩條直線斜率互為相反數(shù)教師備選例題已知直線l1：xy30，直線l：xy10.若直線l1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線為l2，直線l2的方程為_(kāi)xy50法一：因?yàn)閘1l，所以l2l，設(shè)直線l2的方程為xym0(m3，且m1)因?yàn)橹本€l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，所以l1與l間的距離等于l2與l間的距離由兩平行直線間的距離公式，得，解得m5或m3(舍去)所以直線l2的方程為xy50.法二：由題意知l1l2，設(shè)直線l2的方程為xym0(m3，且m1)在直線l1上取點(diǎn)M(0,3)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a，b)，于是有解得即M(4，1)把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入l2的方程，得m5，所以直線l2的方程為xy50.1.已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為_(kāi)6xy60設(shè)點(diǎn)M(3,4)關(guān)于直線l：xy30的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a，b)，則反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)M，所以解得a1，b0.又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.2已知直線l：3xy30，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；(2)直線xy20關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱(chēng)直線解(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x，y)，kPP·kl1，即×31.又PP的中點(diǎn)在直線3xy30上，3×30.由得把x4，y5代入得x2，y7，點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,7)(2)用分別代換xy20中的x，y，得關(guān)于l對(duì)稱(chēng)的直線方程為20，化簡(jiǎn)得7xy220.(3)在直線l：3xy30上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱(chēng)直線平行于l，k3，對(duì)稱(chēng)直線方程為y13×(x2)，即3xy50.