第2練復(fù)數(shù)與平面向量明晰考情1.命題角度：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和幾何意義；以平面圖形為背景，考查平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積.2.題目難度：復(fù)數(shù)題目為低檔難度，平面向量題目為中低檔難度.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與四則運(yùn)算要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位.若b0，則abi為實(shí)數(shù)；若b0，則abi為虛數(shù)；若a0且b0，則abi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR).(4)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|r(r0，rR).(5)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)除法的關(guān)鍵是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù).1.(2018全國)等于()A.iB.iC.iD.i答案D解析i.故選D.2.已知a，bR，i是虛數(shù)單位.若ai與2bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(abi)2等于()A.54iB.54iC.34iD.34i答案D解析由已知得a2，b1，即abi2i，(abi)2(2i)234i.故選D.3.已知i是虛數(shù)單位，a，bR，則“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)ab1時(shí)，(abi)2(1i)22i，反過來(abi)2a2b22abi2i，則a2b20,2ab2，解得a1，b1或a1，b1.故“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要條件，故選A.4.復(fù)數(shù)z(12i)(3i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是_.答案5解析z(12i)(3i)55i.故z的實(shí)部為5.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義要點(diǎn)重組(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR).(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)平面向量.5.設(shè)aR，若(13i)(1ai)R(i是虛數(shù)單位)，則a等于()A.3B.3C.D.答案B解析(13i)(1ai)1ai3i3a，(13i)(1ai)R，虛部為0，則a30，a3.6.(2018株洲質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)zi，則|z|等于()A.B.C.D.2答案A解析由(1i)zi，得zi，|z|.7.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別是，則|z1z2|_.答案2解析由題意知，z12i，z2i，z1z22，|z1z2|2.8.已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第_象限.答案二解析因?yàn)閕4nkik(nZ)，且ii2i3i40，所以ii2i3i2019ii2i3i1i1，所以z(1i)i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.考點(diǎn)三平面向量的線性運(yùn)算方法技巧(1)向量加法的平行四邊形法則：共起點(diǎn)；三角形法則：首尾相連；向量減法的三角形法則：共起點(diǎn)連終點(diǎn)，指向被減.(2)已知O為平面上任意一點(diǎn)，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是存在s，t，使得st，且st1，s，tR.(3)證明三點(diǎn)共線問題，可轉(zhuǎn)化為向量共線解決.9.(2018全國)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意圖如圖所示.()().故選A.10.如圖，在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A.B.C.1D.3答案B解析，mm.又B，N，P三點(diǎn)共線，m1，m.11.如圖，在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若，則等于()A.2B.C.D.答案D解析方法一如圖以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，(1,1).，解得故.方法二以，作為基底，M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，又，因此解得所以.12.若|a|1，|b|，且|a2b|，則向量a與向量b夾角的大小是_.答案解析由|a2b|，得|a|24ab4|b|27，14ab437，ab.cosa，b，又0a，b，a，b.考點(diǎn)四平面向量的數(shù)量積方法技巧(1)向量數(shù)量積的求法：定義法，幾何法(利用數(shù)量積的幾何意義)，坐標(biāo)法.(2)向量運(yùn)算的兩種基本方法：基向量法，坐標(biāo)法.13.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若為實(shí)數(shù)，(ba)c，則的值為()A.B.C.D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1，2)，又c(3,4)，且(ba)c，所以(ba)c0，即3(1)243380，解得.14.(2017全國)已知ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則()的最小值是()A.2B.C.D.1答案B解析方法一(解析法)建立坐標(biāo)系如圖所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(1，0)，C(1,0).圖設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則P(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.當(dāng)且僅當(dāng)x0，y時(shí)，()取得最小值，最小值為.故選B.方法二(幾何法)如圖所示，2(D為BC的中點(diǎn))，則()2.圖要使最小，則與方向相反，即點(diǎn)P在線段AD上，則(2)min2|，問題轉(zhuǎn)化為求|的最大值.又當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上時(shí)，|2，|22，()min(2)min2.故選B.15.(2016全國)已知向量，則ABC等于()A.30B.45C.60D.120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.16.在平面內(nèi)，6，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足|2，則|2的最大值是_.答案16解析由已知易得ABC是等邊三角形且邊長為2.設(shè)O是ABC的中心，則|2.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(2,0)，B(1，)，C(1，).設(shè)P(x，y)，由已知|2，得(x2)2y24.，M，|2，它表示圓(x2)2y24上的點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)D(1，3)的距離的平方的，|max228，|16.1.(2017全國)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4答案B解析設(shè)zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R).對(duì)于p1，若R，即R，則b0，即zabiaR，所以p1為真命題；對(duì)于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，則ab0.當(dāng)a0，b0時(shí)，zabibiR，所以p2為假命題；對(duì)于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，則a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因?yàn)閍1b2a2b10D/a1a2，b1b2，所以p3為假命題；對(duì)于p4，若zR，即abiR，則b0abiaR，所以p4為真命題.故選B.2.在ABC中，有如下命題，其中正確的是_.(填序號(hào))；0；若()()0，則ABC為等腰三角形；若>0，則ABC為銳角三角形.答案解析在ABC中，錯(cuò)誤；若>0，則B是鈍角，ABC是鈍角三角形，錯(cuò)誤.3.已知向量a(1,2)，b(1,1)，且a與ab的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.答案解析ab(1，2)，由a(ab)>0，可得>.又a與ab不共線，0.故>且0.解題秘籍(1)復(fù)數(shù)的概念是考查的重點(diǎn)，虛數(shù)及純虛數(shù)的意義要把握準(zhǔn)確.(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算中除法運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)，運(yùn)算時(shí)要分母實(shí)數(shù)化(分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù))，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件在復(fù)數(shù)運(yùn)算中經(jīng)常用到.(3)注意向量夾角的定義和范圍.在ABC中，和的夾角為B；向量a，b的夾角為銳角要和ab>0區(qū)別開來(不要忽視向量共線情況，兩向量夾角為鈍角類似處理).1.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3等于()A.iB.3iC.iD.3i答案C解析i3ii2ii.故選C.2.已知bi(a，bR)，則ab等于()A.1B.1C.2D.2答案B解析方法一由已知可得a2i(bi)i，即a2ibi1.由復(fù)數(shù)相等可得所以ab1.方法二2aibi，由復(fù)數(shù)相等可得解得所以ab1.3.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案B解析1i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知，1i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,1)，該點(diǎn)位于第二象限，故選B.4.(2018安慶模擬)在ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)和，使得，則等于()A.B.C.2D.2答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以存在tR，使得tt.因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn)，所以()(t1)t.又，所以(t1)，t，所以.5.“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“a0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案D解析由題意得za3i，若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則a<0，故選D.6.(2018通州期末)ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若0，且|，則等于()A.B.C.3D.2答案C解析0，故點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，且ABC為直角三角形，又ABC的外接圓的半徑為1，|，BC2，AB1，CA，BCA30，|cos3023.7.已知a>0，2，則a等于()A.2B.C.D.1答案B解析2，即a23.又a>0，a.8.(2018梧州模擬)在ABC中，AB2，AC3，BC，若向量m滿足|m2|3，則|m|的最大值與最小值的和為()A.7B.8C.9D.10答案D解析由AB2，AC3，BC，得BC2AB2AC2，即A為直角.以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，設(shè)m的終點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，|m2|3，(x4)2(y3)29，故|m|的最大值與最小值分別為圓(x4)2(y3)29上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值，故最大值為538，最小值為532，即最大值與最小值之和為10，故選D.9.已知z134i，z2ti，且z12是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t_.答案解析z2ti，2ti，z12(34i)(ti)3t3i4ti4i2(3t4)(4t3)i.又z12是實(shí)數(shù)，4t30，即t.10.若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積之比為_.答案解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由53，得3322，即32.故C，M，D三點(diǎn)共線，如圖所示，也就是ABM與ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積之比為.11.已知z1i，則z2的共軛復(fù)數(shù)是_.答案13i解析z1i，z2(1i)22i1i2i13i，z2的共軛復(fù)數(shù)是13i.12.(2018瓦房店模擬)直線axy20與圓C：x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，若2，則a_.答案解析圓心到直線的距離是d.又圓的半徑是2, 由2，得|cosACB2，解得cosACB，0ACB，ACB，cos，a.