第12練數(shù)列的基本運(yùn)算及性質(zhì)明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算，考查數(shù)列的通項及求和.2.題目難度：中檔難度或較難難度考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列要點(diǎn)重組(1)在等差數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(2)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差數(shù)列(4)在等比數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(5)在等比數(shù)列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列(當(dāng)q1時，n不能為偶數(shù))1(2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A12B10C10D12答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故選B.2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a91，S180，當(dāng)Sn取最大值時n的值為()A7B8C9D10答案C解析方法一設(shè)公差為d，則a18d1且18a1d0，解得a117，d2，所以Sn17nn(n1)n218n，當(dāng)n9時，Sn取得最大值，故選C.方法二因為S18180，所以a1a18a9a100，所以a101，即數(shù)列an中前9項為正值，從第10項開始為負(fù)值，故其前9項之和最大故選C.3已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和，a764，a1a5a320，則S5等于()A31B63C16D127答案A解析設(shè)公比為q(q>0)，因為a1a5a320，所以aa3200，即(a35)(a34)0，a3>0，a34，a7a3q464，q2，a11.所以S531，故選A.4設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1(n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53，23,19,37,82中，則6q_.答案9解析由題意知，數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合53，23，19,37,82中，說明an有連續(xù)四項在集合54，24，18,36,81中，由于an中連續(xù)四項至少有一項為負(fù)，q<0，又|q|>1，an的連續(xù)四項為24,36，54,81，q，6q9.考點(diǎn)二數(shù)列的通項與求和方法技巧(1)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解(2)利用an求通項時，要注意檢驗n1的情況5數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，則a2019等于()A.B.C.D.答案C解析數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，1，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)n，2019，解得a2019.6已知數(shù)列an滿足a1a2a3an(nN*)，且對任意nN*都有<t，則t的取值范圍為()A.B.C.D.答案D解析數(shù)列an滿足a1a2a3an(nN*)，當(dāng)n1時，a12；當(dāng)n2時，a1a2a3an1，可得an22n1，n2，當(dāng)n1時，a12滿足上式，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為.<.對任意nN*都有<t，t的取值范圍是.7(2018全國)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.8在已知數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且當(dāng)n2時，有1成立，則S2017_.答案解析當(dāng)n2時，由1，得2(SnSn1)anSnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以n1，故Sn，則S2017.考點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題、可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項an、前n項和Sn的關(guān)系(2)和不等式有關(guān)的數(shù)列問題，可以利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等求最值來解決9已知函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，若數(shù)列的前n項和為Sn，則S20的值為()A.B.C.D.答案A解析因為f(x)x2ax，所以f(x)2xa，又函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，所以f(0)a2，所以f(x)x22x，所以，所以S20.10已知等差數(shù)列an的前n項和Snn2bnc，等比數(shù)列bn的前n項和Tn3nd，則向量a(c，d)的模為()A1B.C.D無法確定答案A解析由等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模為1.11設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_答案64解析由已知a1a310，a2a4a1qa3q5，兩式相除得，解得q，a18，所以a1a2an8n12(n1)，拋物線f(n)的對稱軸為n，又nN*，所以當(dāng)n3或4時，a1a2an取最大值為2664.12已知函數(shù)f(x)3|x5|2|x2|，數(shù)列an滿足a1<2，an1f(an)，nN*.若要使數(shù)列an成等差數(shù)列，則a1的取值集合為_答案解析因為f(x)所以若數(shù)列an成等差數(shù)列，則當(dāng)a1為直線yx11與直線yx11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即a111時，數(shù)列an是以11為首項，11為公差的等差數(shù)列；當(dāng)f(a1)a1，即5a119a1或a111a1，即a1或a1時，數(shù)列an是以0為公差的等差數(shù)列，因此a1的取值集合為.1在數(shù)列an中，a11，a22，當(dāng)整數(shù)n1時，Sn1Sn12(SnS1)都成立，則S15等于()A210B211C224D225答案B解析當(dāng)n1時，Sn1SnSnSn12，an1an2，n2，an1an2，n2.數(shù)列an從第二項開始組成公差為2的等差數(shù)列，S15a1(a2a15)114211.2已知數(shù)列an滿足：an1an(12an1)，a11，數(shù)列bn滿足：bnanan1，則數(shù)列bn的前2017項的和S2017_.答案解析由an1an(12an1)，可得2，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故1(n1)22n1，所以an.又bnanan1，所以S2017.3已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_答案解析由題意，得a2a12，a3a24，anan12(n1)，n2，累加整理可得ann2n33，n2，當(dāng)n1時，a133也滿足，n1(nN*)由函數(shù)f(x)x1(x0)的單調(diào)性可知，的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個又f(6)，f(5)，min.解題秘籍(1)利用anSnSn1尋找數(shù)列的關(guān)系，一定要注意n2這個條件(2)數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解，但要考慮最值取到的條件1等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前6項和為()A24B3C3D8答案A解析由已知條件可得a11，d0，由aa2a6，可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.2(2017浙江)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d，2S510a120d.若d0，則21d20d，10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，則10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件故選C.方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件故選C.3已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|等于()A9B15C18D30答案C解析由an1an2可得數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.4已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A2B3C4D5答案D解析7，驗證知，當(dāng)n1,2,3,5,11時為整數(shù)5在數(shù)列an中，已知a1a2an2n1，則aaa等于()A(2n1)2B.C4n1D.答案D解析設(shè)Sn為an的前n項和，Sna1a2an2n1，當(dāng)n2時，Sn12n11，an2n1(2n11)2n1，a4n1，當(dāng)n1時，a11也符合上式，所以aaa.6設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項和，若3，則等于()A2B.C.D1或2答案B解析設(shè)S2k，則S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列(易知數(shù)列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故選B.7設(shè)an是任意等差數(shù)列，它的前n項和、前2n項和與前4n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()A2XZ3YB4XZ4YC2X3Z7YD8XZ6Y答案D解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X，YX，S3nY，ZS3n成等差數(shù)列，S3n3Y3X，又2(S3nY)(YX)(ZS3n)，4Y6XYXZ3Y3X，8XZ6Y.8若數(shù)列an滿足a11，且對于任意的nN*都有an1ann1，則等于()A.B.C.D.答案D解析由an1ann1，得an1ann1，則a2a111，a3a221，a4a331，anan1(n1)1，n2.以上等式相加，得ana1123(n1)n1，n2，把a(bǔ)11代入上式得，an123(n1)n，n2，2，n2，當(dāng)n1時，a11也滿足，2，nN*，則22.9已知數(shù)列an的前m(m4)項是公差為2的等差數(shù)列，從第m1項起，am1，am，am1，成公比為2的等比數(shù)列若a12，則m_，an的前6項和S6_.答案428解析由題意，得am1a1(m2)d2m6，am2m4，則由2，解得m4，所以數(shù)列an的前6項依次為2,0,2,4,8,16，所以S628.10若Sn為數(shù)列an的前n項和，且2Snan1an，a14，則數(shù)列an的通項公式為an_.答案解析因為2Snan1an，a14，所以n1時，244a2，解得a22.n2時，2Sn1anan1，可得2anan1ananan1，所以an0(舍去)或an1an12.n2時，an1an12，可得數(shù)列an的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別為等差數(shù)列所以a2k142(k1)2k2，kN*，a2k22(k1)2k，kN*.所以an11對于正項數(shù)列an，定義Hn為an的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn，則數(shù)列an的通項公式為_答案an(nN*)解析由Hn可得a12a23a3nan，所以a1，a12a23a3(n1)an1(n2)，得nan，所以an，n2.又當(dāng)n1時，a1也滿足上式，所以an，nN*.12已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Snn22n，bnanan1cos(n1)，數(shù)列bn的前n項和為Tn，若Tntn2對nN*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是_答案(，5解析n1時，a1S13.n2，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.n1時也成立，所以an2n1.所以bnanan1cos(n1)(2n1)(2n3)cos(n1)，n為奇數(shù)時，cos(n1)1，n為偶數(shù)時，cos(n1)1.因此當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn355779911(2n1)(2n3)354(7112n1)1542n26n7.因為Tntn2對nN*恒成立，所以2n26n7tn2，t272，所以t2.當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn355779911(2n1)(2n3)4(59132n1)2n26n.因為Tntn2對nN*恒成立，所以2n26ntn2，t2，所以t5.綜上可得t5.