新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料高考真題備選題庫(kù)第3章 三角函數(shù)、解三角形第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考點(diǎn) 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用1(2013江蘇，16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車(chē)到B，在B處停留1 min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，cos A，cos C.(1)求索道AB的長(zhǎng)；(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解：本題考查正弦、余弦定理，二次函數(shù)的最值，兩角和的正弦公式，不等式的解法，意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力(1)在ABC中，因?yàn)閏os A，cos C，所以sin A，sin C.從而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.由正弦定理，得AB×sin C×1 040(m)所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時(shí)，甲行走了(10050t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故當(dāng)t(min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理，得BC×sin A×500(m)乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(281)550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在，(單位：m/min)范圍內(nèi)2(2010福建，12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由解：法一：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則S .故當(dāng)t時(shí)，Smin10，此時(shí)v30.即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30.故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇法二：(1)若相遇時(shí)小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向?yàn)檎狈较蛟O(shè)小艇與輪船在C處相遇在RtOAC中，OC20cos 30°10，AC20sin 30°10.又AC30t，OCvt.此時(shí)，輪船航行時(shí)間t，v30.即，小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)猜想v30時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船在D處相遇，此時(shí)ADDO30t.又OAD60°，所以ADDOOA20，解得t.據(jù)此可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度的大小為30海里/小時(shí)，這樣，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇證明如下：如圖，由(1)得OC10，AC10；故OC>AC，且對(duì)于線段AC上任意點(diǎn)P，有OPOC>AC.而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇設(shè)COD(0°<<90°)，則在RtCOD中，CD10tan ，OD.由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t和t，所以，.由此可得，v.又v30，故sin(30°).從而，30°<90°.由于30°時(shí)，tan取得最小值，且最小值為.于是，當(dāng)30°時(shí)，t取得最小值，且最小值為.法三：(1)同法一或法二(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇依據(jù)題意得：v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，(v2900)t2600t4000.()若0<v<30，則由360 0001 600(v2900)1 600(v2675)0，得v15.從而，t，v15，30)當(dāng)t時(shí)，令x，則x0,15)，t，當(dāng)且僅當(dāng)x0即v15時(shí)等號(hào)成立當(dāng)t時(shí)，同理可得<t.由、得，當(dāng)v15，30)時(shí)，t>.()若v30，則t；綜合()、()可知，當(dāng)v30時(shí)，t取最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，OAOBAB20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇