壓軸小題突破練(3)1如圖，過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)F(c,0)(c0)，作圓x2y2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若2，則雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案C解析由2，得()，可知E為PF的中點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為F，則O為FF的中點(diǎn)，|PF|2|OE|a，又|PF|PF|2a，|PF|3a，E為切點(diǎn)，OEPF，PFPF，|PF|2|PF|2|FF|2，10a24c2，e.2在ABC中，BC7，AC6，cosC.若動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)(R)，則點(diǎn)P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為()A5B10C2D4答案A解析設(shè)，所以(1)(1)，則B，P，D三點(diǎn)共線，故P點(diǎn)的軌跡為直線BD.則點(diǎn)P的軌跡與直線BC，AC圍成的封閉區(qū)域?yàn)锽CD及其內(nèi)部區(qū)域因?yàn)閟inC，則SBCDBCCDsinC765.3已知向量a，b滿足|a|2|b|0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量a，b的夾角的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析求導(dǎo)可得f(x)6x26|a|x6ab，則由函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得f(x)6x26|a|x6ab0在R上恒成立，即x2|a|xab0恒成立，故判別式a24ab0恒成立，再由|a|2|b|0，可得8|b|28|b|2cosa，b，cosa，b，又a，b0，a，b.4設(shè)A，B分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右頂點(diǎn)，P是雙曲線上不同于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則2ln2ln取得最小值時(shí)，雙曲線的離心率為()A.B.C.D.答案C解析設(shè)A(a,0)，B(a,0), P(x0，y0)(x0a)，點(diǎn)P在雙曲線上，得1，所以kPAkPB，即mn，2ln|m|2ln|n|42ln，設(shè)函數(shù)f(x)2lnx(x>0), f(x)，所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增f(x)minf，即mn，又基本不等式等號(hào)成立的條件為當(dāng)且僅當(dāng)a24b2，所以e.5如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點(diǎn)，連接BF，交AC，CE于G，H兩點(diǎn)，記I1，I2，I3，則I1，I2，I3的大小關(guān)系是()AI1<I2<I3BI1<I3<I2CI3<I2<I1DI2<I3<I1答案C解析建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,2)，B(2,2)，C(2,0)，E(0,1)，F(xiàn)(1,0)，由求得G，由求得H，I1，I2，I30，I3<I2<I1.故選C.6在ABC中，已知9，sinBcosAsinC，SABC6，P為線段AB上的點(diǎn)，且xy，則xy的最大值為()A1B2C3D4答案C解析由題設(shè)sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinCcosA，即sinAcosC0，因?yàn)閟inA0，所以cosC0，C90，又bccosA9，故b29，即b3.ab6，故a4，c5，故建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系xOy，則A(3,0)，B(0,4)，則由題設(shè)可知P(x，y)，直線AB的方程為1且x0，y0，12，即xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x，y2時(shí)“”成立，故選C.7已知點(diǎn)M(1,0)，A，B是橢圓y21上的動(dòng)點(diǎn)，且0，則的取值范圍是()A.B1,9C.D.答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x11，y1)，(x21，y2)，(x1x2，y1y2)，由題意有(x11)(x21)y1y20，所以(x11)(x1x2)y1(y1y2)(x11)x1(x11)x2yy1y2xx1y(x11)(x21)y1y2(x11)xx11xx11x2x122，x12,2所以當(dāng)x2時(shí)，有最大值9，當(dāng)x時(shí)，有最小值，故選C.8在ABC中，AB3, AC2，BAC60，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若，則的取值范圍為()A.B.C.D.答案D解析如圖所示，以靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)為平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，A，C為另外兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形ADEC，DE與BC交于點(diǎn)F，則點(diǎn)P位于線段DF上，所以當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D處時(shí)，最小，minAD2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F處時(shí)，最大，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，max，則的取值范圍為.9如圖2，“六芒星”由兩個(gè)全等的正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對(duì)邊分別平行點(diǎn)A，B是“六芒星”(如圖1)的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界)，若xy，則xy的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系：令正三角形邊長為3，則i，ij，可得i，j，由圖知當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)有，j23，此時(shí)xy有最大值5，同理在與C相對(duì)的下頂點(diǎn)時(shí)有j23，此時(shí)xy有最小值5.10設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和，且.設(shè)點(diǎn)A是直線BC外一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為()AB.C.D答案A解析不妨取Sn3n22n，Tn4n25n，當(dāng)n1時(shí)，a1S15，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n1，驗(yàn)證得當(dāng)n1時(shí)上式成立綜上，an6n1.同理可得bn8n1，即.點(diǎn)P在直線BC上，設(shè)k，kk()(1k)k，即1k，k.11已知向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，|c|3,01，若bc0，則|ab(1)c|的最大值為_，最小值為_答案41解析設(shè)nb(1)c，|ab(1)c|an|，|n|a|an|n|a|，即|n|1|an|n|1，|n|2|b(1)c|22|b|2(1)2|c|22(1)bc429(1)2132189(01)，由二次函數(shù)性質(zhì)可得，|n|29，|n|3，1|n|1|an|n|14，|ab(1)c|的最大值為4，最小值為1.12已知拋物線y24x，其焦點(diǎn)記為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|的最小值為_答案22解析因?yàn)镕(1,0)，當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB：yk(x1)，代入y24x可得k2x2(2k24)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，不妨設(shè)x11，x21.由拋物線的定義可得|AF|x11，|BF|x21，所以|AF|x11，令x21t，則x2t1，所以|AF|2(1)，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取“”當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可求得|AF|2，|BF|2，所以|AF|1，綜上，|AF|的最小值為22.13若向量a，b滿足4a2abb21，則|2ab|的最大值為_答案解析向量a，b滿足4a2abb21，(2ab)2(2ab)28a22b2，(2ab)2(2ab)28ab，1，1，(2ab)21(2ab)21，(2ab)2，|2ab|，即|2ab|的最大值為.14已知O為ABC的外心，且.若C90，則_；若ABC60，則的最大值為_答案解析若C90，則O為AB邊的中點(diǎn)，即，0，故填.設(shè)ABC的三邊長分別為a，b，c，因?yàn)镺為ABC的外心，且，所以即化簡(jiǎn)得解得則，當(dāng)且僅當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)“”成立15如圖，在ABC中，已知，P為AD上一點(diǎn)，且滿足m，若ABC的面積為，ACB，則的最小值為_答案解析設(shè)，則(1).由平面向量基本定理可得解得m，令x，y，則SABCsinACBxy，xy4，且x>0，y>0.2x2y2xyx2y22，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2，即3x4y，即34時(shí)等號(hào)成立即min.16在ABC中，AB6，AC6，BAC，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)，若，則3取得最小值時(shí)，向量的模為_答案2解析在ABC中，AB6，AC6，BAC，可得BC6.AC2BC2AB2，即ACBC.點(diǎn)D滿足，CD2.如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,6)，B(6,0)，D(2,0)，設(shè)k(2k，6k)，(6，6)(0，6)(6，66)，2k6，6k66，2，332，當(dāng)且僅當(dāng)2時(shí)等號(hào)成立此時(shí)(6，18)，|2.17已知a，b，c是三個(gè)單位向量，且cacb>0，則對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)t，的最小值為，則ab_.答案或解析設(shè)a，c夾角為，則a，b夾角為2，21t22ac2ab22cos2cos21(t>0)，將2看作關(guān)于t的二次函數(shù)，0<cos1，t2，當(dāng)t2即t1時(shí)，即44cos2cos21，解得cos或cos.當(dāng)cos時(shí)，cos2，ab，當(dāng)cos時(shí)，cos2，ab，綜上，ab或.