模塊綜合檢測(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系為()Af(x)>g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)<g(x) D隨x值變化而變化解析：選A因為f(x)g(x)(3x2x1)(2x2x1)x22x2(x1)21>0，所以f(x)>g(x)2在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，B60，那么角A等于()A135 B90C45 D30解析：選C由正弦定理知，sin A.又a<b，B60，A<60，A45.3若關(guān)于x的不等式x23ax2>0的解集為(，1)(m，)，則am()A1 B1C2 D3解析：選D由題意，知1，m是方程x23ax20的兩個根，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得所以am3，故選D.4已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a12，a2a313，則a4a5a6等于()A40 B42C43 D45解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則2a13d13，d3，故a4a5a63a112d3212342.5在ABC中，AC，BC2，B60，則BC邊上的高等于()A. B.C. D.解析：選B由余弦定理得AB242AB2cos 607，解得AB3或AB1(舍去)，設(shè)BC邊上的高為x，由三角形面積關(guān)系得BCxABBCsin 60，解得x，故選B.6某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車今欲制造40輛甲型車和40輛乙型車，若要使所費的總工作時數(shù)最少，那么這兩家工廠工作的時間分別為()A16,8 B15,9C17,7 D14,10解析：選A設(shè)A工廠工作x小時，B工廠工作y小時，總工作時數(shù)為z，則目標函數(shù)為zxy，約束條件為作出可行域如圖所示，由圖知當(dāng)直線l：yxz過Q點時，z最小，解方程組得Q(16,8)，故A廠工作16小時，B廠工作8小時，可使所費的總工作時數(shù)最少7若log4(3x4b)log2，則ab的最小值是()A62 B72C64 D74解析：選D由log4(3a4b)log2，得log2(3a4b)log2(ab)，所以3a4bab，即1.所以ab(ab)747，當(dāng)且僅當(dāng)，即a24，b32時取等號，故選D.8定義maxa，b設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件則zmax4xy,3xy的取值范圍是()A8,10 B7,10C6,8 D7,8解析：選B做出約束條件所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示令4xy3xy，得x2y，當(dāng)x2y時，z4xy；當(dāng)x<2y時，z3xy.在同一直角坐標系中作出直線x2y0的圖象，如圖所示當(dāng)(x，y)在平面區(qū)域CDEF內(nèi)運動時(含邊界區(qū)域)，此時x2y，故z4xy，可知目標函數(shù)z4xy在D(2,2)時取到最大值10，在F(2，1)時取到最小值7；當(dāng)(x，y)在平面區(qū)域ABCF內(nèi)運動時(含邊界區(qū)域但不含線段CF)，此時x<2y，故z3xy，可知目標函數(shù)z3xy在B(2，2)時取到最大值8，在F(2,1)時z3xy7，所以在此區(qū)域內(nèi)7<z8.綜上所述，zmax4xy,3xy7，10，故選B.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分把答案填在題中橫線上)9若不等式|2xa|b的解集為x|1x4，則ab等于_解析：顯然，當(dāng)b0時，不合題意，當(dāng)b0時，由|2xa|b可得b2xab，所以x，因此解得故ab15.答案：1510在數(shù)列an中，Sn為它的前n項和，已知a23，a37，且數(shù)列an1是等比數(shù)列，則a1_，an_，Sn_.解析：令xnan1，則x24，x38，因為an1是等比數(shù)列，所以xn2n，即an2n1，a11，Snn2n12n.答案：12n12n12n11已知ABC的一個內(nèi)角為120，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則ABC的面積為_解析：由于三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，故可設(shè)三邊長分別為x4，x，x4.由一個內(nèi)角為120，知其必是最長邊x4所對的角由余弦定理得，(x4)2x2(x4)22x(x4)cos 120，2x220x0，x0(舍去)或x10，SABC(104)10sin 12015.答案：1512設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)(1)n，Sn.答案：13如果實數(shù)x，y滿足則的取值范圍是_，z的最大值為_解析：畫出可行域如圖中陰影部分所示，則A，B(3,6)，C(3,1)，的幾何意義是區(qū)域上的點與坐標原點連線的斜率，所以kOCkAB，即2.因為zk在單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，當(dāng)k時，有zmax.答案：14在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.若角B，BC邊上的中線AM，則A_，ABC的面積為_解析：由正弦定理及得，整理得2sin Bcos Asin(AC)sin B，又sin B0，所以cos A，又A(0，)，所以A.又B，ab，ACM中，由余弦定理得cos，解得b2，所以ABC的面積S22.答案：15已知實數(shù)x，y>0且xy2，則的最小值是_，此時x_，y_.解析：因為x，y>0且xy2，由于(x2y)，令x2yt，則tx2y24，有t在4，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t4時有最小值41，當(dāng)且僅當(dāng)x2，y1時取等號答案：121三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)16(14分)等差數(shù)列an的前n項和記為Sn，已知a1030，a2050.(1)求通項an；(2)若Sn242，求n.解：(1)設(shè)an的首項為a1，公差為d，則解得通項ana1(n1)d102n.(2)由Snna1d242，得12n2242，解得n11，或n22(舍去)故n11.17(15分)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(0,5)(1)求f(x)的解析式；(2)若對于任意的x1,1，不等式f(x)t2恒成立，求t的取值范圍解：(1)因為f(x)2x2bxc，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，所以2x2bxc<0的解集是(0,5)，所以0和5是方程2x2bxc0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，知5，0，所以b10，c0，所以f(x)2x210x.(2)對任意的x1,1，f(x)t2恒成立等價于對任意的x1,1，2x210xt20恒成立設(shè)g(x)2x210xt2，則由二次函數(shù)的圖象可知g(x)2x210xt2在區(qū)間1,1上為減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)10t，所以10t0，即t10，所以t的取值范圍為(，1018(15分)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和解：(1)設(shè)an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項和為.19(15分)在ABC中，BC6，點D在BC邊上，且(2ACAB)cos ABCcos C.(1)求角A的大小；(2)若AD為ABC的中線，且AC2，求AD的長；(3)若AD為ABC的高，且AD3，求證：ABC為等邊三角形解：(1)由(2ACAB)cos ABCcos C及正弦定理，有(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，得2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin B，所以cos A.因為0<A<180，所以A60.(2)由正弦定理，得sin B. 因為AB<180，所以B30，所以C90.因為D是BC的中點，所以DC3，由勾股定理，得AD.(3)證明：因為ADBCABACsin A，且AD3，BC6，sin A，所以ABAC36.因為BC2AB2AC22ABACcos A，所以AB2AC272，所以ABAC6BC，所以ABC為等邊三角形20(15分)(全國丙卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解：(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.