第25練數(shù)列的綜合問題明晰考情1.命題角度：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列、等比數(shù)列與其他知識(shí)的綜合.2.題目難度：數(shù)列在高考中一般是壓軸題，高檔難度.考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法.(3)通項(xiàng)公式法.1.(2018江蘇省如東高級(jí)中學(xué)測(cè)試)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的首項(xiàng)a11, Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足：anSn1an1Snanan1anan1(0，nN*).(1)若a1，a2，a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)在(2)的條件下，求Sn.(1)解令n1，得a2，令n2，得a2S3a3S2a2a3a2a3，所以a3.由aa1a3，得2，因?yàn)?，所以1.(2)證明當(dāng)時(shí)，anSn1an1Snanan1anan1，所以，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.(3)解由(2)知2，即，得Sn1an，當(dāng)n2時(shí)，Sn11an1，得，ananan1，即(n1)an(n2)an1，所以(n2)，所以是首項(xiàng)為的常數(shù)列，所以an(n2)，代入得Snan1.2.從數(shù)列an中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列an的一個(gè)子數(shù)列，設(shè)數(shù)列an是一個(gè)首項(xiàng)為a1，公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列(即項(xiàng)數(shù)有無限項(xiàng)).(1)若a1，a2，a5成等比數(shù)列，求其公比q；(2)若a17d，從數(shù)列an中取出第2項(xiàng)，第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，試問該數(shù)列是否為an的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由.解(1)由題設(shè)，得aa1a5，即(a1d)2a1(a14d)，得d22a1d，又d0，于是d2a1，故其公比q3.(2)設(shè)等比數(shù)列為bm，其公比q，bma2qm18dm1，由題設(shè)ana1(n1)d(n6)d.假設(shè)數(shù)列bm為an的無窮等比子數(shù)列，則對(duì)任意自然數(shù)m(m3)，都存在nN*，使anbm，即(n6)d8dm1，得n8m16，當(dāng)m5時(shí)，n8516N*，與假設(shè)矛盾，故該數(shù)列不為an的無窮等比子數(shù)列.3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.解(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，兩式相減可得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1，又a2ra1ra，所以當(dāng)r0時(shí)，數(shù)列an為：a,0，0，；當(dāng)r0，r1時(shí)，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，anr(r1)n2a.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(2)對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列，證明如下：當(dāng)r0時(shí)，由(1)知，an對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列，當(dāng)r0，r1時(shí)，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1.若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差數(shù)列，則Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1，由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，于是對(duì)于任意的mN*，且m2，am12am，從而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差數(shù)列，綜上，對(duì)于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差數(shù)列.4.(2018連云港期末)設(shè)an是公差為d(d0)且各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，bn是公比為q且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，cnanbn(nN*).(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若a1b12, c220, c364.求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.(1)證明因?yàn)?，所?常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.(2)解因?yàn)閍1b12, c220, c364，所以因?yàn)閍n的各項(xiàng)為正數(shù)，所以則an3n1, bn2n.因?yàn)閍n3n1, bn2n，所以cn(3n1)2n，所以Snci225228232n，2Sn222523(3n4)2n(3n1)2n1，得Sn43(22232n)(3n1)2n143(3n1)2n1412(2n11)(3n1)2n1(3n4)2n18，所以Sn(3n4)2n18.考點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他知識(shí)的綜合方法技巧數(shù)列和其他知識(shí)的綜合問題解題的關(guān)鍵是通過對(duì)其他知識(shí)的轉(zhuǎn)化得到數(shù)列的通項(xiàng)關(guān)系式或遞推關(guān)系式.5.(2018江蘇省如東高級(jí)中學(xué)期中)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2(nN*).(1)記bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；(2)記cn，且數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Mn，若不等式Mn<k，對(duì)任意nN*恒成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.解(1)因?yàn)镾nn2(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1，對(duì)n1適用，所以an2n1(nN*)，所以bn22n124n1，所以Tn4n.(2)因?yàn)閏n，所以Mn<，故k，從而k的最小值為.6.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2.(1)證明數(shù)列an2是等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Kn.解(1)由Tn2Snn2，得a1S1T12S11，解得a1S11，由S1S22S24，解得a24.當(dāng)n2時(shí)，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)2，即Sn2Sn12n1，Sn12Sn2n1，由得an12an2，an122(an2)，又a222(a12)，數(shù)列an2是以a123為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an232n1，即an32n12(nN*).(2)bn3n2n12n，Kn3(120221n2n1)2(12n)3(120221n2n1)n2n.記Rn120221n2n1，2Rn121222(n1)2n1n2n，由，得Rn2021222n1n2nn2n(1n)2n1，Rn(n1)2n1.Kn3(n1)2nn2n3(nN*).7.已知數(shù)列an，如果數(shù)列bn滿足b1a1，bnanan1，n2，nN*，則稱數(shù)列bn是數(shù)列an的“生成數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的通項(xiàng)為ann，寫出數(shù)列an的“生成數(shù)列”bn的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列cn的通項(xiàng)為cn2nb(其中b為常數(shù))，試問數(shù)列cn的“生成數(shù)列”qn是不是等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由；(3)已知數(shù)列dn的通項(xiàng)為dn2nn，求數(shù)列dn的“生成數(shù)列”pn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n2時(shí)，bnanan12n1，當(dāng)n1時(shí)，b1a11適合上式，bn2n1(nN*).(2)qn當(dāng)b0時(shí)，qn4n2，由于qn1qn4，此時(shí)數(shù)列cn的“生成數(shù)列”qn是等差數(shù)列.當(dāng)b0時(shí)，由于q1c12b，q262b，q3102b，此時(shí)q2q1q3q2，數(shù)列cn的“生成數(shù)列”qn不是等差數(shù)列.綜上，當(dāng)b0時(shí)，qn是等差數(shù)列；當(dāng)b0時(shí)，qn不是等差數(shù)列.(3)pn當(dāng)n1時(shí)，Tn3(323)(3225)(32n12n1)，Tn33(222232n1)(3572n1)32nn24.又當(dāng)n1時(shí)，T13，適合上式，Tn32nn24.8.已知數(shù)列an中，a11，a2a，且an1k(anan2)對(duì)任意正整數(shù)都成立，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若k，且S20152015a，求a的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列an是公比不為1的等比數(shù)列，且對(duì)任意相鄰三項(xiàng)am，am1，am2，按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若k，求Sn.解(1)當(dāng)k時(shí)，an1(anan2)，an2an1an1an，所以數(shù)列an是等差數(shù)列，此時(shí)首項(xiàng)a11，公差da2a1a1，數(shù)列an的前2015項(xiàng)和是S201520152015(20151)(a1)2015a，解得a1.(2)設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，則它的公比qa，所以amam1，am1am，am2am1.若am1為等差中項(xiàng)，則2am1amam2，即2amam1am1，解得a1，不合題意；若am為等差中項(xiàng)，則2amam1am2，即2am1amam1，化簡(jiǎn)得a2a20，解得a2(舍去a1)，所以k；若am2為等差中項(xiàng)，則2am2am1am，即2am1amam1，化簡(jiǎn)得2a2a10，解得a(舍去a1)，所以k.綜上，滿足要求的實(shí)數(shù)k有且僅有一個(gè)，k.(3)當(dāng)k時(shí)，an1(anan2)，an2an1(an1an)，an3an2(an2an1)an1an.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Sna1a2a3a4an1an(a1a2)(a3a4)(an1an)(a1a2)(a1)；當(dāng)n為奇數(shù)且n3時(shí)，Sna1a2a3a4an1ana1(a2a3)(a4a5)(an1an)a1(a2a3)a1(a1a2)1(a1).當(dāng)n1時(shí)也適合上式.綜上所述，Sn例(16分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanan，Snb1b2bn，求使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值.審題路線圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.由題意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，所以a2a420，所以解得或6分又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，所以q2，a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.8分(2)因?yàn)閎nanan2n2nn2n，9分所以Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn222232nn2n12n12n2n1.12分又Snn2n130，可得2n1230，即2n13225，14分所以n15，即n4.所以使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值為5.16分構(gòu)建答題模板第一步求通項(xiàng)：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.第二步求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和.第三步求最值：根據(jù)題目條件，建立相應(yīng)的函數(shù)或不等式，通過相應(yīng)函數(shù)最值或不等式求出最值，注意n的取值.1.(2018江蘇省蘇州吳中區(qū)模擬)設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnalog2an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比q>0，a11，q2, an2n1(nN*). (2)bn4n1(n1)，Sn(10)(411)(422)4n1(n1)012(n1)(nN*).2.已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項(xiàng)公式；(2)證明：<.(1)解由an13an1，得an13，所以3，所以是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為3，所以an3n1，因此an的通項(xiàng)公式為an(nN*).(2)證明由(1)知，an，所以，因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，3n123n1，所以，于是1，所以.3.已知數(shù)列an滿足a1，an1anp3n1nq，nN*，p，qR.(1)若q0，且數(shù)列an為等比數(shù)列，求p的值；(2)若p1，且a4為數(shù)列an的最小項(xiàng)，求q的取值范圍.解(1)若q0，則an1anp3n1.設(shè)等比數(shù)列an的公比為r.若r1，則p0；若r1，則p0，所以r3.此時(shí)an1ana1(r1)rn1p3n13n1，所以p1.綜上所述，p0或p1.(2)若p1，則an1an3n1qn，nN*，因?yàn)閍4是數(shù)列an的最小項(xiàng)，首先有a3a4且a4a5，得3q.此時(shí)，a2a11q0，a3a232q0.記f(n)an1an3n1qn(nN*)，考慮f(n1)f(n)23n1q，當(dāng)n4時(shí)，f(n1)f(n)f(4)0.綜上，a1a2a3a4，且a4a5a6a7，滿足題意.所以q的取值范圍是.4.若數(shù)列an中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列，則稱an為“等比源數(shù)列”.(1)已知在數(shù)列an中，a12，an12an1.求an的通項(xiàng)公式；試判斷an是否為“等比源數(shù)列”，并證明你的結(jié)論；(2)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，且a10，anZ(nN*).求證：an為“等比源數(shù)列”.(1)解由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列.所以an12n1，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n11.數(shù)列an不是“等比源數(shù)列”，用反證法證明如下：假設(shè)數(shù)列an是“等比源數(shù)列”，則存在三項(xiàng)am，an，ak(mnk)按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.因?yàn)閍n2n11，所以amanak，所以aamak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22n222n112mk22m12k11，兩邊同時(shí)乘21m，得到22nm12nm12k112km，即22nm12nm12k12km1，又mnk，m，n，kN*，所以2nm11，nm12，k12，km2，所以22nm12nm12k12km必為偶數(shù)，不可能為1.所以數(shù)列an中不存在任何三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成等比數(shù)列.綜上可得數(shù)列an不是“等比源數(shù)列”.(2)證明不妨設(shè)等差數(shù)列an的公差d0.當(dāng)d0時(shí)，等差數(shù)列an為非零常數(shù)數(shù)列，數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.當(dāng)d0時(shí)，因?yàn)閍nZ，則d1，且dZ，所以數(shù)列an中必有一項(xiàng)am0.為了使an為“等比源數(shù)列”，只需要an中存在第m項(xiàng)，第n項(xiàng)，第k項(xiàng)(mnk)，使得aamak成立.即am(nm)d2amam(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立.當(dāng)namm，k2amamdm時(shí)，上式成立.所以an中存在am，an，ak成等比數(shù)列.所以數(shù)列an為“等比源數(shù)列”.