二平行線分線段成比例定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平行線分線段成比例定理.2.理解平行線分線段成比例定理的推論.3.能應(yīng)用定理及推論解決相關(guān)的幾何計算問題和證明問題.知識鏈接1.對于成比例線段有下面的結(jié)論：(1)如果，那么ad_.(2)如果，那么_.(3)如果(ab，cd)，那么_.提示bc2.如圖所示，l1l2l3，ABBC23，DF15，求DE，EF的長度.提示由已知可設(shè)DE2x，EF3x，則2x3x15，x3，DE6，EF9.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.平行線分線段成比例定理文字語言三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例符號語言abc，直線m分別與a，b，c相交于點A，B，C，直線n分別與a，b，c相交于點D，E，F(xiàn)，則圖形語言作用證明分別在兩條直線上的線段成比例2.推論文字語言平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例符號語言直線DE分別與ABC的兩邊AB，AC所在直線交于D，E，且DEBC，則圖形語言作用證明三角形中的線段成比例要點一平行線分線段成比例定理的理解例1如圖，已知線段AB，在線段AB上找一點C，使ACCB.解作法：(1)過點A作適當(dāng)射線AK；(2)在射線AK上依次截取點B1，B2，B3，使AB1B1B2B2B3；(3)連接BB3；(4)過B1作B1CBB3交AB于點C，則點C即為所求.證明如下：B1CBB3，.又AB33AB1，.即ACCB.規(guī)律方法可應(yīng)用平行線分線段成比例定理來作圖，由于ACCB，所以C為線段AB的三等分點，于是作射線AK，然后在AK上依次截取AB1B1B2B2B3，連接B3B.過B1作B1CB3B，即得到點C.跟蹤演練1如圖，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC，則下列等式成立的是()A.B.C.D.解析DEBC，.又DFAC，.由知，即，.答案D要點二平行線分線段成比例定理及推論的簡單應(yīng)用例2如圖所示，已知直線FD和ABC的BC邊交于D，與AC邊交于E，與BA的延長線交于F，且BDDC.求證：AEFBECFA.證明法一如圖所示，過A作AGBC，交DF于點G.AGBC，.又BDDC，.又由AGBC，得.，即AEFBECFA.法二如圖所示，過點B作BMAC交FD的延長線于M.AEBM，.又由BMEC，知34，又12且BDDC，EDCMDB，BMEC.，即AEFBECFA.規(guī)律方法在利用平行線分線段成比例定理及推論解決問題時，常常在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形(有時需添加輔助線，構(gòu)成基本圖形)，借圖解題.本題證AEFBECFA.可先證比例式，構(gòu)造含平行線的基本圖形，利用平行線分線段成比例定理及其推論進(jìn)行證明.跟蹤演練2如圖所示，l1l2l3.求證：.證明l1l2l3，.要點三平行線分線段成比例定理及推論的綜合應(yīng)用例3如圖所示，在ABC中，CDAB于D，E為BC邊中點，延長AC，DE相交于點F.求證：.證明作EHAB交AC于點H，同理可證：，.BDC為直角三角形且E為BC邊中點，BECEDE，.規(guī)律方法通過添加輔助線，構(gòu)造基本圖形，借圖尋找合適的等量關(guān)系，再結(jié)合其他知識綜合利用，以解決問題.跟蹤演練3如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，過B的直線分別交AC，AD，CD的延長線于O，F(xiàn)，E.求證：OB2OFOE.證明ABCE，.又AFBC，.ABDE，.由得，即.由得，又由得.即OB2OEOF.1.比例的性質(zhì)這是學(xué)好本節(jié)的前提.(1)基本性質(zhì)abcdadbc.(2)合比性質(zhì)：如果，那么.(3)等比性質(zhì)：如果(bdn0)，那么.2.利用平行線轉(zhuǎn)移比例式是常用的證題技巧，當(dāng)題目中沒有平行條件而有必要轉(zhuǎn)移比例式時，常添加輔助平行線.添加的輔助線不同，解題方法也不相同.3.推論的圖形變化如圖所示.1.如圖所示，ABCD，AC，BD交于O，BO7，DO3，AC25，則AO的長為()A.10 B.7.5C.15 D.17.5解析ABCD，.，即，AO17.5.答案D2.如圖，l1l2l3，已知AB6 cm，BC3 cm，A1B14 cm，則B1C1的長為()A.6 cm B.4 cm C.3cm D.2 cm解析l1l2l3，B1C12.答案D3.如圖，E是ABCD的邊AB延長線上的一點，且，則_.解析由已知：BFAD，1，又ABDC，.答案4.如圖所示，DEBC，EFDC.求證：AD2AFAB.證明在ABC中，DEBC，.在ADC中，EFDC，即AD2AFAB.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示，ACE的中點B，D分別在AC，AE上，下列推理不正確的是()A.BDCEB.BDCEC.BDCED.BDCE解析由平行線等分線段定理的推論，易知A，B，C都正確，D錯.答案D2.如圖所示，AD是ABC的中線，點E是CA邊的三等分點，BE交AD于點F，則AFFD為()A.21 B.31 C.41 D.51解析過D作DGAC交BE于G，則DGEC，又AE2EC，AFFDAEDG2ECEC41.答案C3.如圖所示，在梯形ABCD中，BCAD，E是DC延長線上一點，AE交BD于點G，交BC于點F，下列結(jié)論：；.其中正確的個數(shù)是()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析BCAD，對，對，故也對.錯.答案C4.如圖所示，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，則AB的長為_.解析DEBC，EFCD，BC3，DE2，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案5.如圖，在ABC中，DEBC，DFAC，AE2，EC1，BC4，則BF_.解析DFAC，.BF4.答案6.如圖所示，在ABCD中，H，E分別是AD，AB延長線上一點，HE交DC于K，交AC于G，交BC于F.求證：GHGKGEGF.證明要證GHGKGEGF，即證.由ADBC得，由ABCD得，即GHGKGEGF.7.如圖所示，已知有ABCD，點N是AB延長線上一點，DN交BC于點M，則為()A.B.1 C.D.解析由CDBN得，又四邊形ABCD為平行四邊形，故ABCD，1.答案B二、能力提升8.如圖所示，ABGHCD，AB2，CD3，則GH的長是_.解析ABGH，GHCD，1，GH.答案9.如圖，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F(xiàn)分別為AD，BC上的點，且EF3，EFAB，則梯形ABFE與梯形EFCD的面積比為_.解析EFAB，且EF3(ABCD)，EF是梯形中位線，設(shè)梯形ABFE的高為h，S梯形ABFE(43)hh，S梯形EFCD(23)hh，S梯形ABFES梯形EFCDhh.答案10.已知ADEFBC，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AEBE23，AD10 cm，BC15 cm，求EF的長.解如圖，連接BD交EF于點G.，.ADEFBC，.BC15 cm，GF6 cm.同理可得EG6 cm.EFEGGF12 cm.11.如圖所示，BDDC53，E為AD的中點，求BEEF的值.解過D作DGCA交BF于G，則.E為AD的中點，DGAF，DGEAFE，EGEF.2.故11.三、探究與創(chuàng)新12.在ABC中，點D在BC邊上，過點C任作一直線與邊AB及AD分別交于點F，E.(1)如圖(1)所示，DGCF交AB于點G，當(dāng)D是BC邊的中點時，求證：；(2)如圖(2)所示，當(dāng)時，求證：；(3)如圖(3)所示，當(dāng)時，猜想：與之間是否存在著一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請寫出它們之間的關(guān)系式，并給出證明過程；若不存在，請說明理由.(1)證明DGCF，BDDC，BGFGBF.EFDG，.(2)證明過點D作DGCF交AB于點G，如題圖(2)所示，.又，DC2BDBC.DGFC，.FGBF.(3)解當(dāng)時，有關(guān)系式：.證明如下：如題圖(3)所示，過點D作DGCF交AB于點G，.又，DGFC，F(xiàn)GBF，.