第15練立體幾何明晰考情1.命題角度：空間中的平行、垂直關(guān)系的證明與探求，空間幾何體的表面積、體積，平面圖形的折疊問題.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一空間的平行、垂直關(guān)系方法技巧(1)平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構(gòu)造平行關(guān)系，利用平行四邊形構(gòu)造平行關(guān)系.(2)證明線線垂直的常用方法利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；利用勾股定理的逆定理；利用線面垂直的性質(zhì).1.如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求證：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC.證明(1)過點(diǎn)D作DOBC，O為垂足.又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，DC平面ABD.又AD平面ABD，ADDC.2.(2018江蘇)如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3.(2018全國)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn).(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離.(1)證明因?yàn)镻APCAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.如圖，連接OB.因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，所以O(shè)BAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因?yàn)镺POB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足為H，又由(1)可得OPCH，因?yàn)镺MOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得，OM，CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.考點(diǎn)二幾何體的表面積、體積方法技巧(1)空間幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和，求解時(shí)可利用相應(yīng)的面積公式計(jì)算.(2)幾何體體積的常用解法直接法；割補(bǔ)法；等積轉(zhuǎn)換法.4.(2018全國)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQDA，求三棱錐QABP的體積.(1)證明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ACADA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過點(diǎn)Q作QEAC，垂足為E，則QEDC且QEDC.由(1)知平面ACD平面ABC，又平面ACD平面ABCAC，CDAC，CD平面ACD，所以DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積VQABPSABPQE32sin4511.5.如圖，在棱長均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn).(1)求證：A1D1平面AB1D；(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱錐B1ABC的體積.(1)證明連接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點(diǎn)，B1D1BD，且B1D1BD，四邊形B1BDD1為平行四邊形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四邊形AA1D1D為平行四邊形，A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.(2)解在ABC中，邊長均為4，則ABAC，D為BC的中點(diǎn)，ADBC.平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高.在ABC中，由ABACBC4，得AD2，在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，B1BC的面積為4.三棱錐B1ABC的體積即為三棱錐AB1BC的體積V428.6.(2018龍巖質(zhì)檢)已知空間幾何體ABCDE中，BCD與CDE均為邊長為2的等邊三角形，ABC為腰長為3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點(diǎn)F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出詳細(xì)證明；(2)求三棱錐EABC的體積.解(1)如圖所示，取DC的中點(diǎn)N，取BD的中點(diǎn)M，連接MN，則MN即為所求直線.證明如下：取BC的中點(diǎn)H，連接AH，ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點(diǎn)，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理，可證EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分別為BD，DC的中點(diǎn)，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC.(2)連接DH，取CH的中點(diǎn)G，連接NG，則NGDH，NGDH，由(1)可知EN平面ABC，所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等.又BCD是邊長為2的等邊三角形，DHBC，DH，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，NG，又ACAB3，BC2，SABCBCAH2.VEABCVNABCSABCNG.考點(diǎn)三立體幾何的綜合問題方法技巧(1)和折疊有關(guān)的平行、垂直問題，關(guān)鍵是弄清折疊前后變與不變的關(guān)系，找出隱含的平行、垂直關(guān)系.(2)立體幾何中的探索性問題，可利用推理證明得出結(jié)論或利用特例得出結(jié)論，再針對(duì)一般情形給出證明.7.(2018全國)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn).(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說明理由.(1)證明由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD.證明如下：連接AC，BD，交于點(diǎn)O.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.8.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐ABCD.(1)求證：平面AOC平面BCD；(2)若三棱錐ABCD的體積為，且AOC是鈍角，求AC的長.(1)證明四邊形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，AO，CO平面AOC，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.(2)解由(1)知BD平面AOC，VABCDSAOCBD，OAOCsinAOCBD，即sinAOC2，sinAOC.又AOC是鈍角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC()2()22cos1206，AC.9.如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積；(2)證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值.解(1)AB1，AC2，BAC60，SABCABACsin60.由PA平面ABC可知，PA是三棱錐PABC的高，且PA1，三棱錐PABC的體積VSABCPA.(2)在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)B作BNAC，垂足為N，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)N作MNPA交PC于點(diǎn)M，連接BM.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，MNAC.又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN，AC平面MBN.又BM平面MBN，ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，從而NCACAN，由MNPA，得.綜上所述，在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM且.典例(12分)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(1)證明在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90，所以BCAD.1分又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.3分(2)解如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形，所以PMAD，又底面ABCD平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PM底面ABCD.4分由ABBCAD及BCAD，ABC90得四邊形ABCM為正方形，則CMAD.6分因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.8分設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2，所以xx2.解得x2(舍去)或x2.10分于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐PABCD的體積VS四邊形ABCDPM24.12分構(gòu)建答題模板第一步證關(guān)系：空間中的線面關(guān)系以線線關(guān)系為基礎(chǔ)，先尋找圖形中的線線平行或線線垂直，再利用判定定理證線面平行或線面垂直.第二步找底面：計(jì)算幾何體的體積，關(guān)鍵是確定幾何體的底面和相應(yīng)的高，理清計(jì)算的思路.第三步巧計(jì)算：利用已知條件巧妙搭建和要求體積的關(guān)系，計(jì)算所求面積或體積.1.(2018北京)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).(1)求證：PEBC；(2)求證：平面PAB平面PCD；(3)求證：EF平面PCD.證明(1)因?yàn)镻APD，E為AD的中點(diǎn)，所以PEAD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以ABAD.又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因?yàn)镻APD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FGBC，F(xiàn)GBC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EFDG.又因?yàn)镋F平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.2.(2017北京)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC；(3)當(dāng)PA平面BDE時(shí)，求三棱錐EBCD的體積.(1)證明因?yàn)镻AAB，PABC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以PA平面ABC.又因?yàn)锽D平面ABC，所以PABD.(2)證明因?yàn)锳BBC，D是AC的中點(diǎn)，所以BDAC.由(1)知PABD，又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)解因?yàn)镻A平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以DEPA1，BDDC.由(1)知PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱錐EBCD的體積VDESBDCBDDCDE.3.(2018柳州模擬)如圖，在長方形ABCD中，AB4，BC2，現(xiàn)將ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在線段AB上.(1)證明：APPB；(2)求三棱錐PEBC的表面積.(1)證明由題意知PE平面ABC，又BC平面ABC，PEBC，又ABBC且ABPEE，AB，PE平面PAB，BC平面PAB，又AP平面PAB，BCAP，又APCP且BCCPC，BC，CP平面PBC，AP平面PBC，又PB平面PBC，APPB.(2)解在PAB中，由(1)得APPB，AB4，AP2，PB2，PE，BE3，SPEB3，在RtEBC中，EB3，BC2，EC，SEBC323，SPECPECE，SPBCBCPB222，三棱錐PEBC的表面積為SSPEBSEBCSPECSPBC32.4.如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC，(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC；(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說明理由.(1)證明因?yàn)镻C平面ABCD，所以PCDC.又因?yàn)镈CAC，ACPCC，AC，PC平面PAC，所以DC平面PAC.(2)證明因?yàn)锳BDC，又由(1)知DC平面PAC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.證明如下：取PB中點(diǎn)F，連接EF，CE，CF.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF，EF平面CEF，所以PA平面CEF.