課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十九） 小題考法基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型的應(yīng)用A組107提速練一、選擇題1函數(shù)f(x)ln(x21)的圖象大致是()解析：選A函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，由f(x)ln(x)21ln(x21)f(x)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除C；又由f(0)ln 10，可排除B、D.故選A.2(2016全國(guó)卷)已知a2，b3，c25，則()AbacBabcCbca Dcab解析：選Aa24，b3，c255.yx在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，又543，cab.3(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中)設(shè)a>0，b>0，則“l(fā)og2alog2blog2(ab)”是“ab4”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若log2alog2blog2(ab)，則abab.又a>0，b>0，則有abab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，即有ab4，故充分性成立；若a4，b1，滿足ab4，但log2alog2b2，log2(ab)log25>2，即log2alog2blog2(ab)不成立，故必要性不成立，故選A.4(2019屆高三浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)xexa，g(x)ln(x2)4eax，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)x0，使f(x0)g(x0)3成立，則實(shí)數(shù)a的值為()Aln 21 Bln 21Cln 2 Dln 2解析：選Af(x)g(x)xexaln(x2)4eax，令yxln(x2)，則y1，故yxln(x2)在(2，1)上是減函數(shù)，(1，)上是增函數(shù)，故當(dāng)x1時(shí)，y有最小值101，而exa4eax4(當(dāng)且僅當(dāng)exa4eax，即xaln 2時(shí)，等號(hào)成立)，故f(x)g(x)3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立)，所以xaln 21，即aln 21.綜上所述，答案選A.5某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2017年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2020年 B2021年C2022年 D2023年解析：選B設(shè)2017年后的第n年該公司投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元由130(112%)n200，得1.12n，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得n，n4，從2021年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元6(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xln(2x)，則()Af(x)在(0,2)單調(diào)遞增Bf(x)在(0,2)單調(diào)遞減Cyf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱Dyf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱解析：選C由題易知，f(x)ln xln(2x)的定義域?yàn)?0,2)，f(x)lnx(2x)ln(x1)21，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)ln xln(2x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，所以排除A、B；又f lnlnln，f lnlnln，所以f f ln，所以排除D.故選C.7已知函數(shù)f(x)ln(x24xa)，若對(duì)任意的mR，均存在x0使得f(x0)m，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，4) B(4，)C(，4 D4，)解析：選D依題意得，函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，令函數(shù)g(x)x24xa，其值域包含(0，)，因此對(duì)于方程x24xa0，有164a0，解得a4，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是4，)，故選D.8(2018湖州模擬)已知函數(shù)f(x)x3mx3nx(m<0，n<0)，且f(x)在0,1上的最小值為，則f(x)在1,0上的最大值為()A. BC. D解析：選A令g(x)mx3nx(m<0，n<0)，則g(x)3mx2n，因?yàn)閙<0，n<0，所以g(x)<0，所以g(x)為減函數(shù)又yx3為減函數(shù)，所以f(x)為減函數(shù)當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)minf(1)mn，得mn2，當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)maxf(1)mn.9(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：選C令h(x)xa，則g(x)f(x)h(x)在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)，yh(x)的示意圖，如圖所示若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，平移yh(x)的圖象，可知當(dāng)直線yxa過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)10a，a1.當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時(shí)，僅有1個(gè)交點(diǎn)，不符合題意當(dāng)yxa在yx1下方，即a>1時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)，符合題意綜上，a的取值范圍為1，)故選C.10已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，都有>2，則不等式f(log2|3x1|)<3log|3x1|的解集為()A(，0)(0,1) B(0，)C(1,0)(0,3) D(，1)解析：選A令F(x)f(x)2x，由對(duì)任意實(shí)數(shù)x1<x2，都有>2，可得f(x1)2x1<f(x2)2x2，即F(x1)<F(x2)，所以F(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由f(1)1，得F(1)f(1)23，f(log2|3x1|)<3log|3x1|等價(jià)于f(log2|3x1|)2log2|3x1|<3，令tlog2|3x1|，則f(t)2t<3，即F(t)<3，所以t<1，即log2|3x1|<1，從而0<|3x1|<2，解得x<1，且x0.故選A.二、填空題11(2018湖州模擬)已知3ab4a8，log2a，則a_，b_.解析：由log2a可知2a，即bab2a1，又ab2a1，可得(2a)262a80，解得2a2或2a4，解得a1(不符合題意，舍去)，a2，此時(shí)b3.答案：2312(2018蕭山一中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)log4x的零點(diǎn)為x0，若x0(k，k1)，其中k為整數(shù)，則k的值為_解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，且函數(shù)在定義域上為減函數(shù)，f(2)1log421log2>0，f(3)log43log2<0，函數(shù)f(x)在(2,3)內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)x0，x0(k，k1)，k2.答案：213(2018廣州模擬)已知函數(shù)f(x)若|f(a)|2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)a0時(shí)，1a1，所以21a2，即|f(a)|2恒成立；當(dāng)a>0時(shí)，由|f(a)|2可得|1log2a|2，所以1log2a2或1log2a2，解得a8或0<a.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是8，)答案：8，)14(2019余杭地區(qū)部分學(xué)校聯(lián)合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)若方程f(x)a有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為_；不等式f(f(x)1的解集為_解析：作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，若方程f(x)a有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即直線ya與函數(shù)yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故a(0,1)設(shè)f(x)t，則不等式f(f(x)1可轉(zhuǎn)化為f(t)1，故得t0或t2，由f(x)0得x1.由f(x)2得xlog231，所以f(f(x)1的解集為1log231，)答案：(0,1)1log231，)15(2018肇慶二模)已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由已知得|f(x)|畫出函數(shù)|f(x)|的圖象如圖所示從圖象上看，要使得直線yax都在y|f(x)|圖象的下方，則a0，且yx24x在x0處的切線的斜率ka.又y(x24x)2x4，yx24x在x0處的切線的斜率k4，4a0.答案：4,016已知函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為_解析：令2xt，t1,2，則y在1,2上單調(diào)遞增當(dāng)a0時(shí)，y|t|t在1,2上單調(diào)遞增顯然成立；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y，t(0，)的單調(diào)遞增區(qū)間是，)，此時(shí)1，即0<a1時(shí)成立；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)yt，t(0，)的單調(diào)遞增區(qū)間是，)，此時(shí)1，即1a<0時(shí)成立綜上可得a的取值范圍是1,1答案：1,117(2018浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cZ)，若方程f(x)x在(0,1)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，f(1)>1，則a的最小值為_解析：設(shè)g(x)f(x)xax2(b1)xc，g(x)0在(0,1)上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為x1，x2，于是g(x)a(xx1)(xx2)，由題知故所以g(0)g(1)a2x1(1x1)x2(1x2)(當(dāng)且僅當(dāng)x1x2時(shí)等號(hào)成立)，所以1g(0)g(1)，所以a4，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a4，b3，c1時(shí)符合題意，故a的最小值為4.答案：4B組能力小題保分練1對(duì)于滿足0<b3a的任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)f(x)ax2bxc總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是()A B(1,2C1，) D(2，)解析：選D依題意，對(duì)于方程ax2bxc0，有b24ac>0，于是c<，從而>12，對(duì)滿足0<b3a的任意實(shí)數(shù)a，b恒成立令t，因?yàn)?<b3a，所以0<t3.因此12t2t1(t2)22(1,2，故>2.故選D.2已知a，b，c，d都是常數(shù)，a>b，c>d.若f(x)2 017(xa)(xb)的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是()Aa>c>b>d Ba>b>c>dCc>d>a>b Dc>a>b>d解析：選Df(x)2 017(xa)(xb)x2(ab)xab2 017，又f(a)f(b)2 017，c，d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如圖所示，由圖可知c>a>b>d，故選D.3定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2x)f(x)，且當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)ln xx1，若函數(shù)g(x)f(x)mx有7個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.B.C.D.解析：選A函數(shù)g(x)f(x)mx有7個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)的圖象與ymx的圖象有7個(gè)交點(diǎn)當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)ln xx1，f(x)1<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，且f(1)0，f(2)ln 21.由f(2x)f(x)知函數(shù)圖象關(guān)于x1對(duì)稱，而f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)f(2x)f(x2)，故f(x2)f(x)，即f(x)是周期為2的函數(shù)易知m0，當(dāng)m<0時(shí)，作出函數(shù)yf(x)與ymx的圖象，如圖所示則要使函數(shù)yf(x)的圖象與ymx的圖象有7個(gè)交點(diǎn)，需有即解得<m<.同理，當(dāng)m>0時(shí)，可得<m<.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選A.4已知函數(shù)f(x)方程f(x)2af(x)b0(b0)有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則3ab的取值范圍是()A6,11 B3,11C(6,11) D(3,11)解析：選D首先作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)，對(duì)于方程f(x)2af(x)b0，可令f(x)t，那么方程根的個(gè)數(shù)就是f(x)t1與f(x)t2的根的個(gè)數(shù)之和，結(jié)合圖象可知，要使總共有6個(gè)根，需要一個(gè)方程有4個(gè)根，另一個(gè)方程有2個(gè)根，從而可知關(guān)于t的方程t2atb0有2個(gè)根，分別位于區(qū)間(0,1)與(1,2)內(nèi)，進(jìn)一步由根的分布得出約束條件畫出可行域(圖略)，計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)z3ab的取值范圍為(3,11)，故選D.5(2018浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷)在直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn)如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過(guò)k(kN*)個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f(x)為k階格點(diǎn)函數(shù)，給出下列函數(shù)：f(x) f(x)x；f(x)3x26x31；f(x)sin4xcos4x.其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的為_(只填序號(hào))解析：函數(shù)f(x) 的圖象過(guò)格點(diǎn)(2n,2n)，其中nN，有無(wú)數(shù)個(gè)格點(diǎn)，故不是一階格點(diǎn)函數(shù)；f(x)x的圖象過(guò)格點(diǎn)(n,2n)，其中nN，有無(wú)數(shù)個(gè)格點(diǎn)，故不是一階格點(diǎn)函數(shù)；f(x)3(x1)21的圖象過(guò)格點(diǎn)(1,1)，且當(dāng)x1，xZ時(shí)，f(x)的值不是整數(shù)，故是一階格點(diǎn)函數(shù)；f(x)sin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22xcos 4x，顯然f(x)的值域?yàn)?，要使f(x)的值是整數(shù)，則f(x)1，此時(shí)cos 4x1，得x，kZ，當(dāng)且僅當(dāng)k0時(shí)，x取整數(shù)，故是一階格點(diǎn)函數(shù)答案：6(2018諸暨高三適應(yīng)性考試)已知a，b，cR(a>c)，關(guān)于x的方程|x2axb|cx恰有三個(gè)不等實(shí)根，且函數(shù)f(x)|x2axb|cx的最小值是c2，則_.解析：由關(guān)于x的方程|x2axb|cx恰有三個(gè)不等實(shí)根可知，yx2axb有兩個(gè)正的零點(diǎn)m，n(m<n)，且yx2axb與直線ycx相切，即x2(ca)xb0中0，故b.f(x)|x2axb|cx可以看成是g(x)|x2axb|與h(x)cx圖象的縱向距離由h(x)cx與yx2axb相切可知，當(dāng)xm時(shí)，縱向距離最小，即f(x)最小，即|m2amb|cmc2，而由m2amb0，可知mc.因?yàn)閙，n(m<n)是方程x2ax0的兩根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得mna，mn，即cna，cn，消去n得，c(ac).因?yàn)閍>c，所以4cac，即5.答案：5