第29課時機械能守恒定律(重點突破課)考點一機械能守恒的理解與判斷應(yīng)用機械能守恒定律時必須先判斷機械能是否守恒，對多個物體組成的系統(tǒng)，學(xué)生往往不能正確理解“只有系統(tǒng)內(nèi)彈力”做功的條件而出錯。1重力做功和重力勢能的特點(1)重力做功與路徑無關(guān)，只與始、末位置的高度差有關(guān)。(2)重力勢能是物體和地球組成的系統(tǒng)所共有的；重力勢能的大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢能的變化與參考平面的選取無關(guān)。(3)重力對物體做正功，重力勢能減小；重力對物體做負(fù)功，重力勢能增大；重力對物體做的功等于物體重力勢能變化量的負(fù)值，即WGEp。2彈性勢能(1)定義：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量。(2)大?。簭椈傻膹椥詣菽艿拇笮∨c形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，彈簧的形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈簧的彈性勢能越大。(3)彈力對物體做的功等于彈簧彈性勢能變化量的負(fù)值，即WEp。3機械能守恒定律(1)內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。(2)守恒條件：只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功。(3)常用的三種表達式守恒式E1E2或Ek1Ep1Ek2Ep2轉(zhuǎn)化式EkEp轉(zhuǎn)移式EAEB4機械能是否守恒的三種判斷方法(1)利用做功及守恒條件判斷。(2)利用機械能的定義判斷：若物體或系統(tǒng)的動能、勢能之和保持不變，則機械能守恒。(3)利用能量轉(zhuǎn)化判斷：若物體或系統(tǒng)與外界沒有能量交換，內(nèi)部也沒有機械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，則機械能守恒。典例(多選)如圖所示，下列關(guān)于機械能是否守恒的判斷正確的是()A甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒B乙圖中，斜面體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機械能守恒C丙圖中，連接A、B的繩子不可伸長，不計任何阻力和定滑輪及繩子的質(zhì)量時，A加速下落，B加速上升過程中，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒D丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒解析由題圖可知，甲圖中有重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，但物體A機械能不守恒，A錯；乙圖中物體B沿斜面勻速下滑，物體B除受重力外，還受到彈力和摩擦力作用，彈力不做功，但摩擦力做負(fù)功，物體B的機械能不守恒，B錯；丙圖中繩子張力對A做負(fù)功，對B做正功，代數(shù)和為零，A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒，C對；丁圖中小球的動能不變，勢能不變，機械能守恒，D對。答案CD(1)機械能守恒的條件絕不是合外力做的功等于零，更不是合外力為零；“只有重力或彈力做功”不等于“只受重力或彈力作用”。(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否則機械能必定不守恒。集訓(xùn)沖關(guān)1關(guān)于機械能守恒定律的適用條件，下列說法正確的是()A只有重力和彈力作用時，機械能才守恒B當(dāng)有其他外力作用時，只要合外力為零，機械能守恒C當(dāng)有其他外力作用時，只要其他外力不做功，機械能守恒D炮彈在空中飛行不計阻力時，僅受重力作用，所以爆炸前后機械能守恒解析：選C機械能守恒的條件是“只有重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功”而不是“只有重力和彈力作用”，“做功”和“作用”是兩個不同的概念，A項錯誤；物體受其他外力作用且合外力為零時，機械能可能不守恒，如拉一物體勻速上升，合外力為零，物體的動能不變，重力勢能增加，故機械能增加，B項錯誤；在炮彈爆炸過程中產(chǎn)生的內(nèi)能轉(zhuǎn)化為機械能，機械能不守恒，D項錯誤；由機械能守恒定律的特點知，C項正確。2.(2019昆明、玉溪統(tǒng)考)如圖所示，固定的傾斜光滑桿上套有一質(zhì)量為m的小球，小球與一輕質(zhì)彈簧一端相連，彈簧的另一端固定在地面上的A點，已知桿與水平面之間的夾角<45，當(dāng)小球位于B點時，彈簧與桿垂直，此時彈簧處于原長。現(xiàn)讓小球自C點由靜止釋放，在小球滑到桿底端(此時小球速度為零)的整個過程中，關(guān)于小球的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能，下列說法正確的是()A小球的動能與重力勢能之和保持不變B小球的動能與重力勢能之和先增大后減小C小球的動能與彈簧的彈性勢能之和保持不變D小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和保持不變解析：選B小球與彈簧組成的系統(tǒng)在整個過程中，機械能守恒，彈簧處于原長時彈性勢能為零，小球從C點到最低點過程中，彈簧的彈性勢能先減小后增大，所以小球的動能與重力勢能之和先增大后減小，A項錯，B項對；小球的重力勢能不斷減小，所以小球的動能與彈簧的彈性勢能之和不斷增大，C項錯；小球的初、末動能均為零，所以整個過程中小球的動能先增大后減小，所以小球的重力勢能與彈簧的彈性勢能之和先減小后增大，D項錯。3.(2018天津高考)滑雪運動深受人民群眾喜愛。某滑雪運動員(可視為質(zhì)點)由坡道進入豎直面內(nèi)的圓弧形滑道AB，從滑道的A點滑行到最低點B的過程中，由于摩擦力的存在，運動員的速率不變，則運動員沿AB下滑過程中()A所受合外力始終為零B所受摩擦力大小不變C合外力做功一定為零 D機械能始終保持不變解析：選C運動員從A點滑到B點的過程做勻速圓周運動，合外力指向圓心，不做功，故A錯誤，C正確；如圖所示，沿圓弧切線方向運動員受到的合力為零，即Ffmgsin ，下滑過程中減小，sin 變小，故摩擦力Ff變小，故B錯誤；運動員下滑過程中動能不變，重力勢能減小，則機械能減小，故D錯誤。考點二單個物體的機械能守恒單個物體的機械能守恒往往會與平拋運動、圓周運動、人造衛(wèi)星等結(jié)合到一起，構(gòu)成綜合性問題。求解這類問題時除了掌握機械能守恒的條件、規(guī)律外，還應(yīng)熟練掌握這幾種運動的特點和規(guī)律。1.平拋運動的特點和規(guī)律：平拋運動是初速度沿水平方向且只在重力作用下的運動，所以物體的機械能守恒。2.圓周運動的特點和規(guī)律：物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運動時機械能守恒；物體在豎直面內(nèi)沿光滑軌道或由繩子系著做圓周運動時，只有重力做功機械能守恒，但物體速度大小是變化的。3.衛(wèi)星進入圓形軌道穩(wěn)定運行時機械能不變，衛(wèi)星自由地繞地球做橢圓軌道運動時只有地球引力做功，其機械能守恒，而衛(wèi)星在人為變軌的過程中，機械能不守恒。典例(2019貴州七校高三聯(lián)考)如圖所示，水平傳送帶的右端與豎直面內(nèi)用內(nèi)壁光滑鋼管彎成的“9”形固定軌道相接，鋼管內(nèi)徑很小。傳送帶的運行速率為v06 m/s，將質(zhì)量 m1.0 kg的可視為質(zhì)點的滑塊無初速度地放在傳送帶A端，傳送帶長L12.0 m，“9”形軌道高H0.8 m，“9”形軌道上半部分圓弧半徑為R0.2 m，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為0.3，重力加速度g10 m/s2，求：(1)滑塊從傳送帶A端運動到B端所需要的時間；(2)滑塊滑到“9形”軌道最高點C時受到“9形”軌道的作用力大小；(3)若滑塊從“9”形軌道D點水平拋出后，恰好垂直撞在傾角 45的斜面上P點，求P、D兩點間的豎直高度。解析(1)滑塊在傳送帶上運動時，由牛頓第二定律得：mgma解得：ag3 m/s2滑塊加速到與傳送帶達到共速所需要的時間：t12 s02 s內(nèi)滑塊的位移：x1at126 m之后滑塊做勻速運動的位移：x2Lx16 m滑塊勻速運動的時間：t21 s故滑塊從傳送帶A端運動到B端所需時間：tt1t23 s。(2)滑塊由B運動到C，由機械能守恒定律得：mvC2mgHmv02在C點，“9形”軌道對滑塊的彈力與其受到的重力的合力提供做圓周運動的向心力，設(shè)“9形”軌道對滑塊的彈力方向豎直向下，由牛頓第二定律得：FNmgm解得：FN90 N。(3)滑塊由B到D運動的過程中，由機械能守恒定律得：mv02mvD2mg(H2R)設(shè)P、D兩點間的豎直高度為h，滑塊由D到P運動的過程中，由機械能守恒定律得：mvP2mvD2mgh又vDvPsin 45解得：h1.4 m。答案(1)3 s(2)90 N(3)1.4 m規(guī)律方法應(yīng)用機械能守恒定律的一般步驟集訓(xùn)沖關(guān)1.一小球以一定的初速度v0從圖示位置進入光滑的軌道，小球先進入圓軌道1，再進入圓軌道2，軌道1的半徑為R，軌道2的半徑是軌道1的1.8 倍，小球的質(zhì)量為m，若小球恰好能通過軌道2的最高點B，則小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時對軌道的壓力為()A2mgB3mgC4mg D5mg解析：選C小球恰好能通過軌道2的最高點B，有mg，小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時，有Fmg，根據(jù)機械能守恒定律，有1.6mgRmvA2mvB2，解得F4mg，由牛頓第三定律可知，小球在軌道1上經(jīng)過其最高點A時對軌道的壓力為4mg，C項正確。2.(2016全國卷)如圖，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為。一小球在A點正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點沿圓弧軌道運動。(1)求小球在B、A兩點的動能之比； (2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點。解析：(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒定律得EkAmg設(shè)小球在B點的動能為EkB，同理有EkBmg由式得5。(2)若小球能沿軌道運動到C點，則小球在C點所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足N0設(shè)小球在C點的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有Nmgm由式得，vC應(yīng)滿足mgm由機械能守恒定律得mgmvC2由式可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點。答案：(1)5(2)能沿軌道運動到C點考點三多個物體的機械能守恒對多個物體組成系統(tǒng)的機械能守恒問題，解題的關(guān)鍵是正確判斷系統(tǒng)是否符合機械能守恒的條件。尤其是對于含有彈簧的系統(tǒng)，一定不要遺漏彈簧的彈性勢能。1繩連接的物體系統(tǒng)機械能守恒常見情景三點提醒(1)分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等(2)會用兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系(3)對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機械能可能守恒2.桿連接的物體系統(tǒng)機械能守恒常見情景三大特點(1)平動時兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動時兩物體角速度相等(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒(3)對于桿和物體組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做功，則系統(tǒng)機械能守恒3.彈簧連接的物體系統(tǒng)機械能守恒題型特點由輕彈簧連接的物體系統(tǒng)，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統(tǒng)內(nèi)物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能守恒兩點提醒(1)對同一彈簧，彈性勢能的大小由彈簧的形變量完全決定，無論彈簧伸長還是壓縮(2)物體運動的位移與彈簧的形變量或形變量的變化量有關(guān)典例如圖所示，左側(cè)豎直墻面上固定半徑為R0.3 m的光滑半圓環(huán)，右側(cè)豎直墻面上與半圓環(huán)的圓心O等高處固定一光滑直桿。質(zhì)量為ma100 g的小球a套在半圓環(huán)上，質(zhì)量為mb36 g的滑塊b套在直桿上，二者之間用長為l0.4 m的輕桿通過兩鉸鏈連接?，F(xiàn)將a從半圓環(huán)的最高處由靜止釋放，使a沿半圓環(huán)自由下滑，不計一切摩擦，a、b均視為質(zhì)點，重力加速度g10 m/s2。求：(1)a滑到與圓心O等高的P點時的向心力大??；(2)a從P點下滑至桿與半圓環(huán)相切的Q點的過程中，桿對b做的功。解析(1)當(dāng)a滑到與O等高的P點時，a的速度v沿半圓環(huán)切線向下，b的速度為零，由機械能守恒定律可得：magRmav2解得v對a受力分析，由牛頓第二定律可得：F2mag2 N。(2)桿與半圓環(huán)相切時，如圖所示，此時a的速度沿桿方向，設(shè)此時b的速度為vb，則知vavbcos 由幾何關(guān)系可得：cos 0.8a從P到Q下降的高度hRcos 0.24 ma、b及桿組成的系統(tǒng)機械能守恒：maghmava2mbvb2mav2對b，由動能定理得：Wmbvb20.194 4 J。答案(1)2 N(2)0.194 4 J(1)對多個物體組成的系統(tǒng)，要注意判斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒。(2)注意尋找用繩或桿或彈簧相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。(3)列機械能守恒方程時，一般選用EkEp或EAEB的形式。 集訓(xùn)沖關(guān)1(多選)如圖，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動。不計摩擦，a、b可視為質(zhì)點，重力加速度大小為g。則()Aa落地前，輕桿對b一直做正功Ba落地時速度大小為Ca下落過程中，其加速度大小始終不大于gDa落地前，當(dāng)a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg解析：選BD由題意知，系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)某時刻a、b的速度分別為va、vb，此時輕桿與豎直桿的夾角為，分別將va、vb分解，如圖所示。因為輕桿不可伸長，所以沿輕桿的分速度v與v是相等的，即vacos vb sin 。當(dāng)a滑至地面時90，此時vb0，由系統(tǒng)機械能守恒得mghmva2，解得va，選項B正確；由于b初、末速度均為零，運動過程中其動能先增大后減小，即輕桿對b先做正功后做負(fù)功，選項A錯誤；輕桿對b的作用先是推力后是拉力，對a則先是阻力后是動力，即a的加速度在受到輕桿的向下的拉力作用時大于g，選項C錯誤；b的動能最大時，輕桿對a、b的作用力為零，此時a的機械能最小，b只受重力和支持力，所以b對地面的壓力大小為mg，選項D正確。2.如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。求：(1)斜面的傾角；(2)A獲得的最大速度vm。解析：(1)由題意可知，當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，A的加速度此時為零由牛頓第二定律：4mgsin 2mg0解得：sin ，即30。(2)由題意可知，A、B、C組成的系統(tǒng)在初始時和A沿斜面下滑至速度最大時的機械能守恒，設(shè)彈簧的形變量為x，由題意可得：2mgkx4mgxsin mgx5mvm2解得：vm2g 。答案：(1)30(2)2g 3.(2018江蘇高考)如圖所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度。細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B。質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點，B、C間的線長為3l。用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53。松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動。忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin 530.8，cos 530.6。求：(1)小球受到手的拉力大小F；(2)物塊和小球的質(zhì)量之比Mm；(3)小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T。解析：(1)由幾何知識可知ACBC，根據(jù)平衡條件得(Fmg)cos 53Mg解得FMgmg。(2)與A、B相同高度時小球上升h13lsin 53物塊下降h22l物塊和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒mgh1Mgh2解得。(3)根據(jù)機械能守恒定律，小球向下運動到最低點時，恰好回到起始點，設(shè)此時物塊受到的拉力為T，加速度大小為a，由牛頓第二定律得MgTMa對小球，沿AC方向由牛頓第二定律得Tmgcos 53ma解得T結(jié)合(2)可得T或mg或Mg。答案：(1)Mgmg(2)65(3) 考點四用機械能守恒定律解決非質(zhì)點問題非質(zhì)點運動問題一直是高考考查的難點問題，學(xué)生在解答這類問題時常常出錯，原因是不能正確找到物體的“質(zhì)心”，從而不能正確判斷物體重力勢能的變化情況或重力做功情況。1在應(yīng)用機械能守恒定律處理實際問題時，經(jīng)常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再視為質(zhì)點來處理。2物體雖然不能視為質(zhì)點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定質(zhì)量分布均勻的規(guī)則物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解。典例如圖所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動。AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜置在ABC面上，其一端D至B的距離為La?，F(xiàn)自由釋放鏈條，則：(1)鏈條下滑過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒？簡述理由；(2)鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率為多大？解析(1)鏈條在下滑過程中機械能守恒，因為斜面BC和水平面AB均光滑，鏈條下滑時只有重力做功，符合機械能守恒的條件。(2)設(shè)鏈條質(zhì)量為m，可以認(rèn)為始、末狀態(tài)的重力勢能變化是由La段下降引起的，如圖所示。該部分高度減少量hsin sin 該部分的質(zhì)量為m(La)由機械能守恒定律可得mghmv2，解得v 。答案(1)機械能守恒，理由見解析(2) (1)尋找物體狀態(tài)變化的等效長度，如本題中的“La”，可以快速準(zhǔn)確的解決非質(zhì)點問題。(2)重力勢能的變化或重力做功利用等效長度來表示，但動能的表達式一般要針對整體。(3)機械能守恒定律解決非質(zhì)點問題，猶如整體隔離法解決動力學(xué)問題。 集訓(xùn)沖關(guān)1.如圖所示，粗細(xì)均勻，兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，開始時兩邊液面高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來讓液體自由流動，當(dāng)兩液面高度相等時，右側(cè)液面下降的速度為()A. B. C. D. 解析：選A如圖所示，當(dāng)兩液面高度相等時，減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為管中所有液體的動能，根據(jù)功能關(guān)系有mghmv2，解得：v ，A正確。2如圖所示，露天娛樂場空中列車由許多節(jié)完全相同的車廂組成，列車先沿光滑水平軌道行駛，然后滑上一固定的半徑為R的空中圓形光滑軌道，若列車全長為L(L2R)，R遠大于一節(jié)車廂的長度和高度，那么列車在運行到圓形軌道前的速度至少要多大，才能使整個列車安全通過固定的圓形軌道(車廂間的距離不計)。解析：當(dāng)列車進入圓形軌道后，動能逐漸向勢能轉(zhuǎn)化，車速逐漸減小，當(dāng)車廂占滿圓形軌道時的速度最小，設(shè)此時的速度為v，列車的質(zhì)量為M，圓形軌道上那部分列車的質(zhì)量：M2R由機械能守恒定律可得：Mv02Mv2MgR又因圓形軌道頂部車廂應(yīng)滿足：mgm解得：v0 。答案：