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【教案】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

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【教案】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

21.2.6 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo) (一)知識(shí)與技能 掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用. (二)過(guò)程與方法 培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力. (三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1.滲透由特殊到一般,再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律; 2.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神. 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法 1.教學(xué)重點(diǎn):根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo). 2.教學(xué)難點(diǎn):正確理解根與系數(shù)的關(guān)系. 3.教學(xué)疑點(diǎn):一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和,兩根的積與系數(shù)的關(guān)系. 三、教學(xué)過(guò)程 (一)明確目標(biāo) 一元二次方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是x1=2,x2=3,可以發(fā)現(xiàn)x1+x2=5恰是方程一次項(xiàng)系數(shù)-5的相反數(shù),x1x2=6恰是方程的常數(shù)項(xiàng).其它的一元二次方程的兩根也有這樣的規(guī)律嗎?這就是本節(jié)課所研究的問(wèn)題,利用一元二次方程的一般式和求根公式去推導(dǎo)兩根和及兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. (二)整體感知 一元二次方程的求根公式是由系數(shù)表達(dá)的,研究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程的兩根的和,兩根的積與系數(shù)的關(guān)系.它是以一元二次方程的求根公式為基礎(chǔ).學(xué)了這部分內(nèi)容,在處理有關(guān)一元二次方程的問(wèn)題時(shí),就會(huì)多一些思想和方法,同時(shí),也為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ). 本節(jié)先由發(fā)現(xiàn)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的兩根和與兩根積與方程系數(shù)的關(guān)系,到引導(dǎo)學(xué)生去推導(dǎo)論證一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用.向?qū)W生滲透認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是由特殊到一般,再由一般到特殊,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、積極思維的精神. (三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過(guò)程 1.復(fù)習(xí)提問(wèn) (1)寫(xiě)出一元二次方程的一般式和求根公式. (2)解方程①x2-5x+6=0,②2x2+x-3=0. 觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系. 在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥下,由學(xué)生得出結(jié)論,教師提問(wèn):所有的一元二次方程的兩個(gè)根都有這樣的規(guī)律嗎? 2.推導(dǎo)一元二次方程兩根和與兩根積和系數(shù)的關(guān)系. 設(shè)x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根. 以上一名學(xué)生在板書(shū),其它學(xué)生在練習(xí)本上推導(dǎo). 由此得出,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.(一元二次方程兩根和與兩根積與系數(shù)的關(guān)系) 結(jié)論1.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1 我們就可把它寫(xiě)成 x2+px+q=0. 結(jié)論2.如果方程x2+px+q=0的兩個(gè)根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q. 結(jié)論1具有一般形式,結(jié)論2有時(shí)給研究問(wèn)題帶來(lái)方便. 練習(xí)1.(口答)下列方程中,兩根的和與兩根的積各是多少? (1)x2-2x+1=0;(2)x2-9x+10=0; (3)2x2-9x+5=0;(4)4x2-7x+1=0; (5)2x2-5x=0;(6)x2-1=0 此組練習(xí)的目的是更加熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系. 3.一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用. (1)驗(yàn)根.(口答)判定下列各方程后面的兩個(gè)數(shù)是不是它的兩個(gè)根. 驗(yàn)根是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用,應(yīng)用時(shí)要注意三個(gè)問(wèn)題:(1)要先把一元二次方程化成標(biāo)準(zhǔn)型,(2)不要漏除二次項(xiàng)系數(shù),(3)還要注意-b/a的負(fù)號(hào)。 (2)已知方程一根,求另一根. 例:已知方程2x2+kx-4=0的根是-4,求它的另一根及k的值. 答:方程的另一根是-1/2,k的值7 此題的解法是依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)未知數(shù)列方程達(dá)到目的,還可以向?qū)W生展現(xiàn)下列方法,并且作比較. 方法(二)∵  -4是方程2x2+kx-4=0的根, ∴  2×(-4)2+k×(-4)-4=0,∴  k=7. ∴  原方程可變?yōu)?x2+7x-4=0 解此方程x=-4或x=1/2 答:方程的另一個(gè)跟為1/2,k的值為7. 學(xué)生進(jìn)行比較,方法(二)不如方法(一)簡(jiǎn)單,從而認(rèn)識(shí)到根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用價(jià)值. 練習(xí):教材P.34中2. 學(xué)習(xí)筆答、板書(shū),評(píng)價(jià),體會(huì). (四)總結(jié)、擴(kuò)展 1.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行.它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系,是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具,必須熟記,為進(jìn)一步使用打下基礎(chǔ). 2.以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導(dǎo),向?qū)W生展示認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律,提倡積極思維,勇于探索的精神,借此鍛煉學(xué)生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力. 四、布置作業(yè) 1.教材P.33中A1.2.推導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系. 五、板書(shū)設(shè)計(jì) 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(一) 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系 關(guān)系的推導(dǎo) 應(yīng)用(1)驗(yàn)根 (1)…… …… (2)已知一根, 求另一根 (2)…… …… 六、教學(xué)反思 觀察、歸納、證明是研究事物的科學(xué)方法此節(jié)課在研究方程的根與系數(shù)關(guān)系時(shí),先從具體例子觀察、歸納其規(guī)律,并且先從二次項(xiàng)系數(shù)是1的方程入手,然后提出二次項(xiàng)系數(shù)不是1的,由此,猜想一般的一元二次方程 a¹1的根與系數(shù)關(guān)系,最后對(duì)此猜想的正確性作出證明.這個(gè)全過(guò)程對(duì)培養(yǎng)學(xué)生正確的思考方法很有價(jià)值. 優(yōu)點(diǎn):教學(xué)設(shè)計(jì)中補(bǔ)充了“簡(jiǎn)化的一元二次方程”的定義,對(duì)根與系數(shù)關(guān)系的敘述可以方便些.教學(xué)設(shè)計(jì)中還把根與系數(shù)關(guān)系作為兩個(gè)互逆的定理提出,可加深理解兩個(gè)性質(zhì)的不同功能.韋達(dá)定理的原定理的功能是:若已知一元二次方程,則可寫(xiě)出些方程的兩根之和的值及兩極之積的值.而其逆定理的功能是:若已知一元二次方程的兩個(gè)根,可寫(xiě)出這個(gè)方程. 缺點(diǎn):本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)注重開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維能力,但是學(xué)生理解很好,掌握起來(lái)卻很困難。教師在今后的教學(xué)中應(yīng)注意加強(qiáng)化繁為簡(jiǎn)的教學(xué)方法,也就是在課堂45分鐘內(nèi)的內(nèi)容準(zhǔn)備一定要充分、簡(jiǎn)單,使學(xué)生有成功感。還應(yīng)注意鍛煉學(xué)生們的動(dòng)手能力,課堂內(nèi)有充足的練習(xí)時(shí)間。 4 學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情,大家下載后可以自行修改

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