階段質(zhì)量檢測（二） 圓錐曲線與方程(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(安徽高考)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y2x的是()Ax21B.y21C.x21 Dy21解析：選C由雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，排除選項(xiàng)A、B，選項(xiàng)C中雙曲線的漸近線方程為y2x，故選C.2是任意實(shí)數(shù)，則方程x2y2sin 4的曲線不可能是()A橢圓 B雙曲線C拋物線 D圓解析：選C由于R，對sin 的值舉例代入判斷sin 可以等于1，這時(shí)曲線表示圓，sin 可以小于0，這時(shí)曲線表示雙曲線，sin 可以大于0且小于1，這時(shí)曲線表示橢圓3設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|PF2|432，則曲線C的離心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或解析：選A設(shè)|PF1|4k，|F1F2|3k，|PF2|2k.若曲線C為橢圓，則2a6k,2c3k，e；若曲線C為雙曲線，則2a2k,2c3k，e.4設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線y21的兩個焦點(diǎn)，P在雙曲線上，當(dāng)F1PF2的面積為2時(shí)，的值為()A2 B3C4 D6解析：選B設(shè)P(x0，y0)，又F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，(2x0，y0)，(2x0，y0)|F1F2|4，SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|1.又y1，x3(y1)6，xy46143.5設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是()A. B2,2C1,1 D4,4解析：選C準(zhǔn)線x2，Q(2,0)，設(shè)l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.當(dāng)k0時(shí)，x0，即交點(diǎn)為(0,0)，當(dāng)k0時(shí)，0，1k0或0k1.綜上，k的取值范圍是1,16直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)B(0，b)和一個焦點(diǎn)F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知2b，解得，即e.故選B.7已知|3，A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動，O為原點(diǎn)，則動點(diǎn)P的軌跡方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析：選A設(shè)P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因?yàn)閨3，所以xy9，即2(3y)29，化簡整理得動點(diǎn)P的軌跡方程是y21.8(四川高考)設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)解析：選D設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5rcos ，rsin )則兩式相減得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然符合條件的直線l有兩條當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可得2rsin (y1y2)4(x1x2)kAB.又kMC.kAB.r>2.由于M在拋物線的內(nèi)部，(rsin )2<4(5rcos )204rcos 204(2)12.|rsin |<2.|rsin |r<2r2<160<r<4.因此2<r<4.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)9以雙曲線1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_解析：雙曲線焦點(diǎn)(4,0)，頂點(diǎn)(2,0)，故橢圓的焦點(diǎn)為(2,0)，頂點(diǎn)(4,0)答案：110設(shè)P是雙曲線1(a>0)上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0，則a_.F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|3，則|PF2|_.解析：雙曲線1的一條漸近線方程為3x2y0，故a2.又P是雙曲線上一點(diǎn)，故|PF1|PF2|4，而|PF1|3，則|PF2|7.答案：2711設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：1的焦點(diǎn)，P是曲線C2：y21與C1的一個交點(diǎn)，則PF1F2的面積為_解析：由題意知|F1F2|24，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)由得則SPF1F2|F1F2|y|4.答案：12已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，則F的坐標(biāo)為_若|FA|2|FB|，則k_.解析：拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，將yk(x2)代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，則x1x2，x1x24，由|FA|2|FB|及拋物線定義得x122(x22)，即x122x2，代入x1x24，整理得xx220，解得x21或x22(舍去)所以x14，5，解得k2，又因?yàn)閗>0，所以k.答案：(2,0)13拋物線y22px(p>0)上的動點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p_，拋物線上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_解析：依題意，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是x0(x00)，則有|QF|x0的最小值是1，則p2.橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為34.答案：2414已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.則雙曲線x2y21的漸近線方程為_，若漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為_解析：由題意，雙曲線的漸近線方程為yx.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4 b bb216，所以b25，所以橢圓方程為1.答案：yx115已知二次曲線1，當(dāng)m2，1時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是_解析：m2，1，曲線方程化為1，曲線為雙曲線，e.m2，1，e.答案：，三、解答題(本大題共6小題，共74分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)P，求拋物線的方程和雙曲線的方程解：依題意，設(shè)拋物線的方程為y22px(p>0)，點(diǎn)P在拋物線上，62p.p2，所求拋物線的方程為y24x.雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x1上，c1，即a2b21，又點(diǎn)P在雙曲線上，1，解方程組得或(舍去)所求雙曲線的方程為4x2y21.17(本小題滿分15分)已知拋物線方程為y22x，在y軸上截距為2的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若OMON，求直線l的方程解：設(shè)直線l的方程為ykx2，由消去x得ky22y40.直線l與拋物線相交，解得k<且k0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，從而x1x2.OMON，x1x2y1y20，即0，解得k1符合題意，直線l的方程為yx2.18(本小題滿分15分)已知橢圓1及直線l：yxm，(1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)直線l與橢圓有公共點(diǎn)，0，據(jù)此可解得3 m3 .故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為3 ，3 (2)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2，x1x2，故|AB| ，當(dāng)m0時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長的最大值為.19(本小題滿分15分)已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，過點(diǎn)A(0，b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知定點(diǎn)E(1,0)，若直線ykx2(k0)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)，請說明理由解：(1)直線AB的方程為：bxayab0.依題意解得橢圓方程為y21.(2)假若存在這樣的k值，由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)>0.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E(1,0)，當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時(shí)，則1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.將式代入整理解得k.經(jīng)驗(yàn)證k使成立綜上可知，存在k，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E.20(本小題滿分15分)已知橢圓y21(a>1)，(1)若橢圓的上頂點(diǎn)A(0,1)到焦點(diǎn)的距離為，求橢圓的離心率(2)RtABC以A(0,1)為直角頂點(diǎn)，邊AB，AC分別與橢圓交于點(diǎn)B，C.若ABC面積的最大值為，求a的值解：(1)A(0,1)到焦點(diǎn)的距離為，a，c，e.(2)不妨設(shè)直線AB斜率k>0，則AB：ykx1，AC：yx1由得(1a2k2)x22a2kx0，解得xB，同理xC，則|AB|，同理可得，|AC|.S|AB|AC|2a42a4，令kt2，則S2a4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即a1時(shí)取等號(a1舍去)由，解得a3，或a(舍去)a3.