第4課時(shí) 分段函數(shù)定義：一般地，如果有實(shí)數(shù)a1，a2，a3k1,k,2k3b1,b2,b3且a1a2a3函數(shù)Y與自變量X之間存在k1x+b1 xa1y = k2x+b2 a1xa2 的函數(shù)解析式，則稱該函數(shù)解析式為X的分段函數(shù)。K3x+b3 a2xa3應(yīng)該指出:(一), 函數(shù)解析式這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù),并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2等幾個(gè)不同函數(shù)的簡(jiǎn)單組合,而k1x+b1, k2x+b2是函數(shù)Y的幾種不同的表達(dá)式.。所以上例中Y=這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù)，不能認(rèn)為它是兩個(gè)不同的函數(shù)，只能說(shuō)110X和110×80%X是同一函數(shù)中的自變量X在兩種不同取值范圍內(nèi)的不同表達(dá)式。(二),由于k1,k2,k3b1,b2,b3是實(shí)數(shù),所以函數(shù)Y在X的某個(gè)范圍內(nèi)的特殊函數(shù),如正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。(三),由于問(wèn)題的不同，當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù)，在這里我們不予討論。(四), 一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡(jiǎn)單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應(yīng)用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其關(guān)系式（或圖象）也不同的函數(shù)，分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上，解答時(shí)需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問(wèn)題，因此，分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型。 收費(fèi)問(wèn)題與我們的生活息息相關(guān),如水費(fèi)問(wèn)題、電費(fèi)問(wèn)題、話費(fèi)問(wèn)題等，這些收費(fèi)問(wèn)題往往根據(jù)不同的用量，采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問(wèn)題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中，下面請(qǐng)看幾例.一、話費(fèi)中的分段函數(shù)例1 （四川廣元）某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來(lái)計(jì)算話費(fèi)，月通話時(shí)間（分鐘）與相應(yīng)話費(fèi)（元）之間的函數(shù)圖象如圖1所示：（）月通話為100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)元；（）當(dāng)x100時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）月通話為280分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)多少元？ 圖1分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)圖象可觀察到，在0到100分鐘之間月話費(fèi)y(元)是月通話時(shí)間x(分鐘)的正比例函數(shù),當(dāng)x100時(shí), 月話費(fèi)y(元)是月通話時(shí)間x(分鐘)的一次函數(shù). 解：（1）觀察圖象可知月通話為100分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)40元； （2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b由圖上知：x=100時(shí),y=40；x=200時(shí),時(shí)，y=60則有,解之得所求函數(shù)關(guān)系式為.（3）把x=280代入關(guān)系式,得即月通話為280分鐘時(shí)，應(yīng)交話費(fèi)76元二、水費(fèi)中的分段函數(shù)例2（廣東）某自來(lái)水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費(fèi)辦法，某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y(元)與用水量x(噸)的函數(shù)關(guān)系如圖2.(1) 分別寫(xiě)出當(dāng)0x15和x15時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)若某戶該月用水21噸,則應(yīng)交水費(fèi)多少元?分析:本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問(wèn)題.觀察圖象可知, 0x15時(shí)y是x的正比例函數(shù); x15時(shí),y是x的一次函數(shù).解: (1)當(dāng)0x15時(shí),設(shè)y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;當(dāng)x15時(shí),設(shè)y=ax+b,將x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5 圖2(2) 當(dāng)該用戶該月用21噸水時(shí),三、電費(fèi)中分段函數(shù)例3 (廣東)今年以來(lái)，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費(fèi)辦法，若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y（元）與用電量x（度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖3所示），根據(jù)圖象解下列問(wèn)題：（1）分別寫(xiě)出當(dāng)0x100和x100時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用函數(shù)關(guān)系式，說(shuō)明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；（3）若該用戶某月用電62度，則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105元時(shí)，則該用戶該月用了多少度電？ 圖3分析:從函數(shù)圖象上看圖象分為兩段,當(dāng)0x100時(shí),電費(fèi)y是電量x的正比例函數(shù),當(dāng)x100時(shí),y是x的一次函數(shù),且函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(100,65)和(130,89),設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問(wèn)題.解: (1)設(shè)當(dāng)0x100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=kx,將x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x;設(shè)當(dāng)x100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入,得解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15綜上可得 (2)用戶月用電量在0度到100度之間時(shí),每度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65元;超出100度時(shí),每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80元.(3)用戶月用電62度時(shí),用戶應(yīng)繳費(fèi)40.3元,若用戶月繳費(fèi)105元時(shí),該戶該月用了150度電.分段函數(shù)，是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下，供學(xué)習(xí)時(shí)參考。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成工程進(jìn)度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系，該家庭共支付工資8000元（1）完成此房屋裝修共需多少天？（2）若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應(yīng)得多少元？解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，），所以，= k1×3，所以k1=，所以y=x，0x3設(shè)一次函數(shù)的解析式（合作部分）是y=k2x+b，（是常數(shù)）因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，），（5，），所以，由待定系數(shù)法得：，解得：一次函數(shù)的表達(dá)式為，所以，當(dāng)時(shí)，解得完成此房屋裝修共需9天。方法2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是，乙工作的效率：1、 乙合作的天數(shù)：（天）甲先工作了3天，完成此房屋裝修共需9天（2）由正比例函數(shù)的解析式：y=x，可知：甲的工作效率是 ，所以，甲9天完成的工作量是：，甲得到的工資是：（元）評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場(chǎng)， 10分鐘走了總路程的，估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場(chǎng)，他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖2所示（假定總路程為1），則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了（ ）A20分鐘 22分鐘 24分鐘 D26分鐘解析：步行前往考場(chǎng)，是滿足正比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，），所以，= k1×10，所以k1=，所以y=x，0x10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是，所以，步行前往考場(chǎng)需要的時(shí)間是：1÷=40（分鐘），乘出租車趕往考場(chǎng)，是滿足一次函數(shù)關(guān)系，所以，設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b，（是常數(shù)），因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（10，），（12，），所以，由待定系數(shù)法得：，解得：解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為：，所以，乘出租車趕往考場(chǎng)用的時(shí)間是：x=÷，解得：x=6分鐘，所以，先步行前往考場(chǎng)，后乘出租車趕往考場(chǎng)共用時(shí)間為：10+6=16分鐘，所以，他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了：40-16=24（分鐘），故選C。評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示，其中圖(3)中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖(4)中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（1）試寫(xiě)出第一批產(chǎn)品A的市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；（2）第一批產(chǎn)品A上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？解析：(1) 由圖3可得， 當(dāng)0t30時(shí)，市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：y=kt， 點(diǎn)（30，60）在圖象上，60=30k k=2即 y=2t， 當(dāng)30t40時(shí)，市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：y=k1t+b，因?yàn)辄c(diǎn)（30，60）和（40，0）在圖象上，所以，解得k1=6，b=240y=6t+240綜上可知，當(dāng)0t30時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量：y=2t，當(dāng)30t40時(shí)，市場(chǎng)的日銷售量：y=-6t+240。(2) 由圖4可得， 當(dāng)0t20時(shí)，市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù)，所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：w=kt， 點(diǎn)（20，60）在圖象上，60=20k k=3即 w=3t， 當(dāng)20t40時(shí)，市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù)，所以，w=60， 當(dāng)0t20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=3t×2t =6t2；k=60，所以，m隨t的增大而增大， 當(dāng)t=20時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)m最大值為：2400萬(wàn)元。 當(dāng)20t30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=60×2t =120t， k=1200，所以，m隨t的增大而增大，當(dāng)t=30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)m最大值為：3600萬(wàn)元； 當(dāng)30t40時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m60×(-6t+240)=-360t+14400；k=-3600，所以，m隨t的增大而減小，當(dāng)t30時(shí)，產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)mm最大值為：3600萬(wàn)元，綜上可知，當(dāng)t30天時(shí)，這家公司市場(chǎng)的日銷售利潤(rùn)最大為3600萬(wàn)元評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解，而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類思想的掌握情況，和對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵(lì)小強(qiáng)做家務(wù)，小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間所得獎(jiǎng)勵(lì)加上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為x小時(shí)，該月可得（即下月他可獲得）的總費(fèi)用為y元，則y（元）和x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖像如圖5所示（1）根據(jù)圖像，請(qǐng)你寫(xiě)出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)；父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)家務(wù)勞動(dòng)的？（2）若小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用，則小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時(shí)間？解：（1）從圖象上可知道，小強(qiáng)父母給小強(qiáng)的每月基本生活費(fèi)為150元 ； 當(dāng)0x20時(shí)，y（元）是x（小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k1x+150，同時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（20，200），所以，200=k1×20+150，解得：k1=2.5，所以，y=2.5x+150，當(dāng)20x時(shí)，y（元）是x（小時(shí)）的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=k2x+b，同時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)（20，200），（30，240），所以，解得：k2=4，b=120，所以，y=4x+120，所以，如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不超過(guò)20小時(shí)，每小時(shí)獲獎(jiǎng)勵(lì)2.5元；如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間超過(guò)20小時(shí)，那么20小時(shí)按每小時(shí)2.5元獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)部分按每小時(shí)4元獎(jiǎng)勵(lì) （2）從圖象上可知道，小強(qiáng)工作20 小時(shí)最多收入為200元，而5月份得到的費(fèi)用為250元，大于200元，所以說(shuō)明4月小強(qiáng)的工作時(shí)間一定超過(guò)20小時(shí)，所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20x時(shí)的一段，所以，由題意得，解得：x=32.5 答：當(dāng)小強(qiáng)4月份家務(wù)勞動(dòng)32.5小時(shí)，5月份得到的費(fèi)用為250元評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解，而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類思想的掌握情況，和對(duì)分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖6所示；乙公司每月通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示（1）觀察圖6，甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為元；（2）李女士買了一部手機(jī)，如果她的月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過(guò)100分鐘，又將如何選擇？解析：1）從圖6，可以看出，這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)，當(dāng)0t100時(shí)，話費(fèi)金額y=20；當(dāng)t100時(shí)，話費(fèi)金額y是通話時(shí)間t的一次函數(shù)，不妨設(shè)y=kt+b，且函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（100，20）和（200，40），所以，,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費(fèi)為0.2元；2)仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費(fèi)y=0.15t+2.5,當(dāng)0t100時(shí)，甲公司的話費(fèi)金額y=20；乙公司通話收費(fèi)y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通話時(shí)間不超過(guò)100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因?yàn)椋?.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，當(dāng)通話時(shí)間t=500分鐘時(shí)，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因?yàn)椋?.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，當(dāng)通話時(shí)間100t500分鐘時(shí)，選擇甲公司；因?yàn)椋?.15t+2.50.2t，所以，t500，所以，當(dāng)通話時(shí)間t500分鐘時(shí)，選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6 如圖7，矩形ABCD中，AB1，AD2，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形的邊上沿ABCM運(yùn)動(dòng)，則APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（ ）解析：1）、當(dāng)0x1，y=×x×2=x；如圖8所示；2）、當(dāng)1x3，y=1×2-××2-×（x-1）×1-××（3-x）=；如圖9所示；3）當(dāng)3x3.5，y=×（-x）×2=-x；如圖10所示；所以C、D兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，又因?yàn)楹瘮?shù)y=中的k=-0，所以直線整體應(yīng)該是分布在二、一、四象限，所以選項(xiàng)B也是錯(cuò)誤的，所以選A。評(píng)析：對(duì)于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天，小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩，從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá)目的地，游玩3小時(shí)后按原路以原速返回，小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強(qiáng)，如圖11，是他們離家的路程y(千米)與時(shí)間x(時(shí))的函數(shù)圖像。已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時(shí)，媽媽駕車的速度為60千米/時(shí)。(1)小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少？(2)媽媽出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小強(qiáng)相遇？解析：1）當(dāng)0x2，路程y(千米)是時(shí)間x(時(shí))的正比例函數(shù)，且k=15，所以y=15x；所以，當(dāng)x=2時(shí)，y=2×15=30，所以，小強(qiáng)家與游玩地的距離是30千米。2）當(dāng)2x5，路程y(千米)是時(shí)間x(時(shí))的常數(shù)函數(shù)，所以y=30；當(dāng)5x，路程y(千米)是時(shí)間x(時(shí))的一次函數(shù)，且k=-15，所以，設(shè)y=-15x+b，又圖象過(guò)點(diǎn)（5，30），所以30=-75+b，所以b=105，所以直線BD的解析式為：y=-15x+105； 仔細(xì)觀察圖象，可知道點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），且k=60，所以，設(shè)y=60x+b，所以0=280+b，所以b=-280，所以直線CD的解析式為：y=60x-280；設(shè)媽媽出發(fā)t小時(shí)出與小強(qiáng)相遇，所以，60 t -280=-15t+105，解得，t=，所以，媽媽出發(fā)經(jīng)過(guò)：-=小時(shí)與小強(qiáng)相遇。4、五段型分段函數(shù)例8、小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，下圖表示他離家的距離y（千米）與所用的時(shí)間x（小時(shí)）之間關(guān)系的函數(shù)圖象.（1）根據(jù)圖象回答：小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需幾小時(shí)？此時(shí)離家多遠(yuǎn)？（2）求小明出發(fā)兩個(gè)半小時(shí)離家多遠(yuǎn)？（3）求小明出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間距家12千米？解：（1）由圖象可知小明到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方需3小時(shí)；此時(shí)，他離家30千米（2）設(shè)直線CD的解析式為y=k1x+b1,由C（2，15）、D（3，30），代入得：y=15x-15（2x3）當(dāng)x=2.5時(shí)，y=22.5（千米）答：出發(fā)兩個(gè)半小時(shí)，小明離家22.5千米. （3）設(shè)過(guò)E、F兩點(diǎn)的直線解析式為y=k2x+b2，由E（4，30）、F（6，0），代入得y=-15x+90,(4x6)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線解析為y=k3x，B（1，15）y=15x.(0x1)分別令y=12，得x=（小時(shí)），x=（小時(shí)）答：小明出發(fā)經(jīng)過(guò)小時(shí)或小時(shí)，離家12千米。精品 Word 可修改 歡迎下載