33三角大題 三角變換與解三角形必備知識(shí)精要梳理1三角函數(shù)恒等變換四大策略常值代換特別是T的代換IF*外cos26Man45。等.(2)角的配湊如枸-p.2a=(a+p)心詢;呻“妙心詢.(3)降次與升次:正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2解三角形的公式變形正弦定理亠=-=亠的一些變式:日:b:c-sin /I: sinB:sin Csinsin4 sinB sinC力二二sin B二2,sinC=-(s)a=2Rsn Atb=2Rsn B.c 二 2 附 nG其中 /?是夕卜接圓2R2R2R的半徑(2)余弦定理耳二仔+WZ?uosA的變形為cos力少疔當(dāng)3 + 心0(-0ZZx=sin 4sinBoAB 關(guān)鍵能力學(xué)案突破熱點(diǎn)熱點(diǎn)三角函數(shù)與三角變?nèi)呛瘮?shù)與三角變換的綜合換的綜合【例1】（2020北京海淀二模,17）已知函數(shù)心）=2cos2exMsingx.求他）的值；從型二1, g =2;如二1,5 -1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為題目的已知條件， 求函數(shù)心）在-屛上的最小值，并直接寫出函數(shù)心）的 f 周期.解題心得1解決三角變換在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中的應(yīng)用的基本思路是通過變換把函 數(shù)化為y=Asm（cux+（p）的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意 利用整體思想解決相關(guān)問題.2三角變換的總體思路是化異為同,目的是通過消元減少未知量的個(gè)數(shù)如把三角函數(shù)式 中的異名、異角、異次化為同名、同角、同次，或把未知角用已知角表示，或把未知角通 過三角變換化成已知角.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2020北京東城一模,17）已知函數(shù)心）=韻2輕）-2COS，X）（0）,6 6且滿足_ （1）求函數(shù)彳力的解析式及最小正周期；（2）若關(guān)于x的方程心）-1在區(qū)間0,加上有兩個(gè)不同解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.從心）的最大值為1,心）的圖象與直線y=-3的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于兀心）的 圖象過點(diǎn)似）這三個(gè)條件中選擇 f 補(bǔ)充在上面問題中并作答.熱點(diǎn)熱點(diǎn)利用正弦走理、余弦定理利用正弦走理、余弦定理解三角形解三角形【例2 （2020山東,17）在孔二更win彳二3,詡這三個(gè)條件中任選 f 補(bǔ)充 在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.問題:是否存在3C它的內(nèi)角ABC的對(duì)邊分別為a.b.c.且sin力朋sin解題心得1.已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知兩角和一邊都能用正弦定理解三角形， 正弦定 理的形式多樣，其中a=2RsmA.b=2Rsn Bu2Rsin6（/?為三角形外接圓的半徑）能夠?qū)?現(xiàn)邊角互化.2.已知兩邊和它們的夾角或已知兩邊和一邊的對(duì)角或已知三邊都能直接運(yùn)用余弦定理 解三角形，在運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用.M 已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 （2020山東荷澤一模,17）在3韋日=2&os川acosB 朋+這 三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解決相應(yīng)問題.已知在銳角三角形ABCt角ABC的對(duì)邊分別為abc&ABC的面積為S若4S=3+“命 b 二橫且_，求的面積S的大小.熱點(diǎn)熱點(diǎn)三角函數(shù)與解三角三角函數(shù)與解三角形的綜合形的綜合【例3】（2020山東聊城二模,18）在acos B+bcos A=2ccosC2asinAcos B+bsin2A 品ABC的面積為S且+以訶,這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè),填入下 面的問題中， 并求解.在銳角三角形ABCf龜 AB,C所對(duì)的邊分別為日/乙函數(shù)心）=2精sin excoso）X，2COS2QMG0）的最小正周期為恥為心）在o=上的最大值且，求a-b的取值范圍.解題心得對(duì)于在三角形中求解有關(guān)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的題目耐亥I 不要忘記對(duì)角的 范圍的限制，特別是求三角函數(shù)值的范圍或最值時(shí)先要把自變量的取值范圍求出來再利 用三角函數(shù)的單調(diào)性或利用三角函數(shù)線確定函數(shù)值的范圍.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 （2020山東煙臺(tái)模擬,17）已知函數(shù)心）二1-2苗sinACOSx-2cox+m在R上的最大值為3.求刃的值及函數(shù)/的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若在銳角三角形力比中，角ABC的對(duì)邊分別為a,b,c且心1）旳求劑取值范圍.熱點(diǎn)熱點(diǎn)四四三角變換與解三角三角變換與解三角形的綜合形的綜合【例4（2020天津,16）在必中,角A.B.C所對(duì)的邊分別為a.b.c a-2V2,b-5, c=V13.（1）求角 Q 的大??；求sin/!的值；求sin（2Z +）的值解題心得在含有邊角關(guān)系的等式中，利用正弦定理的變形a-2/?sin 42/?sinBu2RUm C,R為三角形外接圓的半徑可直接將等式兩邊的邊化為亀也能利用余弦定 理的變形如cos力牟芋將角化為邊.在三角形中利用三角變換求三角式的值時(shí)，要注 意角的范圍的限制,還有隱含條件:力“刃,使用這個(gè)隱含條件可以減少未知數(shù)的個(gè) 數(shù).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)I練4】(2020全國(guó)Z,文13)ABC的內(nèi)角A.B.C的對(duì)邊分別為N&C已知3=150。 .若a=c.b=W,求比的面積；(2)若sin 4V3sin C二g求C.2熱點(diǎn)熱點(diǎn)五五三角函數(shù)、三角變換與解三三角函數(shù)、三角變換與解三角形的綜合角形的綜合【例5】（2020全國(guó) N 理12ABC中,sin2/Uin20dn2C=sin EsinC.求A若BC=3ABC周長(zhǎng)的最大值解題心得關(guān)于三角函數(shù)、三角變換與解三角形的綜合題的解題思路，一般是由正弦定理、余弦定理求出某個(gè)量作為下面問題的已知量，然后利用三角變換，將所求的量化為心)=Asr(u)x+(或/W二 Acos(cux+的形式最終求出結(jié)果.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)I練5】(2020浙江J8)在銳角汀比中，角43Q所對(duì)的邊分別為已知2俟inA-j3a=0.(1)求角3的大??；求cosA+cos B+cos0 的取值范圍.核心素養(yǎng)微專題（三）核心素養(yǎng)微專題（三）核心素養(yǎng)在三角應(yīng)用和三角綜合題中的考查_C【例1侈選）（2020山東濟(jì)南三模20）臺(tái)球運(yùn)動(dòng)已有五六百年的歷史參與者用球桿在臺(tái)上擊球如圖，有一張長(zhǎng)方形球臺(tái)ABCD,AB 二 2AD,現(xiàn)從角落力沿角 啲方向把球打出去, 假設(shè)和光線一樣，臺(tái)球在球臺(tái)上碰到障礙物后也遷從反射定律若球經(jīng)2次碰撞球臺(tái)邊框后恰好進(jìn)入角落 Q 的球袋中，則tan涵值為（）A；BfC.16 2 2核心素養(yǎng)分析本例考查考生多個(gè)核心素養(yǎng)，首先需要考生在讀懂題意的基礎(chǔ)上，通過直 觀想象得到兩種不同的碰撞情況;然后利用物理學(xué)中光的反射定律，通過數(shù)學(xué)抽象 得到關(guān)于角話斤在的直角三角形;再通過“數(shù)學(xué)建模將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的模型;最后 通過數(shù)學(xué)運(yùn)算得出答案.【例21（2020山東淄博4月模擬,18）已知43分別在射線不含端點(diǎn)0上運(yùn)動(dòng),乙MCNp在3Q中,角43Q所對(duì)的邊分別為abc.若日00依次成等差數(shù)列,且公差為2.求c的值；若c 皿乙 ABC 二 e,試用讎示“尤的周長(zhǎng)，并求周長(zhǎng)的最大值.核心素養(yǎng)分析本例題是一道跨章節(jié)的綜合題，在解三角形的題境下,將等差數(shù)列與余弦定 理的知識(shí)相結(jié)合，將函數(shù)和正弦定理的知識(shí)相結(jié)合，應(yīng)用到一個(gè)問題中使三角形的周長(zhǎng)的 最值問題通過建立三角函數(shù)模型得到解決考查了 數(shù)學(xué)建?！?”數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和知識(shí) 的應(yīng)用能力、遷移能力,同時(shí)也考查了方程與函數(shù)的思想.3.3 三角大題三角變換與解三角形關(guān)鍵能力學(xué)案突破【例1】 解(1)/(0) =2cos20朽in 0=2.(2)方案一:選條件心)的一個(gè)周期為TI./(A)=2cos2%-sin 2x=(cos 2x1) +sin2x=2#sin 2x丐cos2因?yàn)锳E冷, I c口3川7 TI所以2x+-e-石，邁所以-lsin2x +耳1.所以1-V2 /(A)4+B)=sinAcos B+cos4sin所以S弓mbsinC-.若選bcosA+acosB=/3*1,所以acos 3赳即a-宥獸，所以耳=6-2d.又因?yàn)榘侗?/2 辰亭二6十&-2V3C；所以6卡2-6 F-2冉解得c=4所以S弓bcsin力二苓竺【例3】 解心）=2VJsin scos u%2cos2vx=/3sin 2a;xcos2cux+l=2sin（2sx丐）1.因?yàn)閺S二/F所以e=l,/W=2sin（2% + ”） L.因?yàn)?A扌所以”s2x嶺 気所以+sin2x +4/0,所以sinAcos B-f-sin RosA=-,所以sing均尊，所以sinC 務(wù)因?yàn)?U 為銳角，所以6*4若選由4Sr/5（，仔-c2）,得2absin十仔-c2）,即sinC-%；：,）,所以sin cVcos C即tan 6阿所以 u 斗因?yàn)?,U舞所以 兀僉md=2sin 4sinB）=2短Lsin /4-sin|n-4- =2饑泊（4弓）.因?yàn)橐砸姿?v 礙 V ?,所以質(zhì)2辰in（Z斗）vVl所以a-b的取 值范圍為（-怎苗）”對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解 心）=1-2愆sinACOSx-2cos2x+/77=-Wlsin 2x+cos2A）m=-2sn（2兀+ ）+m,由已知2十力=3,得m=l,所以4A）=-2sin（2x+”）d.令2Xrn J2x-f 2kn. JxrwZ,得kn.舟xkn.-,k乙ZbLb3所以函數(shù)鞠的單調(diào)遞增區(qū)間為加甘伽弓）teZ.（2）6（1）知-2sin（24丐）門-0,所以sin（2/U?）弓05 =T-C尋所以扌今V2即知取值范圍為冷,2）.V3 12tanC+2-因?yàn)槿切螢殇J角三角形f【例4解 在“亦中,由余弦定理及錄 2 竝尸屆,可得cos又因?yàn)?金(0皿所以(2)在“必中,由正弦定理及Cga=2 血 eg可得sin力丄字= 窖. 由 mvc 及sin Z二令總可得cosAl-siA =斗鼻進(jìn)而sin 24=2sinZcos Z=|,cos 2Z=2cos2/4-l尋所以sinl2A+ 目二sin 2Zcos”cos12vy2 , S V2 17V2 i3XT+13XT=6-對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4解 由題設(shè)及余弦定理得28=3HP-2xV5Hxcosl50解得u=-2(舍去)(=2從而a =2 屈.4 ABC的面積為*x2V5x2xsin 150(2)在-ABC中,ZL80-Q=30C所以sin 4r/sin C-sin(30G&5sin C=sin(30 v-C).故sin(30+0二乎.而0 C30,所以30 /=45：故C=15.【例5】解 由正弦定理和已知BC-ACAB=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcos A.由(辱cos 4二*因?yàn)?“吋所以4二爭(zhēng).(2)由正弦定理及得鑰= =篇=2VX從而/C2曲sin3/4B=2/5sin(TT-4Q=3cosB-/3snB.故BC+AC+AB=3*V3sin 3+3cosB=3一2V5sin(B + ).又因?yàn)? vE璋所以當(dāng)B.ABC周長(zhǎng)取得最大值3+2 屁TT2眉礙=對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5解由正弦定理得2sin EsinA=y/3snA,故sin 3二劣由題意,得B 二 p.由得 C 芋 Scos力+cos恥cosQ 的取值范圍是（弓乜，!核心素養(yǎng)微專題（三）【例1】AD解析因?yàn)?養(yǎng)240現(xiàn)從角落力沿角啲方向把球打出去，球經(jīng)2次碰撞球臺(tái)邊框后恰好進(jìn)入角落 U 的球袋中，有兩種情況，一種是球先球臺(tái)邊框QU 碰撞，另一種是球先和球臺(tái)邊框碰撞,第一種情況如圖/關(guān)于 QU 的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為F.根據(jù)直線的對(duì)稱性可得tanc 疇=| = |.第二種情況如圖 X 關(guān)于3U的對(duì)稱點(diǎn)為GU關(guān)于力。的對(duì)稱點(diǎn)為根據(jù)直線的對(duì)稱性可得tan舞 =士故選AD.【例2】解 ab（依次成等差數(shù)列，且公差為2a 二 cA3c2由眈是銳角三角形，得慮TIn6r2cos / -cosB+cosC=ySin Z號(hào)cos /4*|=sinl A + ) +才 w、3+1故EDC.BG由cos U=cosA+3 m刊WMCNp即cosC 二 p由余弦定理可得彎第諾將a=cA b=c 代入得&914-0解得c=7或c=2.又 X.c=J.在SBC中，由正弦定理可得丄 J = =./ABC的周長(zhǎng)1e=AC+BC+AB=2sn升2sin+ 曲=2sin&耳cos 6又血（0冷V&嶺 營(yíng)當(dāng)&嶺巧即&斗時(shí)，心取得最大值2+翻.sinZABC sinZBAC sinZACB