第二節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理最新考綱1.理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1四個(gè)公理(1)公理1：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面)(2)公理2：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)， 那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)(即直線(xiàn)在平面內(nèi))拓展：公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)(4)公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行2直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類(lèi)(2)異面直線(xiàn)所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)范圍：(0°，90°拓展：異面直線(xiàn)判定的一個(gè)定理過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，如圖所示3空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線(xiàn)在平面內(nèi)a無(wú)數(shù)個(gè)直線(xiàn)不在平面內(nèi)直線(xiàn)與平面平行a0個(gè)直線(xiàn)與平面相交直線(xiàn)與平面斜交aA1個(gè)直線(xiàn)與平面垂直a1個(gè)(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行0個(gè)兩平面相交l無(wú)數(shù)_個(gè)4等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)唯一性定理(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行(2)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)平面，有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)，相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線(xiàn)()(2)兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合()(4)若直線(xiàn)a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線(xiàn)與a異面()答案(1)×(2)(3)×(4)×二、教材改編1已知a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c平行于直線(xiàn)a，那么c與b()A一定是異面直線(xiàn)B一定是相交直線(xiàn)C不可能是平行直線(xiàn)D不可能是相交直線(xiàn)C由已知得直線(xiàn)c與b可能為異面直線(xiàn)也可能為相交直線(xiàn)，但不可能為平行直線(xiàn)，若bc，則ab，與已知a，b為異面直線(xiàn)相矛盾2.如圖所示，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)B1C與EF所成角的大小為()A30°B45°C60°D90°C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.3下列命題正確的是()A兩個(gè)平面如果有公共點(diǎn)，那么一定相交B兩個(gè)平面的公共點(diǎn)一定共線(xiàn)C兩個(gè)平面有3個(gè)公共點(diǎn)一定重合D過(guò)空間任意三點(diǎn)，一定有一個(gè)平面D如果兩個(gè)平面重合，則排除A，B兩項(xiàng)；兩個(gè)平面相交，則有一條交線(xiàn)，交線(xiàn)上任取三個(gè)點(diǎn)都是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，故排除C項(xiàng)；而D項(xiàng)中的三點(diǎn)不論共線(xiàn)還是不共線(xiàn)，則一定能找到一個(gè)平面過(guò)這三個(gè)點(diǎn)4.如圖，在三棱錐A­BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則(1)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件_時(shí)，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿(mǎn)足條件_時(shí)，四邊形EFGH為正方形(1)ACBD(2)ACBD且ACBD(1)四邊形EFGH為菱形，EFEH，ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用共面、共線(xiàn)、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；證兩平面重合(2)證明共線(xiàn)的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上(3)證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)如圖所示，正方體ABCD­A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面(2)EFCD1，EF<CD1，CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P直線(xiàn)CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線(xiàn)DA，CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn) 本例第(1)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理2的推論，采用線(xiàn)線(xiàn)共面，則線(xiàn)上的點(diǎn)必共面的思想；本例第(2)問(wèn)的證明應(yīng)用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點(diǎn)在直線(xiàn)DA上1.(2019·衡水中學(xué)模擬)有下列四個(gè)命題：空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線(xiàn)；空間四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)；空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則此四點(diǎn)共面；空間四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，則此四點(diǎn)不共面其中真命題的所有序號(hào)有_中，對(duì)于平面四邊形來(lái)說(shuō)不成立，故是假命題；中，若四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則根據(jù)“直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”知四點(diǎn)共面，與四點(diǎn)不共面矛盾，故是真命題；由的分析可知是真命題；中，平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，但四點(diǎn)共面，故是假命題2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)證明(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)镋GFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)考點(diǎn)2判斷空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定方法1.若直線(xiàn)l1和l2是異面直線(xiàn)，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線(xiàn)，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交D法一：(反證法)由于l與直線(xiàn)l1，l2分別共面，故直線(xiàn)l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線(xiàn)矛盾故l至少與l1，l2中的一條相交法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線(xiàn)，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線(xiàn)，l1，l2都與l相交，故C不正確圖(1) 圖(2)2.(2019·全國(guó)卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()ABMEN，且直線(xiàn)BM、EN是相交直線(xiàn)BBMEN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)CBMEN，且直線(xiàn)BM、EN是異面直線(xiàn)DBMEN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)B如圖所示， 作EOCD于O，連接ON，過(guò)M作MFOD于F.連接BF，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB與EON均為直角三角形設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知EO，ON1，EN2，MF，BF，BM.BMEN.連接BD，BE，點(diǎn)N是正方形ABCD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BNDN.又M為ED的中點(diǎn)，BM，EN為DBE的中線(xiàn)，BM，EN必相交故選B.3在下列四個(gè)圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形有_(填序號(hào)) 圖中，直線(xiàn)GHMN；圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，因此直線(xiàn)GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類(lèi)問(wèn)題的三種常用便捷方法考點(diǎn)3異面直線(xiàn)所成的角1.平移法求異面直線(xiàn)所成角的一般步驟(1)作角用平移法找(或作)出符合題意的角(2)求角轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出角的大小提醒：異面直線(xiàn)所成的角.2坐標(biāo)法求異面直線(xiàn)所成的角：當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角(1)一題多解(2018·全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，則異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.(2)如圖所示，A是BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)求證：直線(xiàn)EF與BD是異面直線(xiàn)；若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角(1)C法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1OM，則MOD為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以O(shè)MAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為.故選C.法二：(坐標(biāo)法)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.法三：(補(bǔ)體法)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長(zhǎng)方體ABBA­A1B1B1A1.連接B1B，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB1·DB1·cosDB1B，即5452×2cosDB1B，cosDB1B.故選C.(2)解證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線(xiàn)，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線(xiàn)EF與BD是異面直線(xiàn)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則ACFG，EGBD，所以相交直線(xiàn)EF與EG所成的角，即為異面直線(xiàn)EF與BD所成的角又因?yàn)锳CBD，則FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45°，即異面直線(xiàn)EF與BD所成的角為45°.平移法、坐標(biāo)法和補(bǔ)體法是求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補(bǔ)體法的實(shí)質(zhì)是平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的夾角，體現(xiàn)了化歸思想教師備選例題1(2016·全國(guó)卷)平面過(guò)正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.A如圖，設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線(xiàn)m與n所成的角即直線(xiàn)B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線(xiàn)B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.2(2017·全國(guó)卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線(xiàn)與a，b都垂直，斜邊AB以直線(xiàn)AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；當(dāng)直線(xiàn)AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；直線(xiàn)AB與a所成角的最小值為45°；直線(xiàn)AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是_(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào))依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長(zhǎng)為1.由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓設(shè)直線(xiàn)a的方向向量為a(0,1,0)，直線(xiàn)b的方向向量為b(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為，0,2)，則B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.設(shè)直線(xiàn)AB與a所成夾角為，則cos |sin |，45°90°，正確，錯(cuò)誤設(shè)直線(xiàn)AB與b所成夾角為，則cos |cos |.當(dāng)直線(xiàn)AB與a的夾角為60°，即60°時(shí)，則|sin |cos cos 60°，|cos |.cos |cos |.0°90°，60°，即直線(xiàn)AB與b的夾角為60°.正確，錯(cuò)誤1. (2019·聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與BC所成角的余弦值為()A.B.C.D.D取BC的中點(diǎn)H，連接EH，AH，EHA90°，設(shè)AB2，則BHHE1，AH，所以AE，連接ED，ED，因?yàn)锽CAD，所以異面直線(xiàn)AE與BC所成角即為EAD，在EAD中cosEAD，故選D.2(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線(xiàn)；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_還原成正四面體A­DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合易知GH與EF異面，BD與MN異面連接GM，GMH為等邊三角形，GH與MN成60°角，易證DEAF，又MNAF，MNDE.因此正確命題的序號(hào)是.