第4講解三角形1.(2018江蘇南通調(diào)研)在ABC中,已知AB=1,AC=2,B=45,則BC的長(zhǎng)為.2.(2018江蘇揚(yáng)州調(diào)研)在ABC中,若sinAsinBsinC=456,則cosC的值為.3.(2018江蘇三校聯(lián)考)在ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a+2c=2b,sinB=2sinC,則cosC=.4.(2018江蘇南京、鹽城模擬)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若bsinAsinB+acos2B=2c,則ac的值為.5.(2018江蘇南京模擬)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C的值為.6.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿(mǎn)足acosB-bcosA=35c,則tanAtanB=.7.(2018南京師大附中模擬)在ABC中,已知ABAC+2BABC=3CACB,則cosC的最小值是.8.(2018江蘇南通中學(xué)模擬)在ABC中,BC邊上的中線長(zhǎng)等于BC長(zhǎng)的2倍,則sin Bsin Csin2A的最大值為.9.(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)ABC的面積為S,且4S=3(a2+c2-b2).(1)求B的大小;(2)設(shè)向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),求mn的取值范圍.10.(2018江蘇南通中學(xué)模擬)在ABC中,AB=10,BC=5,tanA-4=12.(1)求sinA的值;(2)求ABC的面積.11.(2018江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(1,2),n=cos2A,cos2A2,且mn=1.(1)求角A的大小;(2)若b+c=2a=23,求sinB-4的值.答案精解精析1.答案2+62解析由余弦定理可得2=BC2+1-2BC,即BC2-2BC-1=0,解得BC=2+62(舍負(fù)).2.答案18解析sinAsinBsinC=456,由正弦定理可得abc=456,不妨設(shè)a=4,b=5,c=6,則由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=16+25-3640=18.3.答案34解析sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c,則a=2c.由余弦定理可得cosC=2c2+2c2-c222c2=34.4.答案2解析由正弦定理及題意得sinAsin2B+sinAcos2B=2sinC,即sinA=2sinC,則ac=sinAsinC=2.5.答案6解析在ABC中,sinB=sin(A+C),則sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinCcosA+sinAsinC=0.又sinC0,則cosA+sinA=0,即tanA=-1.又A(0,),則A=34.由正弦定理得asinA=csinC,即222=2sinC,則sinC=12.又C0,4,則C=6.6.答案4解析由正弦定理可將條件acosB-bcosA=35c變形為sinAcosB-sinBcosA=35sinC,則sinAcosB-sinBcosA=35sin(A+B)=35(sinAcosB+cosAsinB),化簡(jiǎn)得sinAcosB=4sinBcosA,所以tanA=4tanB,即tanAtanB=4.7.答案23解析設(shè)ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,ABAC+2BABC=3CACB,即bccosA+2accosB=3abcosC,bcb2+c2-a22bc+2aca2+c2-b22ac=3aba2+b2-c22ab,化簡(jiǎn)得a2+2b2=3c2,則cosC=a2+b2-c22ab=2a2+b26ab226=23,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào),故最小值是23.8.答案1715解析設(shè)ABC中角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,取BC的中點(diǎn)為D,連接AD,則AD=2a.又ADB+ADC=,cosADB+cosADC=0.由余弦定理可得(2a)2+a22-c222aa2+(2a)2+a22-b222aa2=0,化簡(jiǎn)得b2+c2=172a2.又sinBsinCsin2A=sinAsinBsinC2sin2AcosA=bcsinA2a2cosAb2+c24a2tanA=178tanA,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),此時(shí)ADBC,tanA2=a22a=14,則tanA=2tanA21-tan2A2=121-116=815,所以sinBsinCsin2A178815=1715,故sinBsinCsin2A的最大值為1715.9.解析(1)由題意得412acsinB=3(a2+c2-b2),則sinB=3(a2+c2-b2)2ac,所以sinB=3cosB.因?yàn)閟inB0,所以cosB0,所以tanB=3.又0<B<,所以B=3.(2)由向量m=(sin2A,3cosA),n=(3,-2cosA),得mn=3sin2A-6cos2A=3sin2A-3cos2A-3=32sin2A-4-3.易知0<A<23,所以-4<2A-4<1312,所以-22<sin2A-4<1,所以mn的取值范圍為(-6,32-3).10.解析(1)因?yàn)閠anA-4=12,所以tanA=tanA-4+4=tanA-4+tan41-tanA-4tan4=12+11-121=3.因?yàn)閠anA>0,所以0<A<2,所以sinA=3cosA,sin2A+cos2A=1,sinA>0,解得sinA=31010,cosA=1010.所以sinA=31010.(2)在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,所以25=10+AC2-210AC1010,解得AC=5或AC=-3(舍去).所以ABC的面積S=12ABACsinA=1210531010=152.11.解析(1)由題意得mn=cos2A+2cos2A2=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA.mn=1,2cos2A+cosA=1,解得cosA=12或cosA=-1.又0<A<,cosA=12,A=3.(2)在ABC中,由余弦定理得(3)2=b2+c2-2bc12=b2+c2-bc,又b+c=23,b=23-c,代入整理得c2-23c+3=0,解得c=3,b=3,于是a=b=c=3,即ABC為等邊三角形,B=3,sinB-4=sin3-4=sin3cos4-cos3sin4=6-24.