計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 A1 Z變換A2 脈沖傳遞函數(shù)A3 閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)A4 采樣系統(tǒng)的動態(tài)分析A5 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性A6 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析 A1z變換 1z變換2z變換的性質(zhì)3z反變換4用z變換解線性差分方程 1z變換 Z變換是用來分析和綜合離散時(shí)間系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)工具 它在離散系統(tǒng)中的作用與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用是類似的 對序列 f kT 可以定義它的z變換為 在復(fù)平面上的一個(gè)適當(dāng)?shù)膮^(qū)域內(nèi) 可以保證以上級數(shù)是收斂的 這樣 F z 與f kT 就構(gòu)成了一變換對 采樣函數(shù)e t 實(shí)質(zhì)就是一個(gè)序列 其拉氏變換為 而為s的超越函數(shù) 不是有理函數(shù) 故令 則 在z變換定義中 T是采樣周期 若取T 1 則z變換還具有以下簡單形式 可以用很多方法得到采樣函數(shù)或序列的z變換 其中最常用的是直接根據(jù)定義求z變換的級數(shù)求和法 下面介紹幾類典型函數(shù)的z變換 單位階躍函數(shù)f t 1 t 的采樣函數(shù)故有 例1單位階躍函數(shù)1 t 的z變換 單位斜坡函數(shù)f t t所對應(yīng)的序列為f kT kTk 0 1 2 因此 有 例2單位斜坡函數(shù)的z變換 例3指數(shù)函數(shù)的z變換 指數(shù)函數(shù)f t e at對應(yīng)的序列f kT e akTk 0 1 2 所以 2z變換的性質(zhì) 和拉氏變換一樣 z變換也有不少重要性質(zhì) 利用這些性質(zhì)可以演算或直接分析離散時(shí)間系統(tǒng) 一 線性性質(zhì)對任何常數(shù)和 若證明 二 延遲定理 右移定理 若證明 延遲定理應(yīng)用前提是f t 必須滿足 f t 0t 0若上式不滿足 則必須考慮這些不為零的值 對延遲定理的結(jié)論進(jìn)行修正 三 超前定理 左移定理 若 特別地 若所有的初始條件 因此 z也可以看成是超前一個(gè)采樣周期的超前因子 z變換超前定理 可以用來解描述離散系統(tǒng)的差分方程 證明 令m k n 則 四 初值定理 若證明 由z變換的定義有 五 終值定理 若的單位圓上面或外面沒有極點(diǎn) 則 利用終值定理可以很方便地由F z 來確定f kT 當(dāng)k 時(shí)的終值 它是離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析的一個(gè)重要工具 例4已知因?yàn)榈臉O點(diǎn)為0 2 它位于單位圓內(nèi) 所以有 六 復(fù)位移定理 若證明 例5求 由例2 有 由復(fù)位移定理 七 偏微分定理 若 其中a是一個(gè)獨(dú)立變量或常數(shù) 則有證明例6求的z變換 查表知因?yàn)橛善⒎侄ɡ?得 3z反變換 Z變換在離散系統(tǒng)的分析與綜合中所起的作用與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中所起的作用幾乎完全一致 z反變換即如何由象函數(shù)F z 求得序列f kt 或采樣函數(shù)f t 不同的f t 可以有相同的采樣函數(shù)f t 從而可以有相同的z變換F z 因此 F z 不可能與f t 有一一對應(yīng)關(guān)系 由F z 求得f kT 或f t 的z反變換主要三種方法 即長除法 部分分式展開法和留數(shù)計(jì)算法 一 長除法 采用長除法 可以將F z 展開成z 1的無窮冪級數(shù)的形式 對照z變換的意義 即可立即得到序列f kT 例7設(shè)F z 將F z 寫成z 1表示的形式 因此 故 或 例8試求 的反變換 先將F z 寫成z 1表示的形式 因此 由以上可知 用長除法求z反變換十分直觀 并且便于用計(jì)算機(jī)求解 而另一方面雖然長除法給出了序列f 0 f T f 2T 的值 但由之要得到如例7所示的f kT 的通項(xiàng)表達(dá)式卻往往較為困難 為此可采用部分分式展開法 二 部分分式展開法 通常F z 是有理函數(shù) 它是兩個(gè)多項(xiàng)式之比 與拉氏反變換的部分分式展開法類似 可以將展開成一系列部分分式之和 然后利用查表法分別求各項(xiàng)的z反變換 根據(jù)z變換的線性性質(zhì) 即可得出f kT 或f t 設(shè) 則可設(shè) 其中a1 a2 a3 an為待定系數(shù) 將上述方程兩邊同乘以 z pi 并令z pi 使得方程右邊除ai以外各項(xiàng)為零 即可求得 例9求 的反變換 設(shè) 所以有 查表知 由于 0 5 e aT 即 所以本題結(jié)果也可寫成采樣函數(shù)形式 例10多重極點(diǎn)情況 求的反變換 F z 有三個(gè)極點(diǎn) 其中1為二重極點(diǎn) 設(shè) 可以求得 即 故 或 4用z變換解線性差分方程 差分方程是描述離散時(shí)間系統(tǒng)的必不可少的數(shù)學(xué)工具 差分方程與微分方程兩者之間的主要區(qū)別在于微分方程描述連續(xù)時(shí)間函數(shù)之間的關(guān)系 而差分方程則描述離散時(shí)間函數(shù)或序列之間的關(guān)系 線性常系數(shù)差分方程的一般形式為 其中 上式差分方程稱為n階線性常系數(shù)差分方程 N稱為階次 均為常數(shù) 可以利用z變換來解差分方程 對上式兩邊取z變換 并利用z變換的超前定理 有 其中 y m m 0 1 n 1和u m m 0 1 n 1為初始條件 將上式左邊所有關(guān)于y m zn m項(xiàng)合并為 z 將右邊所有關(guān)于u m zn m項(xiàng)合并為 z 則上式可重寫為 設(shè)u k 為已知的輸入離散函數(shù) 則U z 已知 并設(shè)所有的初始條件均為已知的 即 z z 由上式即可解出y k 的z變換Y z 求Y z 的反變換即可得序列 y k 它是原差分方程的解 例11已知線性差分方程為 其中 查表得 對以上差分方程取z變換得 代入已知條件可得 解得 即 k 0 1 2 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)通常是由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器和屬于連續(xù)系統(tǒng)范疇的被控對象所組成的 混合 系統(tǒng) 為了能建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 通常采用兩種方法 一種是將連續(xù)的被控對象離散化 得到它所等效的離散系統(tǒng)模型 然后在離散系統(tǒng)的范疇內(nèi)分析整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng) 另一種方法是將數(shù)字控制器等效為一個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié) 然后采用連續(xù)系統(tǒng)的方法來分析與設(shè)計(jì)整個(gè)控制系統(tǒng) 一般來說 采用前一種方法的較為普遍 A2脈沖傳遞函數(shù) 對于采樣控制系統(tǒng)來說 它的脈沖傳遞函數(shù)形式與連續(xù)系統(tǒng)完全類似 設(shè)系統(tǒng)輸入的采樣信號為r t 它的z變換為R z 而系統(tǒng)輸出的采樣信號為y t 它的z變換為Y z 如圖所示 則系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為 即脈沖傳遞函數(shù)定義為 在初始條件為零的前提下 系統(tǒng)輸出信號的z變換與系統(tǒng)輸入信號的z變換之比 已知系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G z 以后 系統(tǒng)的輸入輸出間關(guān)系即可簡單表示為 可以證明 上圖所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 等于連續(xù)系統(tǒng)G s 的脈沖響應(yīng)函數(shù)g t 的采樣函數(shù)的z變換 脈沖傳遞函數(shù)G z 可以通過下式計(jì)算得到 1 先用部分分式法將G s 展開成每一項(xiàng)都能從z變換表中查到的部分分式 得到各分項(xiàng)的z變換 再求和 2 先求出 然后得 求G z Z G s 的方法 例1設(shè)在上圖所示系統(tǒng)中 試求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 注意 1 G s 是連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 而G z 則是表示G S 與采樣開關(guān)兩者組合體的脈沖傳遞函數(shù) G z 包含了采樣開關(guān)的性質(zhì) 2 G z 與G s 雖然都使用同一字母G 但G z 決不是把G s 中的S換成z得來的 它們之間滿足關(guān)系式 3 在系統(tǒng)的輸入端有采樣開關(guān) 而在系統(tǒng)的輸出端有沒有采樣開關(guān)都不影響系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 對中間不帶采樣開關(guān)的兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)情況 可以先求得等效環(huán)節(jié)則可化成上圖的情況 這時(shí)有其中 G1G2 z 是Z G1 s G2 s 的簡化記法 例2設(shè)在上圖中 試求系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G1G2 z 在上圖的串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有一個(gè)同步周期采樣開關(guān) 第一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出C1 s 經(jīng)采樣后得采樣信號C1 s 作為G2 s 的輸入 也就是說兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的輸入信號都是離散的脈沖序列 因此有 其中 G z G2 z G1 z 為串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 例3設(shè)在圖所示系統(tǒng)中 試求整個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G z 在圖中G1 z 和G2 z 分別為 比較例2和3結(jié)果 可見在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有無同步采樣器 其脈沖傳遞函數(shù)是不同的 普遍的結(jié)論 1 n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng) 若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣器 總的脈沖傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積 即 2 如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒有采樣器 需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體 求出其傳遞函數(shù) 然后再根據(jù)G s 求G z 一般表示成 A3閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 誤差通道 反饋通道 輸出通道 根據(jù)z變換的線性性質(zhì)有 上式表示采樣信號e t 作為H s 和G s 串聯(lián)輸入 有 消去E z 和B z 可得到 即為上圖所示閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 1 控制算法D z 控制算法是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的核心部分 它根據(jù)系統(tǒng)的誤差 算出控制量u t 以使系統(tǒng)沿著減少誤差的方向運(yùn)動 控制算法通常是以差分方程形式表示的 其一般形式為 兩邊取z變換可得 因此 控制算法部分脈沖傳遞函數(shù)D z 為 2 廣義對象的脈沖傳遞函數(shù) 所謂廣義對象通常是指保持器環(huán)節(jié)和被控對象環(huán)節(jié)串聯(lián)后所構(gòu)成的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 本系統(tǒng)中保持器為零階保持器 因此廣義對象的傳遞函數(shù)為 由于廣義對象的輸入為采樣信號 可求得它的脈沖傳遞函數(shù)為 因此 若設(shè) 則有 綜合以上分析可得 例4設(shè)被控對象傳遞函數(shù) 并且采用零階保持器 求廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G z 3 整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳函數(shù) 類似前面的分析方法可以寫出整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 控制器 誤差 系統(tǒng)輸出 即得 由之得出閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) A4采樣系統(tǒng)的動態(tài)分析 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為 對上式的分子和分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解可得 其中 Z1 Zm稱為系統(tǒng)的零點(diǎn) P1 P2 Pn稱為系統(tǒng)的極點(diǎn) 利用部分分式法 可將G z 展開成 由此可見 采樣系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)是它各個(gè)極點(diǎn)時(shí)間響應(yīng)的線性疊加 如果了解了位于任意位置的一個(gè)極點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間響應(yīng) 則整個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)也就容易解決了 與連續(xù)系統(tǒng)類似 采樣系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)在z平面上的分布對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起著決定性的作用 特別是系統(tǒng)的極點(diǎn)不但決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性 還決定了系統(tǒng)響應(yīng)速度 在采樣系統(tǒng)中 單位脈沖函數(shù) 顯然 對于單位脈沖函數(shù) 它的z變換 在單位函數(shù)的作用下 系統(tǒng)的動態(tài)過程 稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)輸入為R z 輸出為C z 系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為G z 由于在單位脈沖作為輸入時(shí) 有R z 1 這時(shí)系統(tǒng)輸出 C z G z R z G z 因此 若記系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列為h k 則有 即系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G z 的z反變換即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 1 實(shí)軸上單極點(diǎn)所對應(yīng)的脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)有一個(gè)位于Pi的單極點(diǎn) 則系統(tǒng)脈沖傳函的部分分式中必存在有 的一項(xiàng) 在單位脈沖作用下 對應(yīng)于這一項(xiàng) 的輸出序列為 當(dāng)Pi位于z平面不同位置時(shí) 所對應(yīng)的脈沖響應(yīng)序列如圖 h k 為發(fā)散序列 h k 為等幅脈沖序列 h k 為單調(diào)衰減脈沖序列 且 越接近0 衰減愈快 時(shí) h k 為交替變號的衰減脈沖序列 h k 為交替變號的等幅脈沖序列 h k 是交替變號的發(fā)散脈沖序列 2 一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)對應(yīng)的脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)有一對位于的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 則系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的部分式中必然有一項(xiàng) 其中Bi和Ci是由Ai 和a b等計(jì)算所得到的系數(shù) 上式的z變換為 其中 等確定 當(dāng)a b位于z平面的不同位置時(shí)所對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)由下圖給出 令為復(fù)數(shù)極點(diǎn)的模 它表示極點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離 當(dāng) h k 為發(fā)散振蕩序列 當(dāng) h k 為等幅振蕩序列 當(dāng) h k 為衰減振蕩序列 且r越小 衰減越快 結(jié)論 采樣系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在z平面上的位置 決定了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的速度 其中極點(diǎn)的模決定了系統(tǒng)脈沖響應(yīng)序列是發(fā)散的還是衰減的 決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1 如果系統(tǒng)所有的極點(diǎn)的模都小于1 或者說系統(tǒng)所有的極點(diǎn)都位于z平面上的以原點(diǎn)為圓心 以1為半徑的單位圓內(nèi) 則各項(xiàng)都對應(yīng)著衰減的脈沖響應(yīng)序列 隨著 各項(xiàng)都趨向于零 因此 系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的 2 反之 若系統(tǒng)中有模大于1的極點(diǎn) 則當(dāng)時(shí) 即使其它項(xiàng)都趨向于零 但是由于相應(yīng)于模大于1的極點(diǎn)的那項(xiàng)的時(shí)間響應(yīng)趨向于無窮大 造成系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)也趨向于無窮大 因此系統(tǒng)為不穩(wěn)定 A5采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式稱為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式方程A z 0稱為特征方程特征方程的n個(gè)根稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)或稱為系統(tǒng)的特征根 根據(jù)上一節(jié)的關(guān)于極點(diǎn)位置與系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系和穩(wěn)定性的分析可知 上式線性定常系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)特征方程所有根 系統(tǒng)脈沖傳函數(shù)的所有極點(diǎn) 都位于z平面的單位圓內(nèi) 在連續(xù)系統(tǒng)分析中 采用勞斯判據(jù)可以在不求解特征方程的前提下 判定特征方程的根是否在復(fù)平面s平面的左半平面 在采樣系統(tǒng)中無法用此判據(jù)直接判定特征根的模是否小于1 為了能利用勞斯判據(jù) 可以采用變換 把z平面上的單位圓變成平面上的虛軸 把單位圓的外部變成右半平面 把單位圓的內(nèi)部變成左半平面 如圖所示 這樣就可以通過勞斯判據(jù)判定平面上位于右半平面的特征根的個(gè)數(shù)來間接判定采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性 變換是一雙線性變換 令 或 即構(gòu)成 變換 為證明 變換能滿足上圖所示的對應(yīng)關(guān)系 設(shè) 平面上的單位圓外部對應(yīng)平面的右半平面 平面上的單位圓對應(yīng) 平面的虛軸 平面上的單位圓外部對應(yīng)平面的左半平面 例5設(shè)采樣控制系統(tǒng)的特征方程為 進(jìn)行 變換得 作勞斯陣列 右半平面有兩個(gè)根 根據(jù)勞斯判據(jù) 因此F z 在單位圓外有兩個(gè)根 所以該采樣控制系統(tǒng)不穩(wěn)定 例6討論下圖所示系統(tǒng) 試求為保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 放大倍數(shù)K的取值范圍 該系統(tǒng)的廣義對象 可得閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 特征方程為 作勞斯陣列 解得當(dāng)0 K 2 4時(shí) 系統(tǒng)為穩(wěn)定 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常與系統(tǒng)采樣周期T有關(guān) 一般說來T越大 系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越差 A6采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分析 下圖為單位反饋系統(tǒng) 其中G s 為廣義對象 討論它在典型輸入信號下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 首先求出誤差的采樣信號e t 的z變換E z 與輸入采樣信號r t 的z變換R z 之間的關(guān)系 由 得到 利用Z變換的終值定理 可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為 根據(jù)G z 中包含有z 1的極點(diǎn)個(gè)數(shù) 可以將系統(tǒng)分成0型 沒有z 1極點(diǎn) 1型 1個(gè)z 1的極點(diǎn) 2型 2個(gè)z 1的極點(diǎn) 等 1 單位階躍輸入 對于0型系統(tǒng) Kp為有限值 故有 對于1型或高于1型的系統(tǒng)有 所以有 系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差 2 單位斜坡輸入 其中 為速度誤差系數(shù) 對于0型系統(tǒng) Kv 0 即 對于1型系統(tǒng) Kv為有限值 對于2型及以上系統(tǒng) 故 綜上所述 采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與廣義對象所對應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)G z 中所含z 1的極點(diǎn)個(gè)數(shù)密切相關(guān) 在非階躍輸入時(shí)還和采樣周期有關(guān)