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第六節(jié) 導數(shù)的綜合應用(二)
A組 基礎題組
1.(2019安徽黃山一模)已知函數(shù)f(x)=mx-1x-2lnx(m∈R),g(x)=-mx,若至少存在一個x0∈[1,e],使得f(x0)
0,解得a>-e2,所以此時-e20).
(1)若k=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)有且只有一個零點,求實數(shù)k的值.
解析 (1)k=1,f(x)=x-lnx,定義域為(0,+∞),則f(x)=1-1x,由f(x)>0得x>1,由f(x)<0得00),
令g(x)=lnxx(x>0),則g(x)=1-lnxx2,
當x=e時,g(x)=0;當00;
當x>e時,g(x)<0.
∴g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.
∴g(x)max=g(e)=1e.
當x→+∞時,g(x)→0.
又k>0,∴要使f(x)有且只有一個零點,則k=1e.
解法二:f(x)=kx-lnx,f(x)=k-1x=kx-1x(x>0,k>0).
當x=1k時,f(x)=0;當01k時,f(x)>0.
∴f(x)在0,1k上單調(diào)遞減,在1k,+∞上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f1k=1-ln1k,∵f(x)有且只有一個零點,
∴1-ln1k=0,即k=1e.
4.函數(shù)f(x)=13x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的導函數(shù)的圖象如圖所示:
(1)求a,b的值并寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)有三個零點,求c的取值范圍.
解析 (1)因為f(x)=13x3+ax2+bx+c,
所以f(x)=x2+2ax+b.
由題圖知f(x)=0的兩個根為-1,2,
所以-1+2=-2a,-12=b,解得a=-12,b=-2,
由導函數(shù)的圖象可知,當-12時,f(x)>0,
故函數(shù)f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得f(x)=13x3-12x2-2x+c,
函數(shù)f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函數(shù),在(-1,2)上是減函數(shù),
所以函數(shù)f(x)的極大值為f(-1)=76+c,極小值為f(2)=c-103.
而函數(shù)f(x)恰有三個零點,故必有76+c>0,c-103<0,解得-760),
當a<0時,f(x)>0恒成立,
∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當a>0時,由f(x)=ax-1ax2>0,得x>1a,
由f(x)=ax-1ax2<0,得00時,函數(shù)f(x)在1a,+∞上單調(diào)遞增,在0,1a上單調(diào)遞減.
(2)∵當x∈1e,e時,函數(shù)g(x)=(lnx-1)ex+x-m的零點,
即當x∈1e,e時,方程(lnx-1)ex+x=m的根.
令h(x)=(lnx-1)ex+x,h(x)=1x+lnx-1ex+1.
由(1)知當a=1時,f(x)=lnx+1x-1在1e,1上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增,
∴當x∈1e,e時,f(x)≥f(1)=0.
∴1x+lnx-1≥0在x∈1e,e上恒成立.
∴h(x)=1x+lnx-1ex+1≥0+1>0,
∴h(x)=(lnx-1)ex+x在x∈1e,e上單調(diào)遞增.
∴h(x)min=h1e=-2e1e+1e,h(x)max=h(e)=e.
∴當m<-2e1e+1e或m>e時,函數(shù)g(x)在1e,e上沒有零點;
當-2e1e+1e≤m≤e時,函數(shù)g(x)在1e,e上有一個零點.
2.(2019河南開封定位考)已知函數(shù)f(x)=alnx+1x-bx+1.
(1)當a=0時,函數(shù)f(x)的極小值為5,求負數(shù)b的值;
(2)若b=-1,F(x)=f(x)-5x,且當a≥-4時,不等式F(x)≥2在區(qū)間[1,4]上有解,求實數(shù)a的取值范圍.
解析 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
當a=0時,f(x)=1x-bx+1(b<0),f(x)=-1x2-b
令f(x)=0,得x1=-1b,x2=--1b(舍去).
當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下:
x
0,-1b
-1b
-1b,+∞
f(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值
↗
所以函數(shù)f(x)的極小值為f-1b=5,即-b+-b+1=5,解得b=-4.
(2)由題意知,當a≥-4時,F(x)在[1,4]上的最大值M≥2.
當b=-1時,F(x)=f(x)-5x=x-4x+alnx+1,
則F(x)=x2+ax+4x2.
①當-4≤a≤4時,在[1,4]上,F(x)=x+a22+4-a24x2≥0,
故F(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,M=F(4).
②當a>4時,設x2+ax+4=0(Δ=a2-16>0)的兩根分別為x1,x2,則x1+x2=-a<0,x1x2=4,故x1<0,x2<0,所以在[1,4]上,F(x)=x2+ax+4x2>0,故F(x)在[1,4]上單調(diào)遞增,M=F(4).
綜上,當a≥-4時,F(x)在[1,4]上的最大值M=F(4)=4-1+aln4+1≥2,解得a≥-1ln2,
所以實數(shù)a的取值范圍是-1ln2,+∞.
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