9.2直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測(cè)熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系1.能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系2.能用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問(wèn)題3.會(huì)求圓的切線(xiàn)方程及與圓有關(guān)的最值問(wèn)題4.能根據(jù)給定兩圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系5.會(huì)求兩圓相交弦所在直線(xiàn)的方程及弦長(zhǎng)6.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想2018天津,12直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系參數(shù)方程2017天津,11極坐標(biāo)2014天津,13極坐標(biāo)2012天津,8點(diǎn)到直線(xiàn)的距離2012天津文,12基本不等式分析解讀從高考試題來(lái)看,直線(xiàn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題,題型以選擇題和填空題為主,分值大約為5分,主要考查:1.方程中含有參數(shù)的直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定;2.利用相切或相交的條件求參數(shù)的值或取值范圍;3.利用相切或相交的條件求圓的切線(xiàn)長(zhǎng)或弦長(zhǎng);4.由兩圓的位置關(guān)系判定兩圓的公切線(xiàn)條數(shù).同時(shí)考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系1.(2015重慶,8,5分)已知直線(xiàn)l:x+ay-1=0(aR)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對(duì)稱(chēng)軸.過(guò)點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線(xiàn),切點(diǎn)為B,則|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C2.若直線(xiàn)y=kx+4+2k與曲線(xiàn)y=4-x2有兩個(gè)交點(diǎn),則k的取值范圍是()A.1,+)B.-1,-34C.34,1D.(-,-1答案B3.(2014安徽,6,5分)過(guò)點(diǎn)P(-3,-1)的直線(xiàn)l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍是()A.0,6B.0,3C.0,6D.0,3答案D煉技法【方法集訓(xùn)】方法1與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法1.已知P(x,y)是直線(xiàn)kx+y+4=0(k>0)上一點(diǎn),PA是圓C:x2+y2-2y=0的一條切線(xiàn),A是切點(diǎn),若PA長(zhǎng)度的最小值為2,則k的值為()A.3B.212C.22D.2答案D2.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線(xiàn)mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案(x-1)2+y2=2方法2求解與圓有關(guān)的切線(xiàn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法3.(2015安徽文,8,5分)直線(xiàn)3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案D4.(2014浙江文,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線(xiàn)x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8答案B過(guò)專(zhuān)題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2018天津,12,5分)已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C,直線(xiàn)x=-1+22t,y=3-22t(t為參數(shù))與該圓相交于A,B兩點(diǎn),則ABC的面積為.答案122.(2017天津,11,5分)在極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)4cos-6+1=0與圓=2sin的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.答案23.(2014天津,13,5分)在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,圓=4sin和直線(xiàn)sin=a相交于A,B兩點(diǎn).若AOB是等邊三角形,則a的值為.答案34.(2012天津,12,5分)設(shè)m,nR,若直線(xiàn)l:mx+ny-1=0與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則AOB面積的最小值為.答案3B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2018課標(biāo),6,5分)直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上,則ABP面積的取值范圍是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2018課標(biāo)文,15,5分)直線(xiàn)y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.答案223.(2016課標(biāo),16,5分)已知直線(xiàn)l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=23,則|CD|=.答案44.(2016課標(biāo)文,15,5分)已知直線(xiàn)l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=.答案45.(2015湖南文,13,5分)若直線(xiàn)3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn),且AOB=120(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則r=.答案26.(2014重慶文,14,5分)已知直線(xiàn)x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點(diǎn),且ACBC,則實(shí)數(shù)a的值為.答案0或67.(2014課標(biāo),16,5分)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得OMN=45,則x0的取值范圍是.答案-1,18.(2015課標(biāo)文,20,12分)已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若OMON=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.解析(1)由題設(shè),可知直線(xiàn)l的方程為y=kx+1.因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范圍為4-73,4+73.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OMON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由題設(shè)可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.9.(2015廣東,20,14分)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);(2)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程;(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線(xiàn)L:y=k(x-4)與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.解析(1)由已知得,圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4,所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0).(2)由題意可知,直線(xiàn)l的斜率必存在,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M(x0,y0)其中x0=x1+x22,y0=y1+y22,將y=tx代入圓C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0.則有x1+x2=61+t2,所以x0=31+t2,代入直線(xiàn)l的方程,得y0=3t1+t2.因?yàn)閤02+y02=9(1+t2)2+9t2(1+t2)2=9(1+t2)(1+t2)2=91+t2=3x0,所以x0-322+y02=94.又因?yàn)榉匠?1+t2)x2-6x+5=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根,所以=36-20(1+t2)>0,解得t2<45,所以53<x03.所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為x-322+y2=9453<x3.(3)由(2)知,曲線(xiàn)C:x-322+y2=9453<x3.如圖,D53,253,E53,-253,F(3,0),直線(xiàn)L過(guò)定點(diǎn)G(4,0).由x-322+y2=94,y=k(x-4)得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.當(dāng)直線(xiàn)L與曲線(xiàn)C相切時(shí),判別式=0,解得k=34.結(jié)合圖形可以判斷,當(dāng)直線(xiàn)L與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),有kDGkkEG或k=kGH或k=kGI,即k-257,257-34,34.評(píng)析本題考查了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系;考查了求解弦的中點(diǎn)問(wèn)題的基本方法;考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想,屬偏難題.C組教師專(zhuān)用題組1.(2015山東,9,5分)一條光線(xiàn)從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為()A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34答案D2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為()A.45B.34C.(6-25)D.54答案A3.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線(xiàn)l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)l交于另一點(diǎn)D.若ABCD=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.答案34.(2014重慶,13,5分)已知直線(xiàn)ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且ABC為等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=.答案4155.(2014湖北,12,5分)直線(xiàn)l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=.答案26.(2015福建,18,13分)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,2),且離心率e=22.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線(xiàn)l:x=my-1(mR)交橢圓E于A,B兩點(diǎn),判斷點(diǎn)G-94,0與以線(xiàn)段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.解析(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.所以橢圓E的方程為x24+y22=1.(2)解法一:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為H(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,從而y0=mm2+2.所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+2516=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以|GH|>|AB|2.故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外.解法二:設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,從而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)>0,所以cos<GA,GB>>0.又GA,GB不共線(xiàn),所以AGB為銳角.故點(diǎn)G-94,0在以AB為直徑的圓外.評(píng)析本題主要考查橢圓、圓、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2017天津河?xùn)|二模,4)若a,bR,直線(xiàn)l:y=ax+b,圓C:x2+y2=1.命題p:直線(xiàn)l與圓C相交;命題q:a>b2-1,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B2.(2017天津河西一模,6)已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若其漸近線(xiàn)與圓x2+y2-4y+3=0相切,則此雙曲線(xiàn)的離心率等于()A.12B.2C.3D.2答案B3.(2018天津南開(kāi)中學(xué)第三次月考,7)已知圓C:x2+(y-2)2=1與雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)相切,且和圓x2+y2=b2外切,則雙曲線(xiàn)方程為()A.x2-3y2=1B.3x2-y2=1C.x2-y23=1D.x23-y2=1答案B4.(2018天津一中5月月考,5)已知圓C:x2+y2+2x+23y+1=0與雙曲線(xiàn)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)相切,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A.263B.233C.43D.7答案B二、填空題(每小題5分,共25分)5.(2018天津部分區(qū)縣期末,13)以點(diǎn)(0,b)為圓心的圓與直線(xiàn)y=2x+1相切于點(diǎn)(1,3),則該圓的方程為.答案x2+y-722=546.(2018天津和平第一次質(zhì)量檢查,10)若直線(xiàn)l:x+3y+1=0與圓x2+y2-2ax=0(a>0)相切,則a的值為.答案17.(2018天津部分區(qū)縣質(zhì)量檢查(2),11)已知直線(xiàn)k(x+1)+y+2=0恒過(guò)點(diǎn)C,且以C為圓心,5為半徑的圓與直線(xiàn)3x+4y+1=0相交于A,B兩點(diǎn),則弦AB的長(zhǎng)為.答案2218.(2018天津南開(kāi)中學(xué)第四次月考,13)已知圓C:(x-m)2+(y-n)2=9的圓心在第一象限,直線(xiàn)l:x+2y+2=0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4,則m+2nmn的最小值為.答案839.(2017天津十二區(qū)縣二模,12)已知兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn),且直線(xiàn)AB與直線(xiàn)3x-y+1=0垂直,則實(shí)數(shù)a=.答案3